Алгебра

      III. Вычитание относительных чисел 30

      20. Задача. 21. Нахождение разности, как одного из двух слагаемых. 22. Правило вычитания. 23. Формулы двойных знаков. 24. Алгебраическая сумма и разность.

      IV. Главнейшие свойства сложения и вычитания относительных чисел (§ 25) 34

      V. Умножение относительных чисел

      26. Определение. 27. Вывод правила. 28. Задача. 29. Произведение трех и более чисел

      VI. Деление относительных чисел 42

      30. Определение. 31. Вывод правила. 32. Другое правило деления. 33. Случаи, когда делимое или делитель есть нуль.

      VII. Некоторые свойства умножения и деления (§ 34) 43

      Глава IV. Понятие об уравнении 47

      35. Равенства и нх свойства. 36. Тождества. 37. Уравнение. 38 Примеры решения других уравнений. 39. Два осповных свойства уравнения. 40. Члены уравнения. 41. Перенесение членов уравнения.

      ОТДЕЛ ВТОРОЙ.

      ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

      Глава I. Многочлен и одночлен 53

      42. Многочлен и одночлен. 43. Коэффициент. 44. Свойства многочлена. 45. Приведение подобных членов.

      Глава II. Алгебраическое слоягспне и вычитаппе 57

      46. Что представляют собою "алгебраические действия". 47. Сложение одночленов. 43. Сложение многочленов. 49. Вычитание одночленов. 50. Вычитание многочленов. 51. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак + или — 52. Заключение в скобки части многочлена.

      Глава III. Алгебраическое умножение 61

      53. Умножение степеней одного и того же числа. 54. Умножение одночленов. 55. Умножение многочлена на одночлен. 56. Умножение многочгена на многочлен. 57. Расположенный многочлен. 58. Умножение расположенных многочленов. 59. Высший и низший члены произведения. 60. Число членов произведения. 61. Некоторые формулы умножения двучленов. 62. Геометрическое истолкование некоторых формул. 63. Применения.

      Глава IV. Алгебраическое деление 69

      64. Деление степеней одпого и того же числа. 65. Нулевой показатель. 66. Деление одночленов. 67. Признаки невозможности деления одночленов. 68. Деление многочлена на одночлен. 69. Деление одночлена на многочлен. 70. Деление многочлена на многочлен. 71. Примеры. 72. Признаки невозможности деления многочленов.

      Глава V. Разложение на мпожптели 75

      73. Предварительное замечание. 74. Разложение целых одночленов. 75. Разложение многочленов.

      Глава VI. Алгебраические дроби 78

      76. Отличие алгебраической дроби от арифметической. 77. Основное свойство дроби. 78. Приведение членов дробя к целому виду. 79. Перемена знаков у членов дроби. 80. Сокращение дробей. 81. Приведение дробей к общему знаменателю. 82. Сложение и вычитание дробей. 83. Умножение дробей. 84. Деление дробей. 85. Замечание. 86. Освобождение уравнения от заменителей.

      Глава VII. Отношение и пропорция. 85

      87. Отношение. 88. Зависимость между отношением и его членами. 89. Приведение членов отношения к целому виду. 90. Сокращение отношения. 91. Обратные отношения. 92. Пропорция. 93. Основное свойство числовой пропорции. 94. Обратное предложение. 95. Следствие. 96. Среднее геометрическое. 97. Среднее арифметическое 98. Производные пропорции. 99. Свойство равных отношений. 100. Арифметическое применение. (Пропорциональное деление). 101. Геометрическое применение.

      Глава VIII. Пропорциональная завпепмость (прямая и обратная) 96

      102. Пропорциональная зависимость. 103. Выражение пропорциональной зависимости формулой. 104. Обратная пропорциональная зависимость. 105. Выражение обратной пропорциональной зависимости формулой.

      ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.

      ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ.

      Глава I. Понятие о функции и координатах 101

      106. Понятие о функции. 107. График температуры, влажности и пр. 108. Координаты точки.

      Глава II. График пропорциональной зависимости (прямой и обратной) 107

      109. График пропорциональной зависимости. 110. Замечание. 111. Изменение положения прямой в зависимости от коэффициента пропорциональности. 112. График обратной пропорциональности.

      Глава III. График двучлена первой степени 112

      113. Задача. 114. Двучлен первой степени. 115. График двучлена первой степени. 116. Изменение двучлена. 117. Замечания. 118. Построение прямой у=ах+b по двум точкам. 119. Графическое решение уравнения.

      ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.

      ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ. НЕРАВЕНСТВА.

      Глава I. Пересмотр двух основных свойств уравнения 121

      120. Предварительное разъяснение. 121. Первое свойство уравнений. 122. Второе свойство. 123. Умножение или деление частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение. 124. Посторонние корни.

      Глава II. Решения положительные, отрицательные, нулевые и другие 127

      125. Обший вид уравнения первой степени с одним неизвестным. 126. Положительное решение. 127. Отрицательное решение. 128. Нулевое решение. 129. Случай, когда уравнение не имеет корня. 130. Как можно понимать равенство х=b/0 131. Неопределенное решение. 132. Графическое истолкование решений ур-ия ах=b. 133. Буквенные уравнения.

      Глава III. Неравенства первой степени 135

      134. Определение понятий "больше" и "меньше". 135. Свойства неравенств. 136. Решение неравенства 1-й степени с одним неизвестным.

      ОТДЕЛ ПЯТЫЙ.

      СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.

      Глава I. Система двух уравнений с двумя неизвестными 140

      137. Задача. 138. Нормальный вид уравнения первой степени с 2 неизвестными. 139. Неопределенность одного уравнения с 2 неизвестными. 140. Система уравнений. 141. Способ подстановки. 142. Способ сложения иди вычитания. 143. Графическое решение.

      Глава II. Система трех уравнений с тремя неизвестными 147

      144. Нормальный вид уравнения первой степени с 3 неизвестными. 145. Неопределенность двух и одного уравнения с 3 неизвестными. 146. Система 3 уравнений с 3 неизвестными. 147. Способ подстановки. 148. Способ сложения или вычитания.

      Глава III. Некоторые особые случаи систем уравнений 150

      149. Случай, когда не все неизвестные входят в каждое уравнение. 150. Случай, когда неизвестные входят в виде дробей: 1/х, 1/у. 151. Случай, когда полезно все данные уравнения сложить.

      ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.

      СТЕПЕНИ И КОРНИ.

      Глава I. Возвышение в квадрат одночленных алгебраических выражении 153

      152. Определение степени. 153. Правило знаков при возвышении в квадрат. 154. Возвышение в квадрат произведения, частного и степени.

      Глава II. Возвышение в квадрат многочлена 155

      155. Вывод формулы. 156. Замечание о знаках. 157. Сокращенное возвышение в квадрат целых чисел.

      Глава III. Графическое изображение функций: у=х2 и у=ах2

      158. График функции у=х2. 159. График функции у=ах2.

      Глава IV. Возвышение в куб и в другие степени одночленных алгебраических выражений 161

      160. Правило знаков при возвышении в степень. 161. Возвышение в степень произведения, степени и дроби.

      Глава V. Графическое изображение функции: у=х3 и у=ах3 162

      162. График функции у=х3. 163. Графил функции у=ах3.

      Глава VI. Основные свойства извлечения корня 164

      164. Задачи. 165. Определение корня. 166. Арифметический корень. 167. Алгебраический корень. 168. Извлечение корня из произведения, из степени и из дроби. 169. Простейшие преобразования радикалов.

      ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.

      ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ЧИСЕЛ КВАДРАТНОГО КОРНЯ.

      Глава I. Извлечение из данного целого числа наибольшего целого квадратного корня 173

      170. Предварительные замечания. 171. Извлечение корня из числа, меньшего 10000 но большего 100. 172. Извлечение корня из числа, большею 10000. Правило. 173. Число цифр в корне.

      Глава II. Извлечение приближенных квадратных корней 177

      174. Признаки точного квадратного корня. 175. Приближенный корень с точностью до 1. 176. Приближенный корень с точностью до 1/10. 177. Приближенный квадратный корень с точностью до 1/100 до 1/1000 и т. д. 178. Описание таблицы квадратных корней. 179. Извлечение квадратных корней из обыкновенных дробей.

      Глава III. График функцпн: у = Nх 185

      180. Обратная функция. 181. График функции у = Nх. 182. Соотношение между графиками прямой и обратной функции.

      ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ.

      ДЕЙСТВИЯ НАД ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ И ВЫРАЖЕНИЯМИ.

      Глава I. Понятие об иррациональном числе 188

      183. Соизмеримые и несоизмеримые с единицею значения величины. 184. Понятие об измерении. 185. Иррациональные числа. 186. Приближенные значения иррационального числа. 187. Определение действий над иррациональными числами.

      Глава II. Иррациональные значения радикалов 193

      188. Приближенные корни любой степени. 189. Иррациональные значения корня.

      Глава III. Понятие о приближенных вычислениях 193

      190. Предварительное замечание. 191. Приближения с недостатком в с избытком. 192. Десятичные приближения. 193. Погрешность приближенной суммы. 194. Погрешность приближенной разности. 195. Погрешность приближенного произведения. 196. Сокращенное умножение. 197. Погрешность приближенного частного. 198. Сокращенное деление. 199. Замечание. 200. Задача на приближенное вычисление.

      Глава IV. Преобразование иррациональных выражений 210

      201. Рациональные и иррациональные алгебраические выражения. 202. Основное свойство радикала. 203. Некоторые преобразования радикалов. 204. Подобные радикалы. 205. Действия над иррациональными одночленами: 1) Сложение н вычитание. 2) Умножение. 3) Деление. 4) Возвышение в степень. 5) Извлечение корня. 206. Действия над иррациональными иногочленамн. 207. Освобождение знаменателя дроби от радикалов.

      ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ.

      НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ ВЫШЕ ПЕРВОЙ.

      Глава I. Квадратное уравнение 218

      208. Задача. 209. Нормальный вид кв. уравнения. 210. Решение неполных кв. уравнений. 211. Двучлен второй степени. 212. График двучлена второй степенп. 213. Корни неполных кв. уравнений в графическом изображении. 214. Примеры решения полных кв. уравнений. 215. Формула корней приведенного кв. уравнения. 216. Общая формула корней кв. уравнения. 217. Упрощение формулы, когда b есть четное число. 218. Число корней кв. уравнения. 219. Два свойства корней кв. уравнения. Следствия.

      Глава II. Трехчлен второй степени в его графическое изображение. 228

      220. Трехчлен второй степени. 221. Разложение трехчлена x2+рх+q на множители первой степени относительно х. 222. Разложение трехчлена ах2+bx+с. 223. Следствие (по данным корням составить кв. уравнение). 224. График трехчлена второй степени. 225. Замечание. 226. Графическое решение полного кв. уравнения. 227. Наибольшее и наименьшее значение трехчлена. 228. Изменение трехчлена. 228,2. Решение неравенства второй степени.

      Глава III. Биквадратное уравнение и некоторые другие 243

      229. Биквадратное уравнение. 230. Уравнения, у которых левая часгь разложена на множителей, а правая есть нуль.

      Глава IV. Иррациональные уравнения 245

      231. Задача. 232. Посторонние решения. 233. Возвышение частей уравнения в квадрат молсет ввести посторонние решения. 234. Освобождение уравнения от двух квадр. радикалов.

      Глава V. Системы уравнений второй степени 248

      235. Степень уравнения с несколькими неизвестными. 236. Система двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое второй. 237. Система двух уравнений, из которых каждое второй степени. 233. Графический способ решения.

      ОТДЕЛ ДЕСЯТЫЙ.

      ПРОГРЕССИИ.

      Глава I. Арифметическая прогрессия 254

      239. Задача. 240. Определение. 241. Формула любого члена А. П. 242. Формула суммы всех членов. 243. Замечание. 244. Формула суммы квадратов чисел натурального ряда.

      Глава II. Геометрическая прогрессия 260

      245. Задача. 246. Определение. 247. Сравнение Г. П. с А. П. 248. Формула любого члена. 249. Формула суммы всех членов. 250. Пример задачи на Г. П.

      Глава III. Бесконечные прогрессии 265

      251. Некоторые свойства таких прогрессий. 252. Понятие о пределе. 253. Формула предела суммы членов убывающей Г. П. 254. Применение к десятичным периодическим дробям.

      ОТДЕЛ ОДИННАДЦАТЫЙ.

      ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЯХ.

      Глава I. Целые показатели 272

      255. Перечисление свойств целых положительных показателей. 256. Отрицательные целые показатели. 257. Действия над степенями с отрицательными показателями.

      Глава II. Дробные показатели 275

      258. В каком смысле употребляется дробный показатель. 259. Основное свойство дробного показателя. 260. Действия над степенями с дробными показателями. 261. Примеры.

      Глава III. Некоторые свойства степеней с рациональными показателями (§ 262) 277

      Глава IV. Понятие об иррациональном показателе (§ 263) 282

      Глава V. Показательная функция 283

      264. Определение. 265. График показательной функции. 266. Свойства показательной функции.

      ОТДЕЛ ДВЕНАДЦАТЫЙ.

      ЛОГАРИФМЫ.

      Глава I. Общие свойства логарифмов 283

      267. Два действия, обратные возвышению в степень. 268. Определение логарифма. 269. Логарифмическая функция и ее график.

      270. Свойства логарифмической функции. 271. Понятие о значении логарифмических таблиц. 272. Нахождение логарифма произведения, частного, степени и корня. 273. Логарифмирование алгебраическою выражения. 274. Замечания.

      Глава II. Свойства десятичных логарифмов 297

      275. Шесть свойств десятичных логарифмов. 276. Следствия.

      Глава III. Устройство и употребление 4-значных таблиц

      277. Системы логарифмов. 278. Преобразование отрицательного логарифма. 279. Описание 4-значных таблиц и нахождение по ним логарифма. 280. Замечание. 281. Предел погрешности приближенного логарифма. 282. Найти число по данному логарифму (таблица антилогарифмов). 283. Замечание. 284. Предел погрешности найденного числа. 285. Действия над лотрифмамн с отрицательными характеристиками. 286. Замена вычитаемых логарифмов слагаемыми. 287. Примеры вычислений.

      Глава IV. Показательные н логарифмические уравнении (§ 288) 313

      Глава V. Сложные проценты, срочные уплаты и срочные взносы. 314

      289. Основная задача на сложные проценты- 290. Основная задача на срочные уплаты. 291. Основная задача на срочные взносы.

      ОТДЕЛ ТРИНАДЦАТЫЙ.

      СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА.

      Глава I. Соединения 319

      292. Определение. 293. Размещения. 294. Задаче 295. Перестановки. 296. Задачи. 297. Сочетание. 299. Задачи. 299. Другой вид формулы сочетаний. 300. Свойство сочетаний.

      Глава II. Бином Ньютона 325

      301. Произведение биномов, оыичлющихся юдько шорыми членами. 302. Формула бинома Ньютона. 303. Свойства бинома Ньютона. Таблицы четырехзначных квадратных корней, логарифмов и антилогарифмов 332

      ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.

      Предлагаемая книга "Элементы алгебры и анализа" значительно разнится от моей "Элементарной алгебры", переизданной в переработанном виде в 1923 году.

      Различие это троякого рода:

      во-первых, весь материал заново переработан с целью, главным образом, его упрощения и лучшего распределения;

      во-вторых, настоящая книга содержит в себе элементы анализа бесконечно-малых, с его применениями к вопросам элементарной геометрии и начальной механики, и краткие сведения по аналитической геометрии, без которых элементарный курс математики был бы неполным;

      в-третьих, в конце книги помещены некоторые дополнения к обычному курсу алгебры, напр. теория соединений, бином Ньютона, однозначность первых четырех алгебраических действий и другие.

      Укажу сначала главнейшие изменения первого рода, причем буду держаться той последовательности, в какой материал распределен в предлагаемой книге.

      Изложение относительных чисел по возможности упрощено и поставлено раньше понятия об уравнении, чтобы при решении уравнений иметь возможность не стесняться невозможностью вычитания.

      Изложение так называемых "алгебраических действий" (тождественных преобразований) проведено теперь более индуктивным путем, чем прежде, и местами сокращено.

      Глава "Алгебраические дроби" значительно упрощена (напр. § 77 — основное свойство дроби, § 83 — умножение дробей, и др).

      Равным образом упрощено изложение отношений и пропорций; все оно ведется теперь ближе к арифметическим понятиям.

      Б главе этой сделано небольшое добавление 6 Производных пропорциях (§ 98), с которыми приходится иметь дело в геометрии, а также указано геометрическое применение свойства равных отношений (к установлению пропорциональности между периметрами и сходственными сторонами подобных многоугольников).

      В §§ 103 и 105 выражение формулой пропорциональности (прямой и обратной) сделано более конкретно, чем прежде.

      Подробнее изложено о графике двучлена первой степени и о графическом решении уравнения.

      Обстоятельнее развито понятие о равносильности уравнений, получаемых из данного уравнения посредством прибавления к его частям одного и того же числа или посредством умножения частей на одно и то же число (§§ 120 — 124).

      Добавлено графическое истолкование некоторых случаев решения уравнения ах=b {§ 133). Добавлен параграф (134) о буквенных уравнениях.

      С целью лучшего уяснения процесса извлечения корня предварительно указано сокращенное возвышение в квадрат целого числа (§ 157).

      Значительно упрощено объяснение извлечения квадратного корня из чисел. Теперь все изложение ведется чисто арифметическим путем, без посредства уравнения с 2 неизвестным!), как это делалось в моей прежней алгебре, и без предварительного установления свойства числа десятков корня п свойства числа его единиц. Для нахождения приближенных квадратных корней дано более практичное правило (§ 177).

      В конце книги приложены таблицы квадратных корней четырехзначных чисел как целых, так и дробных; объяснение их помещено в тексте книги (§ 178). Таблицы эти взяты мною из известного английского учебника: "Elementary algebra by Godfrey and Siddons (1924 г.). Они значительно сокращают время и труд при вычислениях и служат хорошим пособием при разъяснении некоторых статей алгебры (наир., при построении графика показательной функции у = 10* при помощи частных значений этой функции при х= 1/2, 1/4, 1/8, 1/46 и т.д. (§ 263)

      В главе о приближенных вычислениях, помимо более конкретного изложения, добавлены еще правила сокращенного умножения и сокращенного деления, позволяющие сравнительно быстро находить приближенное произведение и частное с желаемой степенью точности.

      Целая функция 2-й степени и ее графическое изображений рассмотрены в предлагаемой книге значительно подробнее, чем прежде (§§ 220 — 228).

      При изложении свойств функции у=х2, у=х3 и других (показательной, логарифмической и пр.) прежде всего решаются вопросы о возможности функции, об ее однозначности пли многозначности и (до некоторой степени) об ее непрерывности, и только после разрешения этих вопросов указывается построение их графиков по таблице частных значений.

      Вместо обратной функции y=3Nx рассматривается более простая функция y=Nx, на которой впервые для читателя обнаруживается свойство многозначности. При этом наглядно устанавливается соотношение между графиком прямой функции и графиком ей обратной (§ 182); соотношение это в дальнейшем позволяет быстро и легко найти график логарифмической функции по графику показательной и вообще график обратной функции по графику прямой.

      При решении иррациональных уравнений более наглядно, чем прежде, разъясняется причина появления посторонних решений (§ 231).

      Свойства бесконечных прогрессий, а также первое понятие о пределе изложены в этой книге более просто, чем прежде (§§ 250 — 254).

      Сокращено и лишено абстрактности изложение показателей отрицательных и дробных (§§ 256 — 261).

      Добавлена глава о некоторых свойствах степени с рациональными показателями для лучшего усвоения свойств показательной и логарифмической функции (§ 262).

      Для лучшей иллюстрации свойств десятичных логарифмов К графикам функций у=2x и у=(1/2)x (и им обратных) добавлены еще графики функций у=10х и у=log10х (черт. 61 и 62).

      С целью упрощения весь отдел о логарифмах переделан заново.

      Оппсанпе таблпц пятизначных логарифмов заменено описанием таблиц четырехзначных, пользование которыми значительно Проще и которые тем не кенее вполне достаточны для практических целей вычисления.

      В конце книги приложены и самые таблицы четырехзначных логарифмов и антилогарифмов.

      Таким образом, изменения, внесенные теперь в изложение прежнего алгебраического материала, имеют целью главным образом отвлеченность Заменить конкретностью, Дедуктивно выводы иллюстрировать индуктивно и тем самым обленить читателю усвоение учебного материала.

      Переходя теперь к тем отделам этой книги, которые можно назвать новыми (элементы анализа и аналитической геометрии сравнительно с прежним материалом алгебры, надо прежде всего заметить, что содержание этих отделов (а также и эле ментов алгебры) находится в соответствии с появившимися в 1925 году программами-минимумы единой трудовой школы, изданными Научно-методическим советом Ленинградского губоно.

      Статьи эти следующие:

      1. Основные свойства пределов и применение и) к вопросам элементарной геометрии (определение длины окружности, площади круга, боковых поверхностей цилиндра и ко нуса, объемов пирамиды, цилиндра, конуса и шара).

      2. Начальные сведения о производных функциях и их применение к алгебраическому анализу (признаки возрастания и убывания функций, нахождение maximum и minimum, определение вогнутости и выпуклости кривых, исследование целых функций 2-й и 3-й степеней и пр.) и к вопросам элементарной механики (нахождение скорости по данному закону пространства и нахождение ускорения по данному закону скорости, с иллюстрацией этих применений примерами свободного падения тел и движения тела, брошенного вертикально вверх).

      3. Элементарные сведения по аналитической геометрии (уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы) с указанием главнейших свойств кривых 2-го порядка.

      4. Понятие о первообразной функции и ее при менения в геометрии (нахождение объемов пирамиды, конуса шарового сегмента) и в механике (нахождение пространства по данной скорости и скорости по данному ускорению).

      Изложение всех этих статей я стремился выполнить возмоя но конкретнее и нагляднее, при посредстве большого количеств чертежей (число их в книге равно 119). При этом пособиями мл между прочим, служили:

      О. Godfrey and A. W. Siddons. Elementary algebra (I924)

      W. E. Patersoa. School algebra (1924).

      S. Bernard and J. M. Child. A new algebra.

      Charles Davison. Highor algebra for colleges.

      Dr. Josef Jacob. Arithmetik (1921).

      Prof. Dr. G. Ulrich. Ausfiihrlisckes Lehrbuch fiir den Selbst-uuterricht (1922).

      Prof. Dr. Chr. Schmehl. Die Algebra und algebraische Analysis.

      Behrendsen-Gdtting. Lehrbuch der Mathematik nach modernen Gnindsatzen.

      Richard Sappantscbisch. Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.

      И другие.

      В приложении я поместил еще краткое изложение теории соединении и бинома Нью тона и некоторые другие дополнительные статьи, полезные для тех лиц, которые желают углубить и расширить свои сведения по элементарной математике.

      Впоследствии я намерен дополнить мои "Элементы" еще и систематически подобранными упражнениями и задачами.

 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ.

      Пятое издание подразделено на 2 части. К первой части внесены "Элементы алгебры" с приложением четырехзначных таблиц квадратных корней, логарифмов и антилогарифмов; со второй — "Элементы анализа" вместе с некоторыми дополнительными статьями по алгебре.

      Сверх того в пятом издании книги введены следующие изменения и дополнения:

      1. Сделаны многочисленные исправления и улучшения; напр., Ь § 109 (часть первая) добавлено (мелким шрифтом) обобщение и уточнение доказательства того, что график прямой пропорциональной зависимости есть прямая линия; в § 320 (часть 2-я) глучшено разъяснение недостаточности определения касательной, как такой прямой, которая с кривою имеет только одну бщую точку, н многие другие.

      2. Решение неравенства второй степени (с одним неизвестным), помещавшееся в предыдущих изданиях в "добавлениях" в конце книги), перенесено теперь в главу о трехчлене второй степени (часть l-я, § 228,2), где оно является более уместным.

      3. Равным образом, "Соединения® и "Бином Ньютона", помещавшиеся в "добавлениях", отнесены теперь к "Элементам алгебры" и помещены в конце первой части.

      4. Совершенно переработано доказательство свойства касательной (что она «сть биссектриса угла, образованного ) к эллипсу, к гиперболе и к параболе (часть вторая, 360. 363 и 369). В настоящем издании это доказательство исходя непосредственно из общего определения касательной как предельного положения секущей, тогда как в предыдущих изданиях доказательство основывалось на неверном допущении, что прямая, имеющая с кривой только одну общую точку, есть касательная к этой кривой.

      5. Из добавлений теперь выпущена имеющая только теоретическое значение глава: Освобождение уравнения от знаков радикала помощью неопределенных коэффициентов". Она заменена теперь более важными для курса алгебры главами: "Общие формулы решения системы двух уравнений первой степени" (часть 2-я, § 396 и след.), "Понятие о комплексных числах" (§ 400 и след.) и другими.

      6. К настоящему изданию изготовлены мною многочисленные упражнения и задачи, расположенные сообразно порядку следования параграфов текста книги. Упражнения к "Элементам алгебры", ввиду ех значительного объема (более 1200 №№) выделены в особую книжку под названием: Упражнения и задачи к "Элементам алгебры". Упражнения же к "Элементам анализа" помещены в конце второй части.