19. Сумма натуральных чисел. Так называемая аксиома Грассмана 35

20 — 24. Дальнейшие свойства суммы: однозначность суммы, законы коммутативности и ассоциативности 36

25 — 30. Произведение натуральных чисел и его свойства: однозначность и законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности 38

31 . Обзор предыдущего — важнейшие пункты. 41

32 — 33. Построение таблиц сложения и умножения. 42

• 4. Разность и частное натуральных чисел.

34 — 36. Разность натуральных чисел, условие ее существования и единственность. 43

37 — 38. Частное натуральных чисел, условие его существования и единственность 45

39. Простые и составные натуральные числа 46

Глава II. ОБщие свойства чисел.

• 1. Основные законы арифметики.

40 — 41. Основные принципы, руководящие эволюцией арифметических понятий 47

42 — 46. Основные законы арифметики. 49

Стр.

47. Роль первых четырех законов 52

48. О законе тождества. 53

49. О законах рефлективности и транзитивности 54

50 — 51. О законах монотонности и их двояком толковании 54

52. Однозначность суммы и произведения. 55

53. Сумма и произведение нескольких чисел. Одночлен, многочлен, коэффициент 56

54 — 56. Обобщение законов монотонности, ассоциативности и коммутативности . 57

57. Обобщение закона дистрибутивности. Умножение многочленов, приведение подобных членов. 59

• 2. Разность и частное в связи с основными законами арифметики.

58. Простейшие свойства разности и частного . 60

59 — 60. Условие (Л): если а~£.Ь, то а-\-с^ЬЬ-\-с\ его ближайшие следствия 61

61. Свойства разности аналогичные закону ассоциативности . . 62

62. Условие (В): если а^Ь, то ас^Ьс; его ближайшие следствия. Свойства частного аналогичные закону ассоциативности . 63

63 — 64. Свойства разности и частного аналогичные закону дистрибутивности . 63

65. Условие равенства двух разностей; арифметическая пропорция. Сумма и произведение двух разностей 64

66. Условие равенства двух частных; геометрическая пропорция. Сумма и произведение двух частных 66

67. Применение предыдущего к натуральным числам 66

• 3. Нуль и единица.

68. Условие (С): существование разности двух каких угодно чисел данной системы. Необходимость введения нуля. . 67

69. Нуль и условия (Л), (В) и (С) (см. п°п° 59, 62 и 68). Условие (В') — исправленное условие (В). 68

70. Нуль и деление. 68

71. Условие (Z)): существование частного двух каких угодно чисел данной системы. Единица. Условие (D') — исправленное условие (D) 69

72 — 74. Системы чисел, удовлетворяющие кроме основных законов арифметики условиям (Л), (В'), (С) и (£)') (см. п°п° 59,

68, 69 и 71). Общие свойства таких систем 69

75 — 76. Формальное введение нуля 71

77. Замечания, касающиеся дальнейшего изложения. 73

• 4. Степень с натуральным и нулевым показателем.

78 — 79. Основные свойства степени с натуральным и нулевым показателем . 74

80 — 82. Бином Ньютона — вывод формулы. 75

83 . Свойства биномиальных коэффициентов 79

84 . Понятие о корне и о логарифме. Семь арифметических действий 80

Глава III. Рациональные числа.

• 1. Целые числа.

85 — 86. Идея пары чисел и применение ее к отрицательным числам. Пары первой ступени 82

87 — 88. Определения равенства, суммы и произведения по отношению к парам первой ступени; простейшие следствия 84

89 — 91. Основные законы арифметики и условия (Л), (В¹), (С) и (£)') (п°п° 59, 68, 69 и 71) по отношению к парам первой ступени; существование разности двух каких угодно пар 85

92 . Сравнение пар вида (а, 0) с натуральными числами 88

93 — 94. Пары первой ступени как числа — целые числа. Положительные и отрицательные целые числа 89

Стр.

95. Сокращенное обозначение целых чисел (пар первой ступени). Знак „минус" как знак действия и как знак числа. Абсолютное значение 90

96. Правила знаков, относящиеся к первым четырем действиям над целыми числами 91

97. Значение символов + а и — л, где а какое угодно целое число, и обобщенные правила знаков. 92

• 2. О делимости целых чисел.

98—100. Основные определения и теоремы, относящиеся к делимости. Четные и нечетные числа, их общие выражения . . 93

101 —104. Алгорифм Евклида и общий наибольший делитель двух натуральных чисел. Взаимно простые целые числа. Важнейшие относящиеся сюда теоремы. 95

105 —106. Решение в целых числах неопределенного уравнения

ах + by = с 99

• 3. Рациональные числа.

107 —108. Пары второй ступени. Определения равенства, суммы и произведения по отношению к этим парам; простейшие следствия . 101

109. Основные законы арифметики и условия (А), (В'), (С) и (D') (п°п° 59, 68, 69 и 71) по отношению к парам второй ступени. Частное и обратные пары 102

110— 111. Сравнение пар вида (а, 1) с целыми числами. Пары второй ступени как числа — рациональные числа. Целые и дробные рациональные числа. 103

112. Знак деления (черта) в качестве знака дроби. Числитель

и знаменатель. Сокращение дробей. 104

ИЗ. Условие равенства двух несократимых дробей и правила четырех действий над рациональными числами. 105

114 — 115. Противоположные числа; символы + а и —а, где а любое рациональное число; абсолютное значение и правила знаков, относящиеся к умножению и делению рациональных чисел 106

.116—117. Степень с каким угодно целым показателем и ее основные свойства 108

• 4. Неравенства.

118— 120. Общие определения понятий „больше" и „меньше" в области относительных чисел. Простейшие следствия ПО

121 — 123. Почленное сложение, вычитание, умножение и деление двух неравенств 112

124 . Неравенство Якова Бернулли: (1 4- а)^п >> 1 + па 114

125 — 126. Принцип Архимеда. Целая часть рационального числа. . . 115

127 — 129. Некоторые другие теоремы, относящиеся к неравенствам

в области рациональных чисел. 116

Глава IV. Вещественные числа.

• 1. Сечения в области рациональных чисел. Равенство и неравенство двух сечений.

130 — 132. Поводы введения в науку иррациональных чисел. Исторические справки 120

133 — 134. Сущность непрерывного расположения точек прямой линии по Дедекинду. Аксиома непрерывности 122

135 —136. Понятие о дедекиндовом сечении и два типа сечений в области рациональных чисел 124

137 —138. Установление понятий „равно", „больше" и „меньше" по отношению к сечениям 125

139 — 140. Простейшие свойства неравенств по отношению к сечениям.

Противоположные сечения и абсолютное значение 127

141. Сечения, производимые рациональными. числами 129

Стр.

• 2. Действия над сечениями.

142 — 144. Три вспомогательные теоремы 130

145 — 146. Определения суммы и произведения двух сечений 132

147 —149. Теоремы о неравенствах, относящиеся к сумме и произведению двух сечений 134

150—152. Основные законы арифметики и условия (Л), (В¹), (С) и (Z)') (п°п° 59, 68, 69 и 71) по отношению к сечениям. Разность и частное двух сечений. 136

153 . Существование корня степени п из любого положительного сечения 139

154 — 156. Операции над сечениями, производимыми рациональными числами. 140

157. Понятия о равенстве и неравенстве в области сечений в связи с понятием о разности. 142

• 3. Вещественные числа.

158 —159. Сечения как вещественные числа. Рациональные и иррациональные числа. Расположенность любого множества вещественных чисел. 143

160. Принцип Архимеда и другие теоремы о неравенствах по отношению к вещественным числам. Целая часть вещественного числа 144

161 — 162. Сгущенность и непрерывность множества вещественных чисел 145

^63 — 164. Теоремы об абсолютных значениях в области вещественных чисел. 147

165 —166. Понятия об интервале и о приближенном значении вещественного числа 148

167 —169. Арифметическое значение корня и теоремы о радикалах. Приближенное значение арифметического корня 150

170. Степень с каким угодно рациональным показателем 153

• 4. Геометрическая интерпретация вещественных чисел.

171 — 172. Изображение вещественных чисел точками прямой линии. Аксиома Дедекинда. 154

173— 174. Ось и абсцисса точки на оси. Векторы па оси и их измерение. Теорема Мебиуса Шаля 156

175— 177. Прямолинейные координаты точки на плоскости и в пространстве. Параллельное перенесение осей координат. . 159

Глава V. Пределы.

• 1. Понятие о пределе.

178 — 180. Постоянные и переменные величины. Последовательности 162

181 — 183. Ограниченные последовательности. Точки сгущения, — теорема Вейер штрасса 165

184 — 186. Сходящиеся последовательности; понятие о пределе переменной величины, пробегающей последовательность значений 168

187. Критерий сходимости Больцано-Коши 170

• 2. Метод пределов.

188 — 189. Некоторые предложения о пределах, относящиеся к неравенствам . 171

190—192. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного 173

193— 195. Бесконечно малые и бесконечно большие переменные. По- 0 со ₁₇-

нятие о неопределенностях вида -у и 1 / о

196. Монотонные переменные величины 178

• 3. Степень с вещественным показателем и логарифм.

197—199. Некоторые теоремы о пределах, приводящие к понятию

о степени с любым вещественным показателем 179

200 — 203. Степень с вещественным показателем и ее важнейшие свойства 182

Стр.

204 —205. Логарифм положительного числа при положительном основании — теорема существования 184

206 — 207. Важнейшие свойства логарифма. 187

208 — 209. Теоремы о пределе логарифма и степени. 188

210 . Понятие о числе е и о натуральном логарифме 189

Глава VI. Комплексные числа.

• 1. Историко-пропедевтическое введение. 211 — 214. Мнимые числа до XVII века. 191

215 — 217. Жирар, Харриот, Даламбер, Эйлер 194

218 — 221. Геометрическая интерпретация мнимых чисел — Бессель, Арган, Гаусс 196

222 — 223. После Гаусса — Гамильтон, Коши и др. 198

224 — 228. Пропедевтическая часть. Пары третьей ступени 200

• 2. Теория пар третьей ступени.

229 — 230. Определение равенства, суммы и произведения по отношению к парам третьей ступени. 202

231. Основные законы арифметики и условия (/4) и (В') (п°п° 59 и 69) по отношению к парам третьей ступени 203

232 — 233. Разность и частное пар третьей ступени; условия (С) и (D') (п°п° 68 и 71) 204

234 — 235. Степень с натуральным показателем и корень — существование квадратного корня из какой угодно пары . . . 205

236 — 238. Особенно важные частные случаи действий над парами третьей ступени; сравнение пар вида (а, 0) с вещественными числами. Комплексные числа, вещественные и мнимые 207

239 — 241. Введение символа Z. Действия над комплексными числами при новом обозначении. Сопряженные комплексные числа 209

242 — 244. Модуль комплексного числа. Важнейшие свойства сопряженных комплексных чисел 211

• 3. Модуль и аргумент.

245 — 247. Тригонометрическая форма комплексного числа; модуль н аргумент. Главное значение аргумента. 213

248 — 249. Двоякая геометрическая интерпретация комплексных чисел 217

250 — 252. Теоремы о модуле суммы и разности комплексных чисел и их геометрическая интерпретация 218

253 — 255. Теоремы о модуле и об аргументе произведения и частного комплексных чисел и их геометрическая интерпретация 221

• 4. Степени с целым показателем и корни. 256. Формула Муавра 223

257 — 259. Корень n-ой степени из комплексного числа и его главное значение. 224

260 — 262. Преобразование первоначальной формулы. Корни л-ой степени из единицы 227

263 — 264. Вещественные значения корня л-ой степени 229

265 — 266. Геометрическая интерпретация вопроса о корне 231

• 5. Обобщения понятия о степени.

267 — 271. Исследование формул, выражающих основные свойства арифметического корня по отношению к корню л-ой степени из комплексного числа 232

272 — 274. Степень комплексного числа с рациональным и вообще каким угодно вещественным показателем. 236

275 — 277. Степень числа е с любым комплексным показателем и ее важнейшие свойства. Формулы Эйлера. 239

278 — 279. Натуральный логарифм комплексного числа и общее понятие о степени любого комплексного числа с любым комплексным показателем 241

Стр.

Часть IL АЛГЕБРА.

Глава VII. Введение в алгебру.

• 1. Первоначальные сведения о функциях.

280 — 282. Понятие о функции от одной переменной величины; аргумент функции 244

283 — 287. Примеры функций. Прямая и обратная пропорциональность. Числовые функции 246

288 — 289. Табличный и аналитический способы задания функций . . 248

• 2. Графики функций.

290 — 292. Графический способ задания функций. 250

293 — 298. Примеры графиков. Парабола и гипербола (равнобочная) 252 § 3. Обобщение первоначального понятия о функции. Уравнения.

299 — 300. Понятие о функции от нескольких переменных величин. Понятие о тождестве. Точка неопределенности функции 259

301 . Сложные функции 262

302 — 303. Понятие об уравнении и об его корнях или решениях; корни функций 262

304 — 305. Решение уравнения относительно некоторых неизвестных. Уравнения с буквенными коэффициентами. 265

306 — 307. Системы уравнений. Неявное задание чисел и функций . 266

308 — 309. Однозначные и многозначные функции. Обратные функции 268

310 — 311. Понятие об уравнениях геометрического места точек. Кривая функции; геометрическое задание функций 270

• 4. Алгебраические функции. Предмет алгебры.

312 — 315. Рациональные (целые и дробные) функции от одной и от нескольких переменных. Линейная функция от одной переменной 272

316 — 318. Алгебраические и трансцендентные функции. Примеры тех

и других. 275

319 — 320. Предмет алгебры. Историческая справка 277

Глава VIII. Решение систем уравнений и условных неравенств.

• 1. Принципы тождественных преобразований систем уравнений.

321—322. Равносильные или эквивалентные системы уравнений. Сущность процесса решения. 279

323 — 324. Пять основных принципов тождественных преобразований систем. Принципы перехода и присоединения 281

325 — 327. Принципы подстановки и сложения. Прибавление к обеим частям уравнения одной и той же функции; перенесение чл/нов уравнения 282

328 — 329. Принцип умножения. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же постоянную величину не равную пулю; следствия 285

330. Обобщенный принцип сложения. 287

• 2. Важнейшие нетождественные преобразования систем уравнений.

331 —332. Практическая необходимость нетождественных преобразований. Тождественные преобразования частей уравнения 288

333 — 334. Разложение на множители левой части уравнения вида / (х, v, z,,) = 0 290

335 — 337. Умножение и деление обеих частей уравнения на одну и ту же функцию. 292

338 — 339. Освещение того же вопроса с другой точки зрения. . . . 295

3,40— 343. Возвышение обеих частей уравнения в одну и туже степень. Примеры решения иррациональных уравнений. 297

• 3. Некоторые руководящие соображения о решении систем уравнений.

341 — 345. Исключенле неизвестных — различные способы 301

346. Способ подстановки 302

Стр.

347. Способ. сравнения 303

348. Способ сложения 303

349 — 351. Общий прием исключения неизвестных и решения систем уравнений. 304

352 — 353. Способ. вспомогательных неизвестных 308

• 4. Условные неравенства.

354 — 356. Условные неравенства; системы условных неравенств и другие понятия, с ними связанные. 309

357 — 359. Основные теоремы и замечания о тождественных и нетождественных преобразованиях условных неравенств . 311

360. Исключение неизвестных из условных неравенств 313

361 — 362. Разложение на множители как один из приемов решения условных неравенств 314

363. Способ вспомогательных неизвестных 316

Глава IX. Линейные функции и уравнения.

• 1. Целая линейная функция.

364 — 366. Целая линейная функция и прямая линия как „кривая этой функции 317

367. Возрастание или убывание целой линейной функции . . . 319

368. Обращение целой линейной функции. 320

• 2. Дробная линейная функция.

369 — 370. Преобразование вида дробной линейной функции и определитель линейной функции. Случай обращения линейной функции в постоянную величину. 320

371 —374. Кривая дробной линейной функции — равнобочная гипербола 322

375 — 376. Некоторые простейшие свойства равнобочной гиперболы 326

377 — 378. Вопрос о значениях, принимаемых дробной линейной функцией, и ее обращение. 328

379 — 381. Возрастание и убывание линейной функции в различных интервалах . . 330

382— 383. Понятие о производной функции. Простейшие примеры производных. . 333

• 3. Системы линейных уравнений с числом уравнений и числом неизвестных, не превышающим двух.

384 — 385. Общий вопрос о решении и исследовании систем линейных уравнений. Исследование одного линейного уравнения (или одного условного неравенства) с одним неизвестным . 335

386 — 387. Исключение неизвестного из системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка 337

388 — 392. Решение и исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. 339

393 — 395. Геометрическая иллюстрация этого исследования. Аналитическое условие параллельности двух прямых на плоскости 342

396 — 397. Система двух однородных линейных уравнений с двумя неизвестными. 345

398 — 400. Применение предыдущих выводов к одному линейному уравнению с двумя неизвестными и к системе двух линейных уравнений с одним неизвестным 346

Глава X. Квадратичная функция и квадратные уравнения.

• 1. Квадратичная функция.

401 —402. Предварительные разъяснения. Нормальный вид квадратичной функции и ее дискриминант . 349

403 — 404. Кривая квадратичной функции — парабола 351

Стр.

405 — 406. Геометрическое значение коэффициентов квадратичной функции, представленной в нормальном виде. Экстремальное (минимальное или максимальное) значение ква- драти <пой функции 352

407 — 499. Примеры на минимальные и максимальные значения . . . 354

410 — 411. Отношение приращения квадратичной функции к соответствующему приращению аргумента. Возрастание и убывание квадратичной функции в различных интервалах. . 357

412 — 413. Производная квадратичной функции и ее геометрическое значение —геометрическое значение коэффициента Ь. Частный случай формулы Лагранжа. 359

• 2. Корни квадратичной функции.

414 — 416. Обращение квадратичной функции и ее корни. Решение квадратных уравнений 362

417. Случай бесконечно малого коэффициента а. 364

418 — 419. Сумма и произведение корней квадратичной функции. Составление квадратного уравнения по его корням 366

420. Решение системы уравнений вида ax-\~by = c, xy = d. . 368

421 — 423. Суммы од шаговых степеней корней квадратного уравнения. Симметрические функции от корней квадратного уравнения 369

424 — 425. Разложение квадратичной функции на линейные множители 373

426 — 427. Составление квадратичной функции и вообще целой рациональной функции, степень которой не выше 2, по трем ее данным значениям. 374

• 3. Исследование квадратного уравнения и условного неравенства второй степени.

428. Исследование квадратного уравнения с вещественными коэффициентами. 376

429 — 431. Некоторые графические приемы приближенного решения квадратных уравнений и иллюстрация аналитического исследования. Графическое определение мнимых корней. 378

432. Геометрическое решение квадратного уравнения по способу Берара 382

433 — 434. Решение и исследование условных неравенств второй степени в связи с вопросом о знаке квадратичной функции с вещественными коэффициентами. 383

Глава XI. Элементарные свойства целых функций от одной переменной.

• 1. Простейшие свойства целых функций.

435. Общ 1Й вид целой функции от одной переменной и условие тождества двух целых функций. 386

436. Сумма, разность, произведение и частное двух целых функций 387

437. Деление двух целых функций — обобщенное частное и остаток 388

438 — 440. Частный случай деления на линейную функцию вида х — а.

Теорема Безу и правило Хорнера. 390

441. Частное случаи теоремы Безу. 392

442 — 443. Кратные корни целой функции и разложение ее на множители. Вопрос о числе всех корней целой функции. . 393

444 — 445. Интерполяционная формула Лагранжа . 395

446 — 448. Определен ие рациональных корней целой функции с рациональными коэффициентами. 397

• 2. Производная целой функции.

449 — 450. Производная целой функции. Производная суммы и произведения двух или нескольких функций 400

451 — 453. Кратные корни целой функции и производные различных порядков. 402

Стр.

454. Мнимые корни целой функции с вещественными коэффициентами 404

455. Формула Тэйлора. *. 405

456 — 459. Экстремальные (минимальные и максимальные) значения целой функции. Примеры 406

460. Абсолютное значение и знак целой функции при бесконечно большом аргументе. 410

Глава XII. Уравнения степени выше второй. Заключение.

• 1. Уравнения третьей степени.

461. Освобождение уравнения л-ой степени от второго члена. Применение к квадратному уравнению и к уравнению третьей степени 412

462 — 464. Решение уравнения третьей степени — формула Кардана. Примеры. 413

465. Исследование уравнения третьей степени с какими угодно комплексными коэффициентами; дискриминант. 418

466 — 467. Случай вещественных коэффициентов. 420

468. Так называемый неприводимый случай 422

469. Трисекция угла. Тригонометрическая форма решений уравнения третьей степени в неприводимом случае. 423

• 2. Уравнения четвертой степени и двучленные.

470 — 472. Решение уравнений четвертой степени по способу Феррари. Кубическая резольвента. Биквадратные уравнения 425

473 — 475. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными. Примеры 428

476. Особые приемы, применяемые в частных случаях 431

477. Решение уравнений четвертой степени при помощи системы уравнений второй степени 432

478 — 479. Уравнения, к которым приводится решение двучленных уравнений. 433

480 — 481. Простейшие частные случаи двучленных уравнений . . . 435

• 3. Заключение.

482 — 483. Вопрос об уравнениях высших степеней до Ньютона и Лейбница 437

484 — 485. Ньютон, Лейбниц, Чирнгауз, уравнения степени выше четвертой 439

486 — 487. Эйлер, Безу и Лагранж. Бринг-Жерарова форма уравнения пятой степени. 441

488 — 490. Основная теорема высшей алгебры и ее ближайшие следствия; исследования Гаусса. 442

491—492. Невозможность общего решения в радикалах уравнений выше четвертой степени. Руффини, Абель и Галуа . . . 446

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА.

План книги во всех его деталях можно видеть из оглавления. Позволю себе обратить внимание читателя лишь на важнейшие моменты.

В основу всей арифметики, составляющей первую часть моей книги, положены четыре аксиомы, к которым я подхожу, анализируя сущность операции счета, и на которые смотрю как на сжатое описание натурального ряда чисел, просто как произвольно установленного (именно для счета) ряда символов, который может быть продолжен как угодно далеко. Этим отчасти определяется и самый выбор аксиом. Точка зрения на числа как на символы — это основная точка зрения, принятая мной по отношению ко всей арифметике.

Третий и четвертый параграфы (§§) первой главы посвящены формальному выводу из четырех аксиом тех свойств натуральных чисел, относящихся к первым четырем действиям, которые хотя и являются общими также и для других категорий чисел, но которые для каждой из этих категорий приходится доказывать самостоятельно. В этой части книги я сознательно избегал таких обобщений, формальное развитие которых совершенно не связано с принадлежностью чисел к той или иной категории. Такого рода обобщениям отводится место во второй главе („Общие свойства чисел*), где я поставил своей задачей выяснение всех предпосылок, на которых основаны эти обобщения. Поскольку дело касается сложения и умножения, этими предпосылками являются „основные законы арифметики*; им посвящен первый параграф второй главы. Что же касается тех общих свойств, которые связаны с вычитанием и делением, то основных законов здесь уже недостаточно — здесь необходимы еще некоторые дополнительные условия, которые я обозначаю буквами А, В, С и D. В теснейшей связи с этими условиями находится введение нуля и его основные свойства как числа, а также основные свойства единицы, которая появляется здесь вторично, но уже не как член

натурального ряда, а как член более общей системы (§§ 2 и 3 гл. II).

После того как во второй главе даны основные принципы, руководящие эволюцией четырех важнейших арифметических понятий (число, равенство, сумма, произведение), и намечена та цель, которая должна быть ей поставлена, в главах III, IV и VI эта эволюция осуществляется фактически. Переход от натуральных чисел, уже дополненных нулем, к целым числам, так же, как и переход от целых чисел к рациональным вообще, и так же, как переход от вещественных чисел к комплексным, в предлагаемой книге совершается с помощью пар — числа новой категории в каждом из трех упомянутых случаев рассматриваются как пары чисел прежней категории. Главное преимущество теории пар я вижу прежде всего в той отчетливости, с которой эта теория позволяет выявить связь между основными свойствами вновь вводимой категории чисел и соответствующим обратным действием; а затем еще — ив той естественности, переходящей почти в необходимость, с которой в теории пар появляются новые обозначения, а именно, минус в обозначении отрицательных чисел, черта в обозначении дробей и символ i как символ пары (0,1) в обозначении комплексных чисел. Введению этих по существу условных обозначений теория пар придает особую элегантность.

Впрочем к определению действий над комплексными числами как над парами третьей ступени нельзя подойти так же просто, как это делается по отношению к парам первой и второй ступени, потому что основные свойства извлечения корня ничего в этом случае не дают. Мне представлялись два возможные выхода из положения — или подойти к вопросу геометрически (путем не вполне естественного обобщения геометрической интерпретации действий над вещественными числами), или же исторически. Я предпочел последний путь, как более естественный и интересный, а к тому же и более педагогичный. Дело в том, что если слишком рано ввести геометрическую интерпретацию комплексных чисел, то недостаточно подготовленный читатель легко может смешать эту интерпретацию с доказательством, благодаря чему у него может создаться такое впечатление, будто теорию комплексных чисел невозможно построить чисто аналитически.

Что же касается перехода от рациональных чисел к вещественным, то здесь теория пар неприменима по той причине, что множество всех вещественных чисел (неисчислимое множество) обладает мощностью большей по сравнению с множеством всех пар рациональных чисел (исчислимым множеством). Из всех существующих теорий иррациональных чисел я выбрал теорию Дедекинда, как наиболее простую и удобную в смысле приложений к анализу и геометрии. Главу V о пределах следует рассматривать как одно целое с главой IV о вещественных числах.

Число, равенство, сумма, произведение — вот четыре важнейшие, неразрывно связанные между собой в своей эволюции арифметические понятия. При чтении первой части книги читатель должен уделить им наибольшую долю своего внимания. Отчасти чтобы облегчить его в этом отношении, отчасти в целях экономии — весь остальной арифметический материал (учение о делимости целых чисел, о неравенствах, о степенях, корнях и логарифмах) я старался расположить таким образом, чтобы, не заслоняя им самого главного, придать ему по возможности сжатые, самостоятельно легко обозримые формы.

Вторая часть книги посвящена элементарной алгебре, под которой я подразумеваю учение о простейших алгебраических функциях и в частности о простейших алгебраических уравнениях (не выше 4-ой степени). В главе VII развивается общее понятие о функции и в неразрывной с ним связи — понятия об уравнении и об условном неравенстве. В следующей VIII главе я, исходя из функциональной точки зрения, устанавливаю основные принципы решения уравнений, систем уравнений и условных неравенств. Я считаю, что именно функциональная точка зрения дает возможность разобрать эти вопросы с наибольшей отчетливостью и полнотой, позволяя поставить все необходимые точки над i.

Следующие две главы (IX и X) представляют приложение общих идей, изложенных в двух предыдущих главах, к наиболее элементарным алгебраическим функциям и уравнениям.

Подойдя вплотную к основной теореме высшей алгебры и к уравнениям 5-ой степени' (две последние главы), я должен был, конечно, уделить некоторое внимание также и этим вопросам. Но будучи лишен возможности дать доказательство хотя бы важнейших относящихся к этому предложений, я пытался представить эти вопросы в их исторической перспективе. В заключительном параграфе своей книги я сообщаю в популярной форме краткие исторические сведения, относящиеся к доказательству основной теоремы высшей алгебры и к вопросу о решении в радикалах уравнений высших степеней.

Я глубоко убежден, что моя книга не задевает ни одного вопроса, с которым не должен быть знаком каждый преподающий математику в средней школе, но я далеко не убежден, что в ней исчерпаны все вопросы арифметики и алгебры, имеющие важность для учителя. Напротив, я могу указать целый ряд пробелов, с мучительной остротой встававших перед моим сознанием еще до окончания книги и вызванных исключительно недостатком места. Вот эти пробелы: систематические числа; теории вещественных чисел, принадлежащие Вейерштрассу, Мерэ, Георгу Кантору и Гейне; элементарные сведения из теории множеств, связанные с понятием о мощности; исследование системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными; целая функция третьей степени; показательная и логарифмическая функции.

В качестве преподавателя мне не раз приходилось наблюдать такое явление, когда взрослый человек, как это ни странно, не понимает иногда совершенно простых вещей и не понимает их именно потому, что они просты, тогда как он привык вкладывать в эти вещи содержание (часто ему самому непонятное), не отвечающее их действительной сущности и делающее эти вещи в его глазах гораздо сложнее, чем это есть на самом деле. Поэтому в своем изложении я все время старательно отметал все лишнее, наносное от тех вещей, которые составляют содержание моей книги, стараясь представить эти вещи просто так, как они есть.

К числу вещей, сплошь и рядом не понимаемых именно в силу своей простоты, принадлежат так называемые условные определения. Собственно говоря, в математике условны все определения, но речь идет о тех, которые при недостаточном понимании сущности математического рассуждения легко принять за предложения, подлежащие доказательству. Я обращал большее внимание на то, чтобы отчетливо выделить все такие случаи и, подчеркнув каждый раз неизбежную условность, пояснить ее

происхождение и целесообразность. Я надеюсь поэтому, что в моем изложении не найдется ничего такого, что сваливалось бы, как говорится, с неба.

„Я люблю, когда ничего не подразумевается", — вот слова, характерные, вероятно, для большинства читателей и учащихся. Поэтому формулировка теорем, в частности точное перечисление всех „если", составляющих условие теоремы, представляло для меня одну из немалых забот. Чрезвычайно важно, чтобы в случае надобности читатель легко мог в точности припомнить содержание, а следовательно и область применения, нужной ему теоремы, не перечитывая всех относящихся к ней пояснений. Что же касается доказательств, то, приступая к своей книге, я поставил себе за общее правило излагать все доказательства полностью, ничего не „подразумевая" и позволяя себе опускать лишь такие рассуждения, относительно которых я лично убедился в том, что они вполне аналогичны другим, уже изложенным раньше.

Полупонимание,— говорит Генрих Вебер в своем предисловии к Энциклопедии Элементарной Математики,—равносильно в этой области непониманию, если не хуже его". Но, что действительно хуже, так это такое полупонимание, которое сопровождается пониманием по-своему, совсем не так, как этого хотел сам автор. И вот, составляя эту книгу, я сплошь и рядом вдумывался в каждое слово, стараясь передать свою мысль как можно отчетливее. Поэтому я позволю себе надеяться, что и мой читатель во всех затруднительных местах будет делать то же самое, т. е. вдумываться в каждое слово, стараясь понять меня именно так, как я этого хотел, и ничего не стараясь прочесть между строк. Во время всей своей работы, длительной и временами чрезвычайно напряженной, я представлял себе мысленно образ этого своего читателя, с которым я хотел поделиться не только своими знаниями и работой своей мысли, но и тем высоким духовным наслаждением, которое дают эти знания и эта работа.

В заключение считаю своим долгом выразить глубокую благодарность профессору Григорию Михайловичу Фихтенгольцу, ценными советами которого я неоднократно пользовался, а также и тем сотрудникам Государственного Издательства, с которыми мне приходилось вступать в деловые отношения по поводу моей книги, и которые так доброжелательно шли мне навстречу в осуществлении моего давнишнего замысла.

Неоценимую помощь при написании этой книги мне оказала моя жена, Татьяна Александровна Комарова.

В. Комаров.

25 августа 1928.