Скачать Советский учебник

НАЗНАЧЕНИЕ:  Книга известного ученого С. Карлина, предлагаемая вниманию читателя, посвящена основам теории марковских процессов и процессов, связанных со случайными блужданиями, а также применениям этих процессов к задачам генетики, экологии и массового обслуживания. Наиболее ценное в книге — изложение основных аналитических методов исследования соответствующих процессов. Читатель, стремящийся изучить теорию случайных процессов, найдет здесь аппарат, повседневно применяемый специалистами, а не только собрание готовых результатов. Вместе с тем следует отметить, что рассматриваемые автором классы процессов все же являются достаточно частными; не только в теоретических, но и в прикладных работах исследуются более общие классы (например, классы процессов, описывающих функционирование систем массового обслуживания). Однако это не является недостатком книги: методы, действие которых продемонстрировано на простых примерах, могут служить читателю и в более сложной ситуации; большую же часть интересующих сейчас прикладников математических задач можно решать и в пределах тех моделей, которые даются в книге.

Авторство: Самуэль Карлин

Формат: DjVu, Размер файла: 9.68 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие редактора перевода 5 

      Предисловие 7 

      Логическая зависимость глав 9 

      

      Глава 1. Элементы теории случайных процессов 11 

      § 1. Сводка основных терминов и свойств случайных величин и функций распределения 11 

      § 2. Два простых примера случайных процессов 21 

      § 3. Классификация общих случайных процессов 27 

      Задачи 31 

      Замечания 35 

      Литература 36 

      {spoiler=ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...}

 

      Глава 2. Марковские цепи 37 

      § 1. Определения 37 

      § 2. Примеры марковских цепей 38 

      § 3. Матрицы переходных вероятностей марковской цепи 50 

      § 4. Классификация состояний марковской цепи 52 

      § 5. Возвратность 55 

      § 6. Примеры возвратных марковских цепей 60 

      § 7. Еще о возвратности 65 

      Задачи 66 

      Некоторые элементарные задачи 71 

      Замечания 72 

      Литература 72 

      

      Глава 3. Основные предельные теоремы для марковских цепей и их приложения 73 

      § 1. Дискретное уравнение восстановления 73 

      § 2. Доказательство теоремы 80 

      § 3. Вероятности поглощения 82 

      § 4. Критерии возвратности 88 

      § 5. Пример из теории очередей 91 

      § 6. Еще один пример из теории очередей 97 

      § 7. Случайное блуждание 102 

      Задачи 104 

      Некоторые элементарные задачи 109 

      Замечания 109 

      Литература 109 

      

      Глава 4. Алгебраические методы исследования марковских цепей 110 

      § 1. Предварительные сведения 110 

      § 2. Связь между собственными значениями классами возвратных состояний 112 

      § 3. Периодические классы 116 

      § 4. Специальные вычислительные методы для марковских цепей 120 

      § 5. Примеры 125 

      § 6. Приложения к бросания монеты 130 

      Задачи 135 

      Некоторые элементарные задачи 142 

      Замечания 143 

      Литература 143 

      

      Глава 5. Теоремы об отношениях переходных вероятностей и их приложения 144 

      § 1. Вероятности перехода с запрещением 144 

      § 2. Теоремы об отношениях 146 

      § 3. Существование обобщенных стационарных распределений 151 

      § 4. Интерпретация обобщенных стационарных распределений 156 

      § 5. Регулярные, супер регулярные и субрегулярные последовательности марковских цепей 159 

      Задачи 166 

      Замечания 169 

      Литература 169 

      

      Глава 6. Последовательность сумм независимых случайных величин как марковская цепь 170 

      § 1. Свойства возвратности сумм независимых случайных величин 170 

      § 2. Локальные предельные теоремы 174 

      § 3. Правые регулярные последовательности марковских цепей 182 

      Задачи 192 

      Замечания 196 

      Литература 197 

      

      Глава 7. Классические примеры цепей Маркова с непрерывным временем 198 

      § 1. Общие процессы чистого рождения (размножения) и пуассоновские процессы 198 

      § 2. Дополнительные сведения о пуассоновских процессах 204 

      § 3. Модель счетчика 208 

      § 4. Процессы рождения и гибели 212 

      § 5. Дифференциальные уравнения для процессов рождения и гибели 216 

      § 6. Примеры процессов рождения и гибели 218 

      § 7. Процессы рождения и гибели с поглощающими состояниями .. 225 

      § 8. Цепи Маркова с конечным числом состояний и непрерывным временем 231 

      Задачи 233 

      Некоторые элементарные задачи 241 

      Замечания 241 

      Литература 242 

      

      Глава 8. Цепи Маркова с непрерывным временем 243 

      § 1. Свойства дифференцируемости переходных вероятностей 243 

      § 2. Консервативные процессы. Прямые и обратные дифференциальные уравнения 248 

      § 3. Построение цепи Маркова с непрерывным временем с помощью ее инфинитезимальных параметров 250 

      § 4. Строго марковское свойство 256 

      Задачи 259 

      Замечания 261 

      Литература 261 

      

      Глава 9. Порядковые статистики, пуассоновские процессы и их приложения 262 

      § 1. Порядковые статистики и их связь с пуассоновскими процессами 262 

      § 2. Задача о баллотировке 270 

      § 3. Эмпирические функции распределения и порядковые статистики 275 

      § 4. Некоторые предельные распределения для эмпирических функций распределения 282 

      Задачи 287 

      Замечания 296 

      Литература 296 

      

      Глава 10. Броуновское движение 297 

      § 1. Предварительные сведения 297 

      § 2. Совместные вероятности для броуновского движения 299 

      § 3. Непрерывность траекторий и их максимальные значения 302 

      Задачи 307 

      Замечания 311 

      Литература 311 

      

      Глава 11. Ветвящиеся процессы 312 

      § 1.Ветвящиеся процессы с дискретным временем 312 

      § 2.Соотношения для производящей функции, описывающей ветвящийся процесс 313 

      § 3.Вероятности вырождения 316 

      § 4.Примеры 320 

      § 5.Ветвящиеся процессы с двумя типами частиц 325 

      § 6.Ветвящиеся процессы с несколькими типами частиц 332 

      § 7.Ветвящиеся процессы с непрерывным временем 333 

      § 8.Вероятности вырождения для ветвящихся процессов с непрерывным временем 337 

      § 9. Предельные теоремы для ветвящихся процессов с непрерывным временем 340 

      § 10. Ветвящийся процесс с непрерывным временем и двумя типами частиц 345 

      § 11. Ветвящиеся процессы, зависящие от возраста 352 

      Задачи 357 

      Замечания 362 

      Литература 362 

      

      Глава 12. Составные случайные процессы 363 

      § 1. Многомерные однородные пуассоновские процессы 364 

      § 2. Применение многомерных пуассоновских процессов в астрономии 370 

      § 3. Иммиграция и рост популяций 372 

      § 4. Вероятностные модели мутации и роста 375 

      § 5. Экспоненциальный рост одномерной популяции 380 

      § 6. Вероятностная модель роста популяции в пространстве и времени 383 § 7. Детерминированный рост популяции с распределением по возрастам 387

      § 8. Дискретная возрастная модель 394 

      Задачи 395 

      Замечания 400 

      Литература 400 

      

      Глава 13. Детерминированные и случайные генетические и экологические процессы 401 

      § 1. Генетические модели. Описание генетического механизма 401 

      § 2. Инбридинг 

      § 3. Полиплоиды 417 

      § 4. Марковские процессы, порождаемые прямым произведением ветвящихся процессов 420 

      § 5. Модели роста популяций с несколькими типами индивидуумов 426 

      § 6. Собственные значения цепей Маркова, порожденных прямым произведением ветвящихся процессов 428 

      § 7. Собственные значения для модели мутации с несколькими типами индивидуумов 437 

      § 8. Вероятностный смысл собственных значений 446 

      Задачи 455 

      Литература 

      

      Глава 14. Процессы массового обслуживания 460 

      § 1. Общее описание 460 

      § 2. Простейшие процессы обслуживания (М/М/1). 461 

      § 3. Некоторые общие модели обслуживания одним прибором 463 

      § 4. Метод вложенных цепей Маркова применительно к модели обслуживания (М/G/1) 469 

      § 5. Экспоненциально распределенное время обслуживания (G/M/1) 475 

      § 6. Гамма-распределение интервалов между поступлениями и обобщения (Eh/M/l) 479 

      § 7. Экспоненциальное обслуживание s приборов (GI/M/s) 483 

      § 8. Виртуальное время ожидания и период занятости 487 

      Задачи 493 

      Замечания 499 

      Литература 500 

{/spoilers}

Скачать бесплатный учебник  СССР - Основы теории случайных процессов (Карлин) 1971 года

Скачать...

 

{spoiler=ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...}

Классическим разделом теории случайных процессов является теория стационарных (в широком смысле) процессов, которая дает основу решения многих прикладных задач. Задачи современной науки и техники выдвинули на первый план проблемы, связанные с исследованием случайных процессов, порождаемых последовательностями независимых случайных величин. Это цепи Маркова, марковские процессы со счетным множеством состояний, процессы восстановления, полумарковские процессы. Их роль объясняется в значительной степени тем, что реальные процессы, изучаемые с помощью вероятностных методов, по самой своей природе связаны с чередованием событий случайной продолжительности (например, процесс функционирования резервированной системы с заменой отказавших элементов). Интересно отметить, что и те физические процессы, которые ранее изучались в терминах математического ожидания и корреляционной функции, например флуктуационные процессы в радиотехнических устройствах, теперь в соответствии с новыми задачами рассматриваются с точки зрения случайных последовательностей, отражающих определенные изменения состояний процесса. Из такого рода задач возникает теория потоков однородных событий, порождаемых случайными процессами. 

 

      В конце каждой главы автор поместил задачи; читателю, естественно, следует их решать. 

      Книга С. Карлина может быть рекомендована математикам, физикам, специалистам по исследованию операций, биологам и вообще всем, желающим войти в проблематику теории случайных процессов и овладеть методами этой теории. При переводе и редактировании устранены некоторые погрешности оригинального издания. 

      И. Н. Коваленко 

      

      Теория случайных процессов изучает последовательности событий, управляемых вероятностными законами. Она находит многочисленные приложения в физике, технике, биологии, медицине, психологии и других дисциплинах, а также в различных разделах математики. Назначение этой книги — дать введение многочисленным специальным руководствам по случайным процессам. При ее написании я преследовал три цели: во-первых, дать систематическое вводное изложение некоторых основных разделов теории случайных процессов, во-вторых, привлечь внимание тех, кто занимается чистой математикой, к богатому многообразию приложений теории случайных процессов и, в-третьих, для читателя, интересующегося приложениями, подчеркнуть важность «математических тонкостей», показать, что они зачастую связаны с самой природой вероятностных процессов. 

      Примеры в этой книге в основном заимствованы из биологии и техники; вместе с тем везде делается акцент на тех вероятностных аспектах, которые важны или представляют математический интерес для более чем одной дисциплины. В книге обсуждается и иллюстрируется ряд понятий и проблем, привлекающих в настоящее время внимание исследователей. 

      Поскольку в элементарной книге невозможно охватить все основные разделы теории случайных процессов, нам пришлось опустить некоторые важные темы и среди них такие, как стационарные случайные процессы и мартингалы. Не предполагалось, что эта книга будет служить исчерпывающим руководством по вопросам, затронутым в ней. Напротив, она должна рассматриваться прежде всего как промежуточное звено между элементарными курсами теории вероятностей и многими превосходными работами по случайным процессам, высокий математический уровень которых делает их недоступными для читателей, знакомых лишь с основами теории вероятностей. 

      У читателей предполагается знакомство с началами теории вероятностей в объеме первого тома ставшей уже классической книги Феллера «Введение в теорию вероятностей и ее приложения». В § 1 гл. 1 мы даем сводку основных свойств случайных величин и функций распределения, а также вводим важнейшие термины. 

      Материал, набранный мелким шрифтом, при первом чтении МоЖнО опустить. В конце каждой главы приводятся задачи, цель которых — разъяснить, а во многих случаях и развить изложенную теорию. 

      Книгу можно использовать для полугодового или годового курса в зависимости от потребностей. Логическая взаимозависимость глав отражена на схеме, приведенной ниже. 

      При написании книги я пользовался обширной литературой по случайным процессам. Каждая глава завершается списком работ, в которых читатель найдет дальнейшую информацию и библиографию. 

      Я благодарен коллегам: профессору Чжун Кай-лаю и профессору Дж. Мак-Грегору (Станфордский университет) за советы и полезные комментарии, профессору Дж. Ламперти (Дартмусский университет), профессору Дж. Киферу (Корнеллский университет) и профессору П. Нею (Висконсинский университет) за конструктивную критику, доктору А. Файнстейну за тщательную проверку значительной части рукописи, а также моим студентам П. Милчу, Б. Сигеру, М. Фелдману и Б. Кришнамурти за их полезные советы и помощь при выборе и составлении задач. 

      Сэмюэл Карлин 

      Станфорд, Калифорния

 

 

      

      

      Предметный указатель 

      

      Абеля лемма 57. 145, 146. 149, 151. 317 

      Аллели 401 

      Байеса формула И, 156 

      Бернулли испытания (биномиальные испытания) 23, 48, 49, 63 Бета-распределение 19 Биномиальный выбор 422, 428 Биортогональность 504 Бореля — Кантелли лемма 21 Бросание монеты 130, 180, 279, 282 Броуновское движение 22, 42, 159, 162, 297 

      Вероятности перехода с запрещением 144 стационарные 31, 37, 50 

      — поглощения 82 

      Вероятностные модели мутации и роста 375 Ветвящиеся процессы 46, 312 

      с двумя типами частиц 325 

      непрерывным временем 333, 344 

      несколькими типами частиц 332 

      Временной параметр 27 

      Время марковское 205 

      — ожидания 467 

      — — виртуальное 464, 487 

      — первого достижения 257 

      — пребывания (длительность пребывания) 204, 213 

      Возвратный класс (состояние) 57, 59, 60, 66, 76 

      непериодический 76, 82, 84 

      — — нулевой 77, 92, 97, 102 

      -положительный 77, 92, 97, 102, 152 

      Выборочная функция (реализация) 21 

      Гамета 402 

      Гамма-распределение 19 

      времени обслуживания 480 

      интервалов между поступлениями 479 

      Гаплоиды 401 Ген 401 

      — мутантный 313, 321 Генотипы 401 

      — гетерозиготные 402 

      — гомозиготные 402 Грина функция 171 

      Диагонализация 183 

      Диплоиды 401 

      Дисперсия 12 

      Длина очереди 461 

      Дробно-линейное преобразование 322 

      Задача о баллотировке 270 

      Закон больших чисел (слабый) 20, 173 

      ----------усиленный 20, 174, 466 

      — устойчивый 181 

      — Харди — Вейнберга 404 Занятости период 487, 489 Зигота 321, 402 

      Идентичность по происхождению 414 Инбридинг 410 

      Инбридинга коэффициент 414 Инфинитезимальная матрица 213, 232, 250. 

      253, 480 — — консервативная 254 

      Инфинитезимальные интенсивности рождения и гибели 222 

      — параметры 215, 255, 333, 345, 346 

      Ковариационно стационарный 31 Колмогорова дифференциальные уравнения обратные 216, 248, 336 

      ---------прямые 217, 249, 336 

      Критерий сходимости Леви 16, 190 Кроссинговер 417 

      Лапласа преобразование 17 

      Мальтусовская интенсивность 392 Маргинальная (частная) функция распределения 13 Марковская цепь 37, 38 " в генетике 47 

      — — вложенная 464, 469, 480, 483 

      — — консервативная 248, 259 

      — — непериодическая 54 

      неприводимая 52, 88, 89, 152, 170 

      пространственно однородная 39 

      Марковский момент 256, 257 Мартингал 29 Медиана 12 Миграция 406 

      Модели обслуживания одним прибором 463 Модель мутации с несколькими типами индивидуумов 437 

      — счетчика 208 

      — телефонного узла 220 Мутационное давление 48, 221 Мутация 405 

      Нагрузка системы 471 

      Невозвратный класс (состояние) 57, 97, 102 Нейтронная цепная реакция 312 Непрерывность траекторий 302 

      Образование очереди 44, 219 Обслуживание s приборов 483 Обслуживания дисциплина 460 

      — порядок обратный 493 *— — прямой 460, 467 Ортогональные полиномы 123, 125 Отбор 49 

      — гаметический 406 

      — зиготный 406 

      Отношения при расщеплении 404 Очередь с абсолютными приоритетами 498 

      Перекрест 418 Периодические классы 116 Периодичность марковской цепи 53 Плотности функция 263 Полиморфизм 407 Полиплоиды 401 Положительные матрицы 111 Полуаддитивности неравенство 244 Порядковые статистики 207, 262, 373 Последовательности регулярные 159, 182 

      — субрегуляриые 159 

      — суперрегулярные 159 Потенциала теория 171 Поток восстановления 461 

      — входящий 460 

      Поток входящий произвольный 480 пуассоновский 469 

      — простейший 461 Представление Рисса 162 

      — спектральное 110, 124, 504 

      Принцип инвариантности для случайных процессов 299 

      — отражения 302, 303 Производящая функция 16 Пространственная однородность 171 Пространство состояний 27 Процесс винеровский 23 

      восстановления 260 

      общий 260 

      — диффузионный 303 

      — логистический 224 

      — марковский 30 

      — минимальный 215, 254 

      — обратный 156 

      — пуассоновский 23, 262 

      неоднородный 376, 378 

      однородный 26 

      -------многомерный 364 

      -------пространственный 26, 364 

      — рождения и гибели 212, 247 

      — — — — с линейным ростом 218, 228, 230. 334 

      — с независимыми приращениями 29, 265 

      — стационарный 30 

      — чистого рождения 200, 212 

      — Юла 200, 203, 236, 240, 374 

      Прямое произведение ветвящихся процессов 422 

      Разорение игрока 41, 86, 87 Распределение биномиальное 20, 208 отрицательное 20 

      — времени обслуживания 461 

      — геометрическое 20 

      — конечномерное 15 

      — нормальное 19 многомерное 18 

      — Паскаля 20 

      — по возрастам 387 

      — полиномиальное 18 отрицательное 35 

      — пуассоновское 20 

      — равномерное 19 

      — стационарное 77, 218 обобщенное 151, 156 

      — условное 13 

      — экспоненциальное 19, 202 

      — эрланговское 461, 499 Расщепление хроматндное 418 

      — хромосомное 418 Рост популяции 372 

      — — детерминированный 387 

      Самооплодотворение 411 

      — вероятностная модель 427 Серии успехов 46, 63 

      Система с бесконечным числом обслуживающих приборов 220, 494 ограничениями 494 

      . одним обслуживающим прибором 220 

      Скорость приближения к гомозиготному состоянию 447 Случайное слияние гамег 405, 418 Случайные блуждания 120, 123, 130, 214 

      вложенные 226, 228 

      одномерные 40, 60 

      симметричные 42, 43, 61, 298 

      — — с отражающим экраном 125 -----------поглощающим экраном 127 

      — величины невырожденные 171 независимые 13, 16 

      перестановочные 271, 273, 489 

      периодические 175 

      Совместные функции распределения 12 Сообщающиеся состояния 52, 54 Состояние мгновенное 252 

      — устойчивое 252, 259 Спаривание ассортативное 410 

      — неслучайное 410 

      — сибсов 411 

      — случайное 404 Спектр непрерывный 124 Спектральный радиус 111 Среднее время возвращения 77 

      — значение 12 

      Статистика Колмогорова — Смирнова 285 Строго марковское свойство 256 Супергармонические функции 162 

      Теорема восстановления 488 обобщенная 186 

      — Руше 482 

      — спектральная 501 

      Теоремы об отношениях 146, 155 

      Упорядоченные наблюдения из равномерного распределения 209 Уравнение восстановления 73, 74, 80, 390 

      — диффузии 298 

      — Колмогорова — Чэпмена 213, 231, 298, 335, 

      346 

      Условная вероятность 13 

      — плотность 13 

      Условно независимые множества 266 Условное математическое ожидание 14 

      Формула полной вероятности 11, 29, 255, 

      353, 492 

      Фробениуса теория положительных матриц 507 

      Характеристические функции 15 

      Центральная предельная теорема 21, 23, 181, 299, 383 Центромер 417 

      Электронные умножители 312 Эмпирические функции распределения 270,275 

      Эргодическая теорема 74 Эренфестов модель 43, 238 

{/spoilers}