Предисловие

В этой книжке 200 логических и занимательных задач. Они интересны тем, что решение их способствует развитию логического мышления, сообразительности, настойчивости, вырабатывает умение находить в условии задачи то "слабое место", используя которое, можно добиться желаемого результата.

Задачи логического типа как бы моделируют научный поиск. В первый момент исследователь сталкивается с массой более или менее разобщенных данных. Конечно, некоторые положительные заключения можно сделать сразу же. Но обычно приходится выдвигать какую-нибудь гипотезу, чтобы довести поиск до завершающего конца.

Правильность гипотез устанавливается путем сопоставления полученных результатов с исходными данными. Если на этом этапе работы вскроется какое-нибудь несоответствие, значит, принятую гипотезу следует отвергнуть, заменив ее другой, и начать рассуждение заново, чтобы прийти в конце концов к такому заключению, которое безукоризненно согласуется с предложенными условиями. Затем нужно исследовать полученные выводы.

Таким образом, отталкиваясь от разрозненной информации, выдвигая гипотезы, рассуждая и делая заключения, исследователь в итоге получает точный ответ.

По самой сути процесс решения логических задач не может быть сведен к какой-либо одной стандартной схеме. Существуют различные способы их решения. И это весьма примечательно.

В настоящем сборнике собраны задачи, различные по содержанию и трудности, простые чередуются с более сложными. Поэтому нет никакой необходимости решать их подряд. Можно начинать с любого места. Кстати, многие задачи снабжены подробными решениями и указаниями. Однако обращаться к ним рекомендуется лишь после достаточно продолжительных попыток "докопаться" до истины. При этом не следует отчаиваться, если та или иная задача сразу не поддается решению.

Все задачи доступны школьникам V-X классов.

Сборник может быть использован как пособие для учителей при проведении внеклассной работы в средней школе, в работе юношеских математических школ и при подготовке к математическим олимпиадам. Его можно рекомендовать учащимся для самостоятельной работы, а также тем, кто желает на досуге "пошевелить мозгами".

Туристу некогда...

Турист решил отправиться из одного города в другой, воспользовавшись попутным транспортом. Первую половину пути он проехал на автомашине в десять раз быстрее, чем если бы шел пешком. Однако вторую половину пути он двигался на волах - в два раза медленнее, чем если бы шел пешком.

Сколько времени выпадал турист от того, что проехал весь путь, а не прошел его пешком?

Брат и сестра

У мальчика братьев нет, а у его сестры столько же братьев, сколько сестер.

Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?

На лесопильном заводе

На лесопильном заводе машина отпиливает от бревна за 1 ммнуту кусок длиною в 1 метр.

За сколько минут будет распилено на такие куски бревно длиною в 10 метров?

12 лет одних пятниц

Один старик прожил 12 лет одних пятниц. Сколько лет прожил старик?

Распутайте числа

В кругу расположены подряд числа, из которых два множителя, а третье их произведение. Найдите эти числа.

Цена линейки

Два ученика хотели купить по линейке. Когда продавец назвал цену линейки, то оказалось, что у одного ученика не хватает до этой суммы 24 копеек, а у другого 2 копеек. Тогда ученики решили сложить свои деньги, чтобы купить хотя бы одну линейку. Оказалось, что и в этом случае денег все равно не хватает.

Сколько стоила линейка?

Расставьте знак

Расставьте знак "плюс" между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в сумме получилось число 100.

Гусеница

Гусеница каждый день проползает вверх 7 дм, а за ночь она сползает на 4 дм вниз.

На какой день она вползет на стену высотой 19 дм?

Пять кусков цепи

Имеется пять кусков цепи по три кольца в каждом. Сколько колец нужно расковать и сковать, чтобы соединить эти куски в одну цепь?

Цепочка из драгоценных колец

Некий английский студент, сняв комнату на неделю, предложил хозяйке в уплату цепочку из семи драгоценных колец, по кольцу за день, с тем, однако, условием, что он будет рассчитываться с ней ежедневно. Хозяйка согласилась, оговорив, со своей стороны, что он может распилить только одно кольцо. Как студенту удалось расплатиться с хозяйкой?

Кольца цепочки-разновесы *|

Цепочка с незамкнутыми концами состоит из 1093 колец. Каждое кольцо весит 1 грамм и может размыкаться.

Сколько колец нужно "расстегнуть", чтобы, пользуясь образовавшимися частями цепочки как разновесами, можно было бы взвесить любой груз от 1 до 1093 граммов?

Шесть стаканов 12

На столе стоят шесть стаканов. Как видно на рисунке, три наполнены водой, остальные пустые.

Попробуйте переставить стаканы таким образом, чтобы первые три в ряду были с водой, а последние пустые.

Переставлять нужно одновременно по два смежных стакана. Перестановку нужно совершить за три приема.

Имеется два раствора перекиси водорода: двадцатипроцентный и трехпроцентный.

В какой пропорции их надо смешать, чтобы ставить двенадцатипроцентный раствор?

Сколько лет прожил Диофант!

На могильном камне великого древнегреческого математика Диофанта есть надпись:

"Путник! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в глубокой старости. Шестую часть своей долгой жизни он был ребенком, двенадцатую - юношей, седьмую провел неженатым.

Через пять лет после женитьбы у него родился сын, который прожил вдвое меньше отца. Через четыре года после смерти сына уснул вечным сном Диофант, оплакиваемый своими близкими".

Скажи, сколько лет прожил Диофант?

15 Замки и ключи

Перед нами 10 закрытых замков и 10 похожих ключей к ним. К каждому замку подходит только один ключ, но ключи смешались. Возьмем один из замков, назовем его первым и попробуем открыть его каждым из 10 ключей. В лучшем случае он откроется первым же ключом, а в худшем - только десятым.

Сколько нужно в худшем случае произвести проб, чтобы открыть все замки?

16 Один велосипед на двоих

У двух ребят был один велосипед, на котором они отправились в соседнюю деревню. Ехали они по очереди, но всякий раз, когда один ехал, другой по условию должен идти пешком, а не бежать. Спрашивается: каким образом они ухитрились прибыть в деревню почти в два раза быстрее, чем если бы оба шли пешком?

17 Усушка на 1 %

На складе было 100 кг ягод. Проведенный анализ показал, что в них содержится 99% воды. Через некоторое время анализ повторили. Оказалось, что содержание воды в ягодах упало до 98%.?

Сколько теперь весят ягоды? (Прежде, чем считать, прикиньте ответ "на глазок").

Сколько рыб в пруду! *|Q

Рыбаки выловили сетью из пруда 60 рыб, отметили их и снова бросили в воду. На другой день рыбаки выловили сетью 80 рыб. Среди них оказалось 5 меченых.

Можно ли по этим данным сказать, сколько всего рыб в пруду?

Встреча *|

4 школьника посещали кинотеатр. Первый бывал в нем каждый четвертый день, второй - каждый пятый, третий - каждый седьмой, четвертый - каждый девятый.

Когда в первый раз школьники встретятся вместе в кинотеатре?

Игра 20

Двое играют в такую игру. Первый называет однозначное число, т. е. целое число от 1 до 9 включительно, а второй прибавляет к нему еще какое-нибудь однозначное число и называет сумму. К этой сумме первый прибавляет еще какое-нибудь однозначное число и опять называет сумму и т. д. Выигрывает тот, кто первым назовет 66.

Как нужно играть в такую игру, чтобы выиграть? Кто выиграет при правильной игре - начинающий или его партнер??

Как выиграть!

Имеется две кучи камней. Игра состоит в том, что каждый из двух игроков по очереди берет любое количество камней в одной из двух куч. Выигрывает тот, кто берет последним. Игрок А имеет право либо начать игру, либо предоставить первый ход своему партнеру. Найдите способ игры, обеспечивающий выигрыш игроку А.

22 Случай на дороге

Посмотрев на спидометр, шофер заметил, что количество километров, пройденных машиной, выражалось симметричным числом: его можно было читать одинаково слева направо и справа налево: 15951. "Занятно! - подумал шофер. - А не появится ли на счетчике другое число, обладающее такой же особенностью?"

Ровно через два часа такое число появилось. Оно также в обе стороны читалось одинаково.

С какой скоростью вел машину шофер эти два часа?

23 Как разделить хлеб!

Древняя задача о делении хлеба записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, найденный в конце прошлого столетия, составлен около двух тысяч лет до нашей эры и является списанным с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, может быть, к третьему тысячелетию до нашей эры.

Вот содержание этой задачи:

99 мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько больше первого, на сколько четвертый получил больше третьего, а третий получил на столько больше второго, на сколько пятый получил больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в восемь раз меньше трех остальных.

Сколько хлеба нужно выдать каждому?

Носки черные и светлые

В чемодане 5 пар черных носков и 5 пар светлых носков. Все они перепутаны между собой.

Какое наименьшее число носков нужно взять из чемодана наугад, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара одноцветных?

Цветные шары 25

В ящике лежат 70 шаров, отличающихся лишь цветом: 20 красных, 20 синих, 20 желтых, остальные черные и белые.

Какое наименьшее число шаров надо взять, не видя их, чтобы среди них было не меньше 10 шаров одного цвета?

Ход конем 28

Можно ли ходом шахматного коня попасть из левого нижнего угла доски в правый верхний, побывав на каждом поле ровно один раз?

На шахматной доске

Указать наибольшее число коней, которых можно расставить на шахматной доске так, чтобы ни один из них не был под боем другого (цвет коней не учитывается).?

Муха на шахматной доске

Как муха может обойти все белые квадраты шахматной доски, ни разу не ступив на черное поле и ни разу не пройдя по одному и тому же белому полю дважды?

Разговор между братом и сестрой

Брат говорит сестре:

- Если я к твоим деньгам добавлю половину моих, мы сможем купить две плитки шоколада.

- Ну, а если я к твоим деньгам прибавлю половину моих? -спросила сестра.

- Тогда у нас будет денег только на одну такую плитку, - ответил брат.

Сколько денег было у брата?

30 Сколько слив в корзине!

Древняя легенда повествует, что некогда нежная королева обещала свою руку тому из трех рыцарей, кто первый решит следующую задачу: сколько слив в корзине, если половину всего содержимого и одну сливу она отдаст первому рыцарю, половину оставшихся и еще одну - второму и, наконец, третьему - половину оставшихся и три сливы и после этого корзина будет пустой?

Приказание барина Jj

Барин вызвал своего слугу и приказал за пять рублей купить 100 птиц трех видов: уток, гусей и воробьев. Гусь стоил 50 коп., утка - 10 коп., воробей-1 коп. Как должен слуга произвести покупку, чтобы выполнить приказание барина?

О продаже орехов 32

Некто имел ореховое дерево. Собрав урожай, он позвал трех сыновей и сказал им: "Вот сто пятьдесят орехов, и вам надо их продать. Но все вы должны продать их по одной цене". И он дал одному 15, другому - 50, третьему-85 орехов, сказав при этом: "Я хочу, чтобы каждый из вас получил за орехи одинаково". Это оказалось почти невозможным, но сыновья были со смекалкой и с поставленным условием справились. Как?

Коровы И МОЛОКО 33

Четыре коровы черной масти и три коричневой дают за пять дней столько молока, сколько три черных коровы и пять коричневых дают за четыре дня.

У каких коров большие удои: у черных или у коричневых?

О ящиках с яблоками 34

В 500 ящиках лежат яблоки. Известно, что ящик не может вмещать более 240 яблок. Докажите, что по крайней мере три ящика содержат по одинаковому числу яблок.

Сколько лет Вове! 35

Вова на восемь лет старше Саши. Два года назад ему было втрое больше, чем Саше.

Сколько лет Вове?

JQ Сколько лет бабушке!

Внук спросил бабушку: ""Сколько тебе лет?" Она ответила: "Каждая из двух цифр в числе моих лет равна возрасту твоих двоюродных братьев Коли и Славы". "Но я не знаю, сколько им лет", - возразил внук. "Если ты сложишь вместе возраст Коли, Славы и мой, то получишь в сумме 83», -сказала бабушка.

Помогите внуку вычислить возраст бабушки,

37 Сколько им лет!

Папе, маме и трем дочерям вместе 90 лет. Разница в возрасте между девочками - 2 года. Мама на 10 лет старше, чем три дочки, вместе взятые. Разница в летах между родителями равна возрасту средней дочери.

Сколько лет папе, маме и трем их дочерям?

38 Сколько лет Ване!

Когда Ваню спросили, сколько ему лет, он подумал и ответил:

- Я втрое моложе папы, но зато втрое старше брата Сережи.

А маленький Сережа подбежал и объяснил, что папа старше его на 40 лет.

Сколько лет Ване?

33 Мария и Анна

Марии 24 года. Она вдвое старше, чем была Анна, когда Марии было столько лет, сколько Анне теперь.

Сколько лет Анне?

Кто ровесницы!

В общежитии в одной комнате живут четыре девушки: Валя, Маша, Таня и Галя. Двое из них ровесницы. Маша была бы старше Тани, если бы она не была моложе Гали. Валя была бы моложе Тани, если бы она не была старше Гали.

Кто ровесница Тани: Маша, Валя или Галя?

В одном доме 41

В одном доме жили несколько супружеских пар с детьми. Вот что о них известно. Всего детей больше, чем взрослых, взрослых больше, чем мальчиков, мальчиков больше, чем девочек, а девочек больше, чем семей. Бездетных семей нет и нет семей с одинаковым числом детей. У каждой девочки по меньшей мере один брат и самое большее- одна сестра. В одной из семей детей больше, чем во всех остальных, вместе взятых.

Сколько семей жило в доме? Сколько мальчиков и сколько девочек в каждой из семей?

Неверный отчет 42

Проводилась перепись населения в доме, который был заселен только супружескими парами с детьми.

Человек, проводивший перепись, был шутником и составил такой отчет: "Взрослых в доме больше, чем детей. У каждого мальчика есть сестра. Мальчиков больше, чем девочек. Бездетных семей нет".

Этот ответ был забракован и не потому, что он был составлен не по форме. Отчет был неверен. Почему?