§ 83. Сокращение дробей. Основное свойство дроби 32

§ 84. Задачи, в которых требуется найти, какую часть одного числа составляет другое. Понятие об отношении двух чисел . . 35

ОТДЕЛ VIII.

Десятичные дроби и простейшие действия над ними.

§ 85. Понятие о десятичной дроби. Обозначение десятичных дробей с помощью запятой 40

Счет и мера, -я часть.

14

СТР.

§ 86 Сравнение десятичных дробей по величине; приведение к общему знаменателю и сокращение. Основное свойство десятичной дроби 45

§ 87. Сложение десятичных чисел 47

5 88. Вычитание десятичных чисел 49

§ 89. Умножение десятичного числа на целое 52

§ 90. Деление десятичного (или целого) числа на целое 57

§ 91. Деление десятичной дроби или целого числа на десятичную дробь (по содержанию) 65

§ 92. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обратно . . 66

§ 93. Понятие о проценте. Вычисление процентного отношения двух чисел 68

§ 94. Простейшие процентные вычисления 74

ОТДЕЛ IX.

Простейшие сведения о делимости чисел я приложение их к преобразованию дробей.

§ 95. Случаи, когда нам необходимо знать, разделится ли данное число на другое или нет. Понятие о признаках делимости 77

§ 96. Признаки делимости на 10, 2 и 5 78

§ 97. Признаки делимости на 100, 4 и 25 79

§ 98. Признаки делимости на 9 и на 3 80

§ 99. Признак делимости на произведение двух чисел 83

§ 100. Приложение признаков делимости к сокращению дробей. Понятие об общем наибольшем делителе 85

§ 101. Числа первоначальные и составные 86

§ 102. Разложение чисел на первоначальных множителей 89

§ 103. Наименьшее кратное. Нахождение его при помощи разложения чисел на первоначальных множителей 91

§ 104. Приведение дробей к общему знаменателю с помощью разыскания наименьшего кратного 95

§ 105. Признак, по которому мы можем судить, обратится ли данная простая дробь в конечную десятичную или нет 98

ОТДЕЛ X.

Все действия над простыми и десятичными дробями.

§ 106. Смысл сложения дробей 102

§ 107. Основные свойства сложения 104

§ 108. Смысл вычитания дробей 105

§ 109. Основное свойство вычитания (отнимание суммы) 106

§ 110. Упрощенные приемы сложения и вычитания, основанные на изменениях суммы и разности 107

СТР.

§ 111. Совместное сложение или вычитание простых и десятичных дробей 109

§ 112. Смысл умножения на дробь 112

§ 113. Какие задачи мы решаем умножением на дробь или на смешанное число 117

§ 114. Приемы умножения полого числа или дроби на дробь 121

§ 115. Умножение смешанных чисел 126

§ 116. Умножение десятичных дробей 128

§ 117. Основные свойства умножения 131

§ 118. Смысл деления на целое и на дробь 134

§ 119. Какие задачи мы решаем делением на дробь или на смешанное число 140

§ 120. Приемы деления целого числа или дроби на дробь 143

§ 121. Деление смешанных чисел 150

§ 122. Деление десятичных дробей 152

§ 123. Основные свойства деления 157

§ 124. Упрощенные приемы умножения и деления, основанные на изменениях произведения и частного 159

§ 125. Совместное умножение и деление простых и десятичных дробей. 164

§ 126. Проверка действий над дробными числами 165

§ 127. Процентные вычисления 166

§ 128. Возвышение в степень дробных чисел 173

§ 129. Извлечение квадратного корня из дробных чисел 174

§ 130. Нахождение приближенных корней 175

ОТДЕЛ XI.

Измерение геометрических фигур и тел.

§ 131. Прямой угол, как мера углов 179

§ 132. Понятие о сумме и разности углов. Развернутый и входящий угол 179

§ 133. Смежные и противоположные углы 180

§ 134. Сумма углов треугольника и многоугольника 183

§ 135. Измерение углов градусами 185

§ 136. Построение треугольника по заданным его частям 188

§ 137. Правильные многоугольники 190

§ 138. Измерение длины окружности и площади круга 196

§ 139. Линия, перпендикулярная к плоскости 198

§ 140. Прямая призма, измерение ее поверхности и объема 200

§ 141. Наклонная призма; ее поверхность и объем 203

§ 142. Измерение поверхности и объема цилиндра 205

§ 143. Измерение объемов тел неправильной формы 207

Эта часть „Счета и меры“ содержит сведения о простых и десятичных дробях, в связи с расширением сведений из геометрии. Педагогические соображения вызвали и здесь значительные изменения в содержании и изложении материала сравнительно с традиционным методом.

Прежде всего, все учение о дробях изложено концентрически: сначала излагаются те вычисления с простыми и десятичными дробями, которые не требуют расширения понятий о действиях (т.-е. которые можно выполнять без введения понятия об умножении и делении на дробь), а затем уже все действия над простыми и десятичными дробями.

Далее, значительное место в курсе уделено десятичным дробям, соответственно с огромным значением их для практических и технических вычислений, и даже в первом концентре действия с десятичными дробями изложены достаточно подробно. Во втором же концентре действия с десятичными дробями не отделяются от курса простых дробей, а излагаются параллельно, так как при этом можно гораздо проще уяснить смысл и технику умножения и деления на десятичную дробь.

Учение о делимости чисел сокращено до минимума и ограничено только теми сведениями, которые безусловно необходимы для сокращения дробей и приведения их к общему знаменателю (нахождение общего наибольшего делителя исключено совсем).

Также совершенно исключены сведения о периодических дробях и действия с дробными именованными числами, как остаток схоластики прежнего времени.

Зато введены основные сведения об отношении чисел, о проценте и простейших процентных вычислениях, которые

можно очень просто и естественно связать с вычислениями над дробями. Также дается понятие о приближенном отношении или частном; более же подробные сведения о приближенных вычислениях будут даны в третьей части „Счета и меры", которая готовится к печати и выйдет в скором времени.

Из области геометрии даются сведения об измерении углов, о правильных многоугольниках, об измерении поверхностей и объемов, длины окружности и площади круга — эти сведения необходимы не только для дальнейшего целесо-образного ознакомления с фигурами и телами, но и для надобностей природоведения и географии.

К. Лебединцев.

ОТДЕЛ VII.

Предварительные сведения о дробях. Устные вычисления над простейшими дробными числами.

§ 70. Доли единицы. Дроби. Пусть нам нужно разделить лист бумаги поровну между двумя мальчиками; мы разрежем тогда этот лист бумаги на две одинаковых части, и каждый мальчик получит одну такую часть или половину целого листа.

Точно так же, если нужно разделить кусок ленты поровну трем девочкам, мы разрежем эту ленту на три одинаковых части, и каждой девочке достанется одна такая часть, или треть целого куска.

Или, напр., если нужно разделить фунт чаю поровну четырем покупателям, то мы должны рассыпать этот чай на четыре одинаковых части, и каждый покупатель получит тогда одну из этих частей, т.-е. четверть фунта чаю, и т. п.

Половина, треть, четверть, пятая, шестая доля, десятая и т. п.—это особые числа, называемые долями единицы; мы можем их считать и присчитывать одну к другой совершенно так же, как и обыкновенные, целые единицы. Напр., если мы разделили фунт чаю на четыре одинаковых части и взяли потом таких частей три, то у нас будет три четверти фунта чаю; если мы линию в один метр разделили на десять равных частей и потом отмерили семь таких частей, то у нас получится линия в семь десятых метра, и т. п.

Числа: три четверти, семь десятых, пятнадцать сотых и т. п., а равно и доли единицы, из которых они составлены — четверть, десятая доля и т. п. — называются дробными числами или, короче дробями.