Очерки о математических задачах на смекалку (Кордемский) 1958 год

Скачать Советский учебник

 Очерки о математических задачах на смекалку (Кордемский) 1958

Назначение: Пособие для учителей

© ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Москва  1958

Авторство: Борис Анастасьевич Кордемский 

Формат: PDF Размер файла: 4.16 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

§ 1. Внеучебные задачи и развитие математической инициативы у подростков и взрослых 5

Математическая инициатива и внеучебные средства ее развития

Две категории внеучебных задач 7

Роль внеучебных задач в воспитании математической инициативы   - 8

Внеучебные математические задачи на смекалку . . . 12

§ 2. Краткая историография математических задач на смекалку 16

Классическое наследие .

Первые отдельные сборники задач 21

Значительные работы ближайшего прошлого 25

Отечественные произведения 38

Дополнительные сведения 44

. § 3. Попытки систематизации математических задач на

смекалку 46

§ 4. Несколько новых тем 50

ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...

 

Решетка точек 61

Математика почти без вычислений 60

§ 5. Педагогические особенности математических задач на

смекалку 67

Конкретность

Индуктивность 70

Возбуждение интереса . . .   72

Занимательность 74

Общедоступность 82

Политехнизм 84

Практического развития и для воспитания умственной активности подростков 92

Роль задач-смекалок в повышении математического развития подростков

Роль математических задач-смекалок в воспитании умственной активности 96

§ 7. Проявление творческой самодеятельности в решении математических задач-смекалок 100

Краткий перечень книг, содержащих математические упражнения для внеучебных занятий 114

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Очерки о математических задачах на смекалку (Кордемский) 1958 года

СКАЧАТЬ PDF

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 ПРЕДИСЛОВИЕ

Творческими усилиями математиков создана богатейшая коллекция внеучебных математических задач на смекалку» или «математических развлечений», как их часто называют. Но этот материал все еще недостаточно используется в семье и школе для разумного заполнения досуга, для упражнений ума, воли и характера.

Естественно, что воспитатели (педагоги, родители) не должны пройти мимо таких «неиспользованных резервов» в деле всестороннего развития личности воспитуемого. Что же об этих «резервах» должен знать преподаватель математики дополнительно ко всему тому, чему он уже обучен? Каким должно быть его отношение к коллекции внеучебных математических задач на смекалку? Заслуживает ли этот материал творческих усилий учителя?

В теории педагогики к творческой педагогической технике относят, в частности, организацию занимательных и полезных, интересных для учеников внеклассных занятий. Но какие занимательные занятия полезны? Каковы вообще педагогические особенности внеучебных задач типа «математические развлечения»? Как они воздействуют на математическое развитие и вооб-ще на развитие умственной активности?

В настоящей работе делается попытка раскрыть содержание поставленных вопросов, показать их актуальность и связь с некоторыми принципами и законами педагогической психологии, помочь учителю (как воспитателю подростков и как консультанту для родителей по вопросам воспитания) получить правильный ответ и полезные выводы.

В соответствии с поставленной темой в книге рассматриваются внеучебные задачи той категории, которая объединяет упражнения, подчас и не имеющие прямого отношения к школьной программе, но доступные интеллекту школьника.

Значительное место отводится краткой историографии математических задач на смекалку; дан обзор и характеристика наиболее значительных произведений, как отечественных, так и зарубежных.

Рассмотрено несколько новых задач (показано, в частности, применение «решетки точек» к интерпретации тождеств между биномиальными коэффициентами).

Показано, что задачи рассматриваемой категории удовлетворяют требованиям психологии, относящимся к математическому развитию человека и воспитанию его умственной активности.

Последний параграф посвящен конкретным примерам проявления творческой самодеятельности подростков и взрослых в решении задач на смекалку.

Надеюсь, что учитель найдет в книге полезные сведения и материалы для творческого их применения в организации «математического досуга» учащихся, в организации родительских усилий по воспитанию подростков, а также и для проведения уроков математики.

§ 1. ВНЕУЧЕБНЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНИЦИАТИВЫ

У ПОДРОСТКОВ И ВЗРОСЛЫХ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНИЦИАТИВА И ВНЕУЧЕБНЫЕ СРЕДСТВА ЕЕ РАЗВИТИЯ

С существенными проявлениями ума человека, необходимыми для формирования его математического мышления, являются: сообразительность, логичность, находчивость и в особенности инициативность, гибкое и», критичность.

Как элемент математического мышления юность выражается в желании самому постигнуть проблему, в стремлении к самостоятельным поискам способов и средств решения задач. Гибкость и критичность ума выражаются в придумывании и применении не шаблонных, оригинальных, остроумных приемов решения задач и методов рассуждений с постоянной проверкой их правильности, строгости и пр а к- । я ческой ценности.

Все эти существенные элементы математического мышления подростка или взрослого в соединении с волевыми усилиями: упорством и настойчивостью, проявляемыми в преодолении трудностей, возникающих в процессе овладения математическими методами при решении задач, условимся называть в дальнейшем кратко: математическая инициатива.

Во многих видах практической и умственной деятельности человека нужна ему математическая инициатива.

Развитие и воспитание математической инициативы способствует возникновению у подростка 1.лн взрослого интереса к математике и ее приложениям, поднимает на более высокую ступень общие качества ума и воли. Воспитание мате м а т и ч е с к о н инициативы лежит в основе массового математического просвещения, являющегося в свою очередь фундаментом политехнического просвещения народа.

Задача воспитания математической инициативы 'у подростка является частью общей задачи коммунистического воспитания молодежи; необходимость решения этой задачи формулируется советскими методистами как одна из воспитательных целей преподавания математики в средней школе.

«Всемерное развитие активности и самостоятельности учащихся, обеспечиваемое осторожны-ми, хорошо продуманными заданиями все возрастающей, но посильной для них трудности,— вот еще один принцип преподавания математики, каким должен руководствоваться учитель в своей работе»1.

В другом методическом пособии говорится: «Естественно, задачей преподавания математики и учителя, ведущего это преподавание, является возбуждение у учащихся интереса к самостоятельным выводам, развития у них пытливости и удовлетворения от самостоятельной работы»2.

Обучение математике — это основное, но не единственное средство развития математической инициативы у подростка.

Активно содействуют дальнейшему математическому развитию человека и внеучебные средства, а именно:

1. Математические кружки, олимпиады и конкурсы,

2. Математические вечера.

, 3. Научно-популярные книги.

4. Математические очерки и отделы «В часы досуга» в журналах и газетах.

5. Сборники математических развлечений, игр и занимательных задач (задачи на смекалку).

6. Массовый популярный математический журнал.

7. Стенная газета и школьный журнал.

8. Пропаганда математических знаний в клубах и по радио.

К сожалению, наши клубы, как правило, пренебрегают математическим просвещением.

В данной книге обсуждается только одно из перечисленных средств: упражнения в самостоятельном внеучебных математических задач. При этом задачами будем называть совокупность своеобразных математических задач дополнительных к тем, которые учащиеся обязательно решают в процессе систематического изучения математики.

ДВЕ КАТЕГОРИИ ВНЕУЧЕБНЫХ ЗАДАЧ

Внеучебные математические задачи содержат умственные упражнения как для тех, кто увлекается математикой, так и для «недругов» математики, для тех, кто хорошо соображает, и для тех, кому нужна дополнительная помощь в развитии сообразительности.

Как учителя, так и учащиеся нуждаются во внеучебных математических упражнениях, правильно методически подобранных, которые могли бы удовлетворять ра пюобразным умственным запросам и отвечать разным уровням развития воспитанников. В соответствии с этими требованиями внеучебные математические задачи естественно делятся на следующие две категории.

Первая категория. Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудно- c. 1 и — типа заДач математических олимпиад.

Вторая категория. Задачи типа математических развлечений (определение и раскрытие содержания задач этой категории будет дано в последующих параграфах).

Первая категория внеучебных задач предназначается в основном для школьников с определившимся интересом к математике; тематически эти задачи обычно связаны с тем или иным определенным разделом школьной программы. Относящиеся сюда упражнения углубляют учебный материал, дополняют и обобщают о Lдельные положения школьного курса, расширяют математический кругозор, развивают навыки в решении трудных задач, в применении неформальных подходов и искусственных приемов решения.

Хороший подбор задач этой категории имеется, например, в сборниках «Библиотека математического кружка», изданных Гостехиздатом, в частности в выпусках: «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», «Неэлементарные задачи в элементарном изложении», «Математические беседы» и другие, в сборниках подготовительных задач к математическим олимпиадам; такие задачи печатаются также в сборнике «Математическое просвещение».

Очевидно, что задачи этой категории являются упражнениями более высокой ступени в цикле внешкольных упражнений, развивающих математическую инициативу- Педагогический анализ задач первой категории не включен в рамки данной работы.

Вторая категория внеучебных задач (очень пестрая но содержанию) прямого отношения к школьной программе не имеет и, как правило, не предполагает большой математической подготовки. Сюда входят задачи различной степени трудности и прежде всего начальные упражнения из цикла внешкольных упражнений, развивающих математическую инициативу, т. е. упражнения, предназначенные для тех, кто делает лишь первые шаги в мир математической смекалки; упражнения, пригодные для разумного заполнения досуга.

Это не значит, однако, что во вторую категорию задач входят только легкие упражнения. Здесь есть задачи с очень трудным решением и такие задачи, решение которых до сих пор не получено (своего рода «нераспущенные орешки»).

Как будет видно из дальнейшего, внеучебные математические задачи второй категории обладают рядом характерных педагогических особенностей, в частности, им присуще свойство увлечь математикой как взрослого, так и подростка, до .сих пор не проявлявшего интереса к этому предмету, разжечь в воспитуемом стремление к умственным упражнениям и систематическому изучению математики.

РОЛЬ ВНЕУЧЕБНЫХ ЗАДАЧ В ВОСПИТАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНИЦИАТИВЫ

В период обучения подростка или взрослого развитие математической инициативы обеспечивается самим процессом изучения школьного курса математики. Но очевидно, что и в этот период не следует пренебрегать внеучебными средствами, содействующими укреплению и расширению математической активности. К таким средствам относится, в частности, совокупность посильных математических задач и упражнений. Кроме того, иметь в виду, что вместе с окончанием обучения обычно прекращается и организованное воздейст- |Ц|<* на подростка в развитии его математической ини- nn.li ивы; поэтому соответствующие внеучебные упражнения особенно нужны для тех, кто окончил обучение i in ?чился непродолжительно, но стремится к дальнейшему совершенствованию.

Систематическое решение математических задач во ппсучебное время организуется на материале соответ- < । нующих книг, специальных сборников дополнительных задач и задач на смекалку. Такого же рода отдельные задачи предлагаются регулярно некоторыми н.1у<111о-популярными журналами, а также от случая к случаю молодежными газетами и литературно-художе- <• । пенными журналами1.

Работа над математической книгой, самостоятельное решение задач сопровождаются активной работой мысли. При этом творческая активность читателя, его и 1ходчивость, изобретательность и смекалка достигают 1.ыс1псго напряжения и получают отличную тренировку именно тогда, когда мысль захвачена стремлением самостоятельно решить предложенную ему задачу.

Еще в учебных математических руководствах XVIII в. (Гюбш, Гауфф). отмечалось, что решение задач сеть точильный камень способностей человека.

Опытные учителя умело пользуются внеучебными задачами на внеклассных математических занятиях, но внеклассные занятия охватывают лишь незначительную часть учащихся, поэтому внеучебные задачи необходимо использовать и в семейном воспитании, разумно организуя досуг школьника; это будет развивать самостоятельность и приучать к умственным занятиям.

«Независимо от участия в кружках можно заняться самостоятельным решением более трудных задач. Имеется несколько интересных сборников задач для любителей м.-i тематики. Некоторые из них написаны так, что читать их решая последовательно связанные друг с другом за- Д.1ЧН. может живо представить себе пути развития довил Mio сложных математических теорий».

Известно много случаев, когда удачно найденное, самостоятельное решение одной замысловатой задачи определяло весь жизненный путь этого человека, открывало ему истинное его призвание. Так, например, Пуассона привела в математику старинная задача о дележе вина на две равные части при помощи двух пустых сосудов не одинаковой емкости. По словам Араго» молодой Пуассон вначале проявлял во всем крайне ограниченные способности, но после того как искусно решил эту задачу» он нашел свое истинное призвание.

Один из выдающихся представителей «Петербургской школы теории чисел»—Ф. Вороной — с детства увлекался математикой. Особенно его интересовала алгебра. Но на первых порах у него возникали сомнения в своих силах. Требовалась проверка его математических способностей. В то время издавался журнал «Элементарная математика» под редакцией и при участии проф. Киевского университета В. П. Ермакова — активного пропагандиста внеучебных задач и увлека-тельных маленьких проблем. В одном из номеров этого журнала В. П. Ермаков предложил для самостоятельной разработки тему: «Разложение многочлена на множители, основанное на свойстве корней квадратного уравнения». Гимназист Вороной успешно справился с этой маленькой проблемой. Его статья на заданную тему, снабженная большим количеством примеров» была опубликована в том же журнале и... жизненный путь юного автора, путь в математику, определился твердо.

О подобном жизненном «толчке» вспоминает также и известный преподаватель математики проф. И. И. Чистяков. Выступая на I Всероссийском съезде преподавателей математики в 1911 г., И. И. Чистяков рассказал о себе1, что, будучи еще гимназистом, он нашел в одном из математических журналов задачу: «Доказать, что всякое абсолютно простое число2, будучи увеличено или уменьшено на 1, делится на 6». К большой своей радости, задачу он решил самостоятельно. С этого момента юноша пристрастился к математике и в конце концов избрал ее своей специальностью.

В организации досуга школьника неоценимую услугу могут оказать педагогические сборники внеучебных задач и упражнений, посильных каждому, увлекательных и острых, задорных и курьезных, развивающих математическую инициативу и возбуждающих творческую самодеятельность.

Такие упражнения могут войти в комплекс ежедневной «умственной гимнастики». В рецензии на книгу В. С. Лукьянова «О сохранении здоровья и работоспособности» академик О. Б. Лепешинская пишет: «Справедливо уделяя много внимания физкультуре тела, автор игнорирует «умственную гимнастику» — легкие упражнения для мозга, чередуемые с его серьезной рабо-той»1.

Внеучебные задачи, поданные в увлекательной форме, вносят эмоциональный момент в умственные занятия. Не связанные с необходимостью всякий раз применять для их решения заученные правила и приемы, они требуют мобилизации всех накопленных знаний, приучают к поискам .своеобразных, не шаблонных способов решения, обогащают искусство решения кра-сивыми приемами, заставляют восхищаться силой разума.

Внеучебные задачи, составленные на простом, жизненном материале, могут исподволь привести подростка и взрослого к пониманию новых для него математических идей и понятий, вызвать интерес к определенному теоретическому вопросу.

Любой фокус, секрет которого состоит в употреблении двоичной системы, заинтересовывает читателя недесятичными системами счисления; задача о вычерчивании фигуры одним росчерком и теория лабиринтов приводят к пониманию некоторых топологических свойств геометрических фигур (а именно: сохранение свойств при любых искажениях фигуры, не приводящих к разрыву или склеиванию ее частей); задача превращения одной фигуры в другую путем разрезывания и переложения частей способствует расширению представлений о геометрических многообразиях и т. д.

1 «Новый мир», 1952, № 12.

В НЕУЧЕБНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА СМЕКАЛКУ

Рассмотрим теперь ту категорию внеучебных задач» которые обычно объединяются под общим условным названием «математические развлечения». Задачи этой категории, как правило, конкретны и требуют не шаблонного решения. Они возникают иногда в качестве «побочной продукции» научного творчества ученых, иногда придумываются любителями математики и пе-дагогами. По традиции, имеющей, впрочем, педагогическую обнову, им часто придается форма той или иной жизненной ситуации и вносятся элементы занимательности и игры. Последнее обстоятельство, очевидно, и является мотивом, благодаря которому задачи такого рода стали называть «математическими развлечениями» (в западноевропейской литературе в аналогичных случаях употребляются термины: «recreations», «puzzles», «amusements», «pastimes», «Mussestunden», «Unter- haltungen»), не вполне адэкватно отражая этим названием их сущность. Это — веками скоплявшаяся и потому богатая коллекция разнородных задач. Здесь и задачи на превращение одной фигуры в другую путем разрезывания и переложения частей, и фокусы, осно-ванные на вычислениях, математические софизмы и математические игры.

Любая игра является математической, если ее исход может быть предопределен предварительным теоретическим анализом. Математическая игра чаще всего состоит в поочередном выполнении играющим или несколькими играющими определенных действий—ходов с целью решения поставленной задачи. Теория математических игр устанавливает условия, выполнение которых обеспечивает победу1.

Среди математических развлечений имеются и такие задачи, которые допускают очень большое, а иногда и бесконечное множество решений. Смысл их — в поисках оригинальных, красивых приемов решений. К числу таких задач относятся: «составление паркетов»— задача о заполнении плоскости правильно чередующимися фигурами одного и того же вида или нескольких данных видов; «ход коня» — задача Эйлера— ('{мини ходом коня шахматную доску, побывав на каждой клетке по одному разу; задачи на составление мноклеточных «магических» квадратов — квадратных мтгрпц из натуральных чисел с одинаковыми суммами вдоль всех строк, столбцов и главных диагоналей.

13 подобного рода задачах интересуются обычно определением числа возможных решений, разработкой методов, дающих сразу большие группы решений.

/Математическое содержание ряда других внеучеб- ь'ых задач рассматриваемого класса — в установлении наименьшего числа операций, необходимых для решения.

К числу таких задач относятся задачи типа «переправ». «размещений», «затруднительных положений*, шла «Ханойской банши» — задачи, придуманной французским математиком Э. Люка, суть которой — в подсчете числа ходов, необходимых для перенесения нанизанных на колышек п пластинок разных размеров на другой колышек, пользуясь третьим колышком и соблюдая определенные правила перенесения пластинок.

Сюда же относятся и задачи о перемещении предметов при ограничительных условиях. Первая задача /гоп серии формулируется так: преобразовать последовательность шашек: б ч б ч б ч... в последовательность: ббб... ччч... посредством поочередных перемещений двух рядом лежащих шашек. Впервые эту задачу поставил английский физик Тэт1.

К рассматриваемому типу задач также относятся:

разнообразные числовые ребусы и головоломки на смекалку, числовые курьезы и занимательные последовательности: «числа Фибоначчи», «фигурные» и «пифагоровы числа»;

задачи, решение которых может быть и не требует вычислений, но основывается на построении цепочки ।очных и тонких рассуждений;

задачи, решение которых основывается на органическом соединении математического развития и практической смекалки: измерения при затруднительных

J Tail, «Listing's Topologie», статья в журнале «Philosophical Magazine», 1884.

условиях, раскрой и рациональная укладка материала, производственные задачи и TS П.;

задачи о лабиринтах и на вычерчивание фигур одним росчерком; задачи с домино и игральным кубиком и т. д.

Описание задач рассматриваемой категории позволяет высказать следующее утверждение.

Ставшие традиционными наименования «математические развлечения» и «занимательные задачи» несколько односторонне отражают сущность рассматриваемой категории внеучебных задач, так как занимательность— это не сущность, а форма, педагогический прием постановки задач. Задачи данной категории действительно весьма привлекательны; самостоятельно найденное решение задачи или даже чтение изложения уже кем-то выполненного остроумного решения обычно доставляет большое удовольствие. В таком эстетическом значении слова — эти задачи — развлечение. Однако слово «развлечение» несет в себе и оттенок праздности, пустой затраты времени — оттенок, совсем не свойственный описанным задачам. «Математические фокусы и загадки — интересный, развлекательный материал, имеющий немалое образовательное значение»,— говорится в «Методике преподавания математики» под ред. С. Е. Ляпина (изд. 1955 г., стр. 108).

В отношении арифметического материала еще в 1946 г. проф. И. Я- Депман высказал мысль, что сущность занимательной арифметики гораздо лучше выражается названием экспериментальной или наблюдательной арифметики1.

Е. И. Игнатьев, создавая свой известный сборник, назвал его «В царстве смекалки».

Не будет ли, пожалуй, наиболее подходящим наименованием для рассматриваемой совокупности внеучебных задач: «математические задачи на смекалку», или короче «математические задачи-смекалки»?

В самом деле, своеобразие задач, представляющих перечисленные в этом параграфе темы, заключается в том, что почти каждая из них,— это маленькая проблема. Конечно, самостоятельное исследование любой проблемы, в особенности серьезной, научной, требует мобилизации всех знаний и проявления изобретательности, изощренности и находчивости, оригинальности мышления и умения критически оценить условия или постановку вопроса. Но необходимыми условиями успешного решения солидной математической проблемы являются прежде всего глубина и разносторонность специальных знаний, математическая одаренность. Знания, одаренность, разумеется, не излишни и для успешных занятий маленькими проблемами — смекалками, пли «математическими развлечениями», но задачи, составляющие эту категорию, по существу и по форме подачи — общедоступны; почти всегда их решение опирается не столько на специальные знания, сколько на сообразительность и изобретательность, короче — на все то, что в народе принято подразумевать под словом «смекалка».

Наиболее остроумное решение той или иной задачи-смекалки из рассматриваемой серии придумывалось иногда именно не профессионалом-математиком.

Расширения для Joomla

В помощь сайту!

С этой книгой читают

Еще учебники "Математика"

Яндекс.Метрика