ВВЕДЕНИЕ

ТЫ ИНТЕРЕСУЕШЬСЯ МАТЕМАТИКОЙ, ИНАЧЕ ТЫ НЕ ВЗЯЛ БЫ В РУКИ ЭТОТ СПИСОК. НО ИНТЕРЕСОВАТЬСЯ МАТЕМАТИКОЙ МОЖНО ПО-РАЗНОМУ. ДАВАЙ СНАЧАЛА РАЗБЕРЕМСЯ, КАК ТЫ ОТНОСИШЬСЯ К ЭТОЙ НАУКЕ, ЧТО ТЕБЯ В НЕЙ ПРИТЯГИВАЕТ, НАСКОЛЬКО ТЕСНО ТЫ СОБИРАЕШЬСЯ СВЯЗАТЬ С НЕЙ СВОИ СУДЬБУ. В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТОГО, КАКОЙ ОТВЕТ ТЫ ДАШЬ НА ЭТИ ВОПРОСЫ, ТЕБЕ ПОНАДОБИТСЯ ТА ИЛИ ИНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

ПОЭТОМУ СОВЕТУЕМ ТЕБЕ НЕПРЕМЕННО ПРОЧИТАТЬ ВВЕДЕНИЕ, ГДЕ ЭТИ ВОПРОСЫ БУДУТ РАЗОБРАНЫ, А ТАКНЕ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНУЮ ЧАСТЬ, И ЗАТЕМ УЖЕ ЧИТАТЬ (ИЛИ НЕ ЧИТАТЬ) ТАКОЙ-ТО РАЗДЕЛ НАШЕГО РЕКОМЕВДАТЕЛЫЮГО СПИСКА. НА С.4б. ПРИВЕДЕН АЛФАВИТНО-ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ, КОТОРЫЙ ПОМОЖЕТ ТЕБЕ ОТЫСКАТЬ В ТЕКСТЕ НУЖНЫЙ РАЗДЕЛ.

ЕСЛИ ТЕБЯ ИНТЕРЕСУЕТ МАТЕМАТИКА С Аннотированный рекомендательный список литературы)

Некоторых людей математика интересует сама по себе, независимо от ее многообразных к полезным расчетам, к физике и другим наукам. 3 этих случаях говорят, что человека привлекает чистая математика. Среди неспециалистов бытует мнение, что эта наука как бы парит в небесах, что она не связана ни с чем реальным. Запомни раз и навсегда, постарайся никогда не забывать об этом: такое мнение ошибочно. Чистая, или, лучше сказать^ теоретическая математика составляет основу любой практической ветви математической науки подобно тому, как физическая теория составляет основу всех изменений физики в народном хозяйстве. Об этом мы скажем подробно в конце.

И все же теоретическая математика не контактирует с фактической непосредственно. Она не является наукой о природе в отличие от физики, химии или биологии. Чистая математика изучает формальные структуры, которые затем используются прикладными науками для изучения действительного мира. Такое разделение труда очень разумно. Весь опыт мировой науки показывает, что, чем совершеннее с формальной точки зрения становится математическая Структура, тем ценнее она для конкретных наук. Поэтому для математика не обязательно глубокое знание, скажем, физики. Вполне достаточно, если математик как следует разберется во внутренних проблемах своей науки, в ее логическом построении.

Поэтому, если неверно, что теоретическая математика отгорожена от приложений, то очень часто бывает верным, что математик, посвятивший себя некритическим проблемам этой науки, в течение всей жизни не занимается никакой прикладной наукой. В этом случае можно, пожалуй, сказать, что он как бы сознательно отгораживается от реального мира, все более погружается в мир воображаемый, объектами которого являются "векторы", "функции", "группы преобразований", "матрицы" и другие вещи, кажущиеся непосвященному надуманными и даже заумными. На самом деле, как мы уже знаем, эти абстрактные понятия совершенно необходимы для развития прикладной математики, на которой, в свою очередь, держится вся наша техническая культура.

Но чтобы заниматься абстракциями, нужен особый вкус, специфические способности, которые встречаются не часто. Большинство людей живо интересуются лишь теми объектами, которые, как говорят, можно пощупать, - доступными нашим органам чувств, объектами живой реальности. Такими объектами: являются, например, минералы, растения и животные, и заинтересованность ими порождает любовь к геологии, ботанике, зоологии. Бывает, что интерес к природным объектам носит более отвлеченный характер; в этом случае человек может стать физиком-теоретиком или химиком-теоретиком. Он не будет непосредственно иметь дело с материальными объектами, но они будут стоять за понятиями, которыми ему придется оперировать, останутся близкими его мышлению. Скажем, исследуя законы движения атомной частицы, физик-теоретик нуждается только в карандаше и исходных данных, изложенных на бумаге, но он ясно представляет себе то реальное тело, свойства которого изучает, и все сделанные им предсказания о поведении этого тела, быстро могут быть проверены экспериментатором и либо отвергнуты, либо подтверждены. Поэтому можно сказать, что представитель теоретического естествознания отходит от живой природы только на один шаг. Совсем иное дело - математик, занимающийся "чистой" математикой. Связь между понятиями, с которыми он имеет дело, и природой настолько многоступенчатая и отдалена, что эти понятия становятся для него "самостоятельными сущностями". У математика часто создается иллюзия, что эти понятия существуют независимо от внешнего мира и они не менее реальны, чем материальные предметы, французский математик Эрмит (1822-1901) так писал об этом: "Я верю, что числа и функции... не являются произвольным созданием нашего разума; я думаю, что она существует вне нас в силу той же необходимости, как объек-ты реального мира, и мы встречаем их или открываем их точно так, как это делают физики, химики и зоологи".

Теперь ты видишь, какую огромную силу воображения должен иметь математик? Если отвлеченные, абстрактные понятия не станут для него живыми и осязаемыми, то он так же мало добьется в своей работе, как и писатель, для которого его вымышленные герои не станут реальными людьми. Итак, первое условие - интеллектуальное воображение, способность длительно концентрировать внимание и напряжение мысли на весьма отвлеченных объектах, схемах, числах, абстрактных соотношениях.

Бурбаки Н. Элементы математики. Кн. 8. Очерки по истории математики. М., 1963, с. 29.

Но одного воображения для математика-теоретика мало. Точнее, его воображение должно иметь специфический характер - уметь удерживаться в определенных рамках и не отклоняться сильно от логической строгости. В сценарии одного из сюрреалистических фильмов есть такая сцена: по улице едут велосипедисты с завязанными глазами. Нельзя отказать автору этого сценария в воображении, в фантазии. Но такого рода фантазия никакой пользы математике не принесет. Математическое воображение состоит не в отказе от логики, а в предвидении путей, которыми может идти строго логическое рассуждение.

Если ты хочешь предварительно проверить наличие у себя математических способностей, рекомендуем тебе прочитать материал для про консультации "А может быть, вы математик?", помещенный на с.

Самым надежный методом являет Предложенный там метод "тестов", а чтение непосредственно математической литературы, попытка начать изучение абстрактной математики. Тут, правда, очень важно выбрать посильные книжки, чтобы сразу не "надорваться" o Если они не захватят тебя, не покажутся самыми интересными в мире, то лучше поищи свое призвание в других областях, например, в области прикладной математики. Но если ты сторонник фундаментального подхода к чтению и обязательно хочешь сначала узнать кое-что о сущности математической науки, о происхозщении ее абстракций и их значения, то прочитай книгу

Г. Рузавина "О природе математического знания" (Очерки по методологии математики).

Переходя непосредственно к изучению абстрактной математики, прежде всего постарайся достать классическое пособие, написанное замечательным американским математиком Курантом в содружестве с Роббинсом. Курант был учеником и сотрудником великого, немецкого математика Даввда Гильберта (1862-1943), оказавшего огромное влияние на развитие математической науки. В период прихода к власти фашизма в Гермаяии Курант эмигрировал в США.

Курант F., Роббинс Г. "Что такое математика?" Элементарный очерк идей и методов.

Заметь, что это не книга для легкого чтения. Многое в ней будет для тебя трудным. Не советуем любой ценой пытаться проштудировать все подряд. Потребуй сначала читать те места, которые ясны для тебя, делай упражнения. Прочти, отложи, по - думай над прочитанным, потом снова вернись к книге. Постепенно ты начнешь улавливать взаимосвязь между главами и параграфами, и структура математической науки будет представать перед твоим внутренним взором все более четко. То же самое относится и к книге

Феликса Люсьенна "Элементарная математика в современном изложении".

Более доступными для начинающего являются следующие три книги, переведенные с английского. Они ставят целью показать читателю общую перспективу современной математической науки. Первая из них написана известным американским популяризатором и педагогом Сойером.

Сойер У. - "Прелюция к математике. Рассказ о некоторых любопытных и удивительных областях математики с предварительным анализом математического склада ума и целей-математики".

Вторая книга представляет собой сборник, написанный многими ведущими специалистами США:

wМатематика в современном мире, *1 (Сборник статей).

Сущности математики и её роли в нашей жизни посвящена небольшая книжка, получившая популярность во многих странах:

Реньи А. "Диалоги о математике".

Известный венгерский математик (а в Венгрии существует очень хорошая математическая школа, давшая миру выдающихся ученых) пишет о своей науке в форме, которую впервые ввел в научную литературу великий древнегреческий философ Платон: два человека беседуют, иногда спорят, и в споре рождается истина.

С именем автора книги "Я - математик* Н.Винером связано создание столь авторитетной сегодня науки - кибернетики. Это - прикладная наука. Однако она была заложена "чистым" математиком, ныне уже покойным Норбертом Винером. В этом еще раз обнаружилась тесная связь между, казалось бы, оторванными от мира понятиями математики и реальной действительностью. Винер рассказывает о своем цуги в математику. Он не только любит эту науку, но, вероятно, считает ее единственно стоящим занятием на свете. Хотелось бы, чтобы эта прекрасная убежденность передалась и тебе. Но даже если ты не согласишься с фанатизмом Винера, книга "классика* современной науки всегда будет украшением твоей библиотечки.

Краткое представление о проблемах современной математики ты можешь получить., познакомившись с брошюрами издательства "Знание":

Тростников В.. "Всемирный конгресс математиков в Москве". Математики о математике? Сборник статей.

Демидов С. . "Проблемы Гильберта".

Ты, вероятно, заметил, что мы несколько раз употребили выражение "современная математика". Пока ты не прочитал рекомендованные выше книги, мы можем кратко рассказать, чем отличается современная математика от прежней. Сегодняшнюю математику отличает строгость и безукоризненная логика рассуждений. Та знаешь, что дифференциальное и интервальное исчисления создали Исаак Ньютон (1642-1727) и Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Это были великие ученые, их идеи дали колоссальный толчок всей нашей материальной цивилизации, математике и естествознанию. Ньютон и Лейбниц первыми ввели в математику такое важнейшее понятие, как производная функция. Но если бы сейчас кто-нибудь выступил с определением такого рода, то у математиков "волосы встали бы дыбом", настолько повысились требования к точности изъяснения. С современной точки зрения определения и рассуждения Ньютона и его ближайших последователей были в высшей степени небрежными, нестрогими, "интуитивными". Дело в том, что в то время математику рассматривали как науку о природе, поэтому ее понятия связывали накрепко с соответствующими понятиями физики (например, производная - скорость изменения), а последние считались "очевидными". Но по мере развития математики и расширения областей ее приложения логические недоработки начинали давать себя знать. В результате к концу прошлого века в математической науке разразился настоящий "кризис", были обнаружены парадоксы, противоречия, несоответствия. Казалось, что огромное математическое здание начало колебаться, готовое рухнуть, поскольку его фундамент был порочным, изобиловал логическими трещинами. Это был драматический момент в истории не только математики, но и культуры вообще. Начался срочный пересмотр основ математики, оказавший огромное влияние на философию, логику, лингвистику, психологию, физику и другие науки. Обо всем этом ты можешь прочитать в первых главах следующей книги:

Клини С. "Введение в метаматематику**.

Клини приводит знаменитый "парадокс Рассела" (принадлежащий недавно скончавшемуся Бертрану Расселу, знаменитому английскому математику, философу и борцу за мир), произведший, по выражению Гильберта, катастрофическое действие на математический мир, а также другие "антиномии" - противоречивые утверждения, абсурды, строго логически вытекающие из принятых в то время в математике понятий и определений. Между прочим, о них ты прочтешь в рекомендованной выше книге Г.И. Рузавина. Какой же выход из создавшегося положения нашли математики? Предлагались разные рецепты. Математики разделились на три основных лагеря. Один из них образовали логисты, которых был Бертран Рассел. Поскольку это течение оказалось несостоятельным и постепенно сошло на нет, мы не будем рекомендовать каких-то специальных книг для его изучения. Второй лагерь составили интуиционисты во главе со знаменитым голландским математиком Брауэром (родился в 18S2 г.). Фактически, это течение тоже принадлежит истории математики, однако оно

породило новое направление, называемое конструктивизмом. Сторонники конструктивизма имеется я в СССР, все они так или иначе являются учениками нашего замечательного математика А.А.Маркова. Один из Беднейших представителей советской конструктивной математики - Н. А. Шанин. Если ты хочешь подробно узнать об этом направлении, прочитай вступительную статью профессора Шанина к книге:

Р, Гудстейна . "Рекурсивный математический анализ". (Покупать эту книгу, пока ты не заинтересуешься математикой всерьез, мы не советуем, так как она трудна для начинающего). Более доступное изложение, касающееся аппарата конструктивной математики, можно найти в статье

ф. .Зарпаховского и А.Колмогорова "О решении десятой проблемы Гильберта".

Третья группа математиков образовала течение формализма . Если не уточнять деталей, то можно сказать, что кризис основ математики, разразившийся в конце прошлого - начале нынешнего века, преодолен к настоящему времени, в основном, в пользу формализма. Математик-теоретик рассматривает сейчас свою науку как условный язык, подчиненный точным правилам образования высказываний и переработки символов. Однако формализм современной математики является умеренным. Он не отрицает косвенной связи этой науки с реальным миром и вовсе не изображает дело так, будто математика есть абсолютно ни с чем не связанная условная игра в символы. А именно так в пылу полемики старались представить ситуацию пионеры формализма.

Надо сказать, что глава формалистов великий Гильберт всегда проявлял чувство меры. Даже призывая предельно формализовать математику и сделать ее "слепым механизмом переработки символов", он выражал глубокую уверенность в том, что математика и в этом случае не становится пустым игровым занятием, а сохраняет важнейшую роль могучего культурного и инструментального фактора человеческой цивилизации. Об атом ты можешь прочитать в приложениях к прославленной книге Гильберта (которая будет полезной для тебя и сама по себе):

Гильберт Д. "Основная геометрия""

Эта книга, вышедшая в серии "Классики естествознания", познакомит тебя с методом формализации в математике, который теперь принят повсеместно. 3 приложениях, о которых мы упомянули, ты наедешь интереснейшее изложение предложенной Гильбертом грандиозной программы перестройки всей математики на новых основаниях, темпераментные выступления ученого против интуиционистской школы Брауэра^ Надо сказать, что программа Гильберта потерпела крушение, так как в начале тридцатых годов нашего века австрийский математик Гедель строго доказал невозможность таких логических построений, которые, по мысли Гильберта, должны были "поставить все точки над "и*. Результаты Геделя, имеющие колоссальное математическое и философское значение, были получены в русле той науки, без которой теперь немыслимо никакое глубокое исследование в теоретической математике, - в русле математической логики. Чтобы получить первое представление об этой науке (точнее об этой отрасли математики), прочти прежде

всего брошюру издательства "Знание":

Иве Г., Ньюсом К. "О математической логике и философии математики".

В самом начале своей книжки авторы (американские математики и педагоги) решительно заявляют, что в современной математике анализ логической строгости высказываний (определений и теорем) совершенно невозможен без применения специальной символической логики, подобной алгебре. Именно об этой логике пре"- красно дает первое представление брокера.

Книга Н. Яглома "Необыкновенная алгебра":

В символической логике высказывания заменяются буквами (как числа в алгебре), а связи между высказываниями, такие, как "и" или "или", "тогда и только тогда, когда" и т.п., обозначаются специальными знаками. Исследователь, оперирующий с символами математической логики, вовсе не обязан вдумываться в значение каждого промежуточного этапа выкладок; он должен только следить, чтобы эти выкладки велись по совершенно четким, определенным правилам. Это дает возможность как бы "механизировать" рассуждения и сильно облегчает работу математиков. Подробнее с правилами символической логики можно познакомиться, прочитав следующие книга:

Гржегорчик А. "Популярная логика".

Столл Р. "'множества, логика. Аксиоматические теории".

Гильберт Д., Аккерман В. "Основы теоретической логики".

Большой вклад в развитие математической логики и обоснования математики внес советский математик Н.С .Новиков. Академик Новиков является уже "классиком" науки, хотя плодотворно работает и сегодня* Поэтому, если ты хочешь внять совету опытных людей, которые говорят: "читайте первоисточники", то с математической логикой тебе следует познакомиться по книге.

И. .Новикова "Элементы математической логики".

Таким же "классиком" математической логики является ныне здравствующий американский математик А.Черч. Он внес большой вклад в так называемую теорию алгоритмов и сформулировал основной тезис этой теории теэис Черча" (о нем упоминается в рекомендованной статье Варпаховского и Колмогорова). Поэтому первоисточником ты можешь считать и такую книгу:

Черч А. "Введение в математическую логику".

Если изложение "классиков" тебе покажется несколько сухим, многие детали логической теории ты можешь лучше уяснить из популярной книжки Г. Мельникова "Азбука математической логики".

Что же касается сущности тех проблем, для решения которых столь необходима символическая логика, то о них рассказывает книга И. Лакатоса "Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы".

Вот что мы можем посоветовать тебе в том случае, если ты твердо определил, что твоё призвание - чистая математика, и решил систематически изучать её с самых основ. Однако может случиться, что вопросы обоснования математики, её логической незыблемости покажутся тебе в первое время не столь уж важными, и у тебя возникнет нетерпеливое желание скорее познакомиться с теми объектами, которые в теоретической математике считаются центральными. Что ж, если ты, сохраняя желание быть математиком-теоретиком, настроен практически и хочешь сразу "схватить быка за рога", то тебе необходимо начать с изучения основных структур, которыми занимается современная математика. Ведь математика уже давно перестала быть наукой о числах; как справедливо отмечает Рузавин, она не является сегодня даже наукой о 1/ величинах.

Объектом исследования математики являются структуры. Конечно, для тебя это слово звучит пока неопределенно. Ты поймешь его смысл, познакомившись с литературой, рекомендованной ниже. Пока только скажем, что основной структурой является множество.

Первую научную теорию множеств создал гениальный немецкий математик, родившийся в Петербурге, Георг Кантор (1845-1918). Но по современным критериям теория Кантора была все же слишком нестрогой. Посмотри, например, как Кантор определял основное понятие своей теории, понятие множества:

"Под множеством мы понимаем любое объединение в одно целое определенных, вполне различных объектов из нашего восприятия или мысли (которые называются элементами)".

Такое "наивное" определение множества не отвечает сегодняшним требованиям. Поэтому теория множеств строится сейчас тем же формализованным способом, которым Гильберт построил геометрию. В основе теории множеств лежат аксиомы. Возможно, ты думаешь, что аксиомами, как и во времена Евклида, считаются сами собой очевидные предложения. Это давно уже не так. Аксиомами могут быть любые предложения, часто они значительно 1/

Рузавин Г. О природе математического знания. - ta.,"Мысль", 1968. 302 с.

менее очевидны, чем выводимые ив них теоремы. Но система аксиом должна удовлетворять требованиям непротиворечивости, полноты и независимости. И, конечно, теория, построенная на аксиомах, должна иметь внутри математическое или прикладное значение. Наиболее серьезной из доступных школьнику, интересующемуся математикой, книг по множествам можно считать книгу К.Куратовоко го и А Жостовского "Теория множеств".

Известные польские математики строят теорию множеств наиболее характерным для современной математики формальным способом. Ио, возможно, такой путь покажется тебе трудным из-за отсутствия привычки. Поэтому мы рекомендуем тебе собрать группу из 5-8 человек, так же интересующихся теоретической математикой, и с помощью учителя математики или другого специалиста раз в неделю проводить "семинары* по книге Куратовского и Мостовского, распределяя доклады между членами группы и давая руководителю слово для подведения итогов. Такой путь изучения теории множеств был бы чрезвычайно полезным: он заставил бы вас работать именно в том духе и ритме, в котором работают профессиональные математики. А главное. - освоение стиля современной аксиоматической теории множеств помогло бы тебе с молодых лет "правильно поставить мышление" подобно тому, как хорошие певцы правильно ставят голос.

Очень богатая по содержанию (и тоже достаточно трудная) книга о множествах принадлежит мифическому Николаю Бурбаки - французскому профессору математики. На самом деле за этим именем скрывается целая группа лучших математиков Европы (в основном Франции), Вот эта книга:

Бурбаки Н" "Теория множеств".

"Профессор" Бурбаки является "умеренным формалистом". Что это такое, ты уже знаешь. Можно не соглашаться с ним по отдельным философским высказываниях. Но, как заметил один школьник, формалисты излагают математику понятнее всех. Это и не удивительно: ведь они тщательно следят за "языком", за его точностью и правильностью, (мы имеем в виду не только язык слов, но и язык формул). Формалист не позволяет пересыпать изложение такими фразами, как "легко видеть", "очевидно" и т.д., которые иногда сильно раздражают читателя. Но если предыдущие книги все же покажутся тебе малопонятными, начни знакомство с теорией множеств с популярной книги Н. Виленкина "Рассказы о множествах".

Множество - наиболее общее понятие, структура, в максимальной степени лишенная индивидуальных свойств. По мере того, как множеству сообщаются конкретные свойства, оно превращается в группу, кольцо или пол ? в Об этих важнейших частных случаях множеств, имеющих универсальное распространение в математике, можно прочитать в следующих книгах:

Александров П. . "Введение в теорию групп".

Ляпин Е., . Айзенштадт А, . Лесохин М. . "Упражнения по теории групп".

Несмотря на то, что сейчас речь у нас вдет об абстрактной математике, тебе очень полезно будет иметь представление о том, в каких прикладных отраслях используются основные математические структуры. Для этого ты можешь просмотреть книгу Г. -Лю-барского "Теория групп и её применение в физике*.

Более серьезной работой в этой области является книга Э. Хеннана "Представления групп и прикладная теория вероятностей" .

Небольшая, но очень содержательная книжка, полезная тем, кто хочет основательно изучать математические структуры, вышла недавно в издательстве "Наука":

Скорняков Л. . "Элементы теории структур".

Книга Ю. Лерейдера "Равенство, сходство, порядок" написана более просто, чем предыдущая. В ней на должном научном уровне изложены общие проблемы, связанные с математическими структурами.

Математической теории, отказавшейся от использования понятия бесконечного множества, рассматриваемого как единый объект, посвящена книга:

Кушнер Б.. - "Лекции по конструктивному математическому анализу".

На этом мы закончим рассказ о литературе, посвященной абстрактной, теоретической математике. Еще раз повторим, что очень мало у кого есть глубокая тяга к отвлеченным математическим построениям, которые с каждым годом становятся всё более формализованными и все менее связанными с какими-либо структурами реального мира. Очень может быть, что, прочитав одну из вышеуказанных книг, ты поймёшь: мир чистых формул не для тебя. Это, конечно, ещё не будет означать, что и математика не для тебя. Ведь кроме абстрактной, существует прикладная математика, близко связанная с миром вещей, с естествознанием, с доступными нашим органам чувств явлениями, с техникой.

Надо сказать, что в этом случае чтение названных выше книг тоже окажет тебе огромную пользу, так как ты получишь хотя бы общее представление об идейной стороне современной математики, без которой не было бы никакого движения в технической, прикладной математике. И все же, если твой темперамент и особенности твоего мышления просят занятия поконкретней, чем "преобразование символов по определенным четким правилам", тебе нужно серьезно читать литературу, посвященную не абстрактной, а "рабочей" математике.

Самой мощной в прикладном отношении отраслью математики является сейчас, конечно, машинная математика, наука о взаимодействии с "искусственным мозгом" - электронно-вычислительными машинами, наука об эксплуатации этого "чуда нашего времени". Завтрашний день, несомненно, день господства мыслящих автоматов. Их широчайшее распространение вызовет' огромные сдвиги во всех областях нашей жизни. Появление ЭВМ можно считать предвестником величайшей технической революции в истории человечества с тех пор, как древний человек взял в руки палку. С каждым годом всё больше появляется математических машин, они становятся всё совершеннее и дешевле, а количество специалистов-математиков. умеющих работать с этими машинами, растет не в той мере, в какой это было бы нужно.