Скачать Советский учебник

Назначение: Для учащихся старших классов школ и ПТУ, студентов техникумов и вузов, а также преподавателей математики, инженеров и техников.

 В книге излагаются основные понятия дифференциального и интегрального исчислений, их приложения к исследованию элементарных функций, применения к приближенным вычислениям, решению некоторых задач механики и физики. Имеются главы, посвященные изучению тригонометрических функций, комплексных чисел, элементов теории вероятностей. Каждая глава снабжена упражнениями.

© "Наука: Физматлит" Москва 1987 

Авторство: Фаддеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф.

Формат: PDF Размер файла: 30.2 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Основные понятия дифференциального исчисления.

Основной принцип дифференциального исчисления.

Бесконечно малые величины.

Сходящиеся переменные и их пределы.

Бесконечно большие величины.

Примеры на вычисление пределов.

Пределы функций.

Непрерывность функций.

Уточнение понятия производной.

Уравнение касательной к графику функции.

Скорость изменения функции.

Скорость механического движения точки по прямой.

Дифференциал функции.

Дифференциал функции от функции.

Техника дифференцирования.

Дифференцирование результатов арифметических действий.

Дифференцирование логарифмической функции.

{spoiler=ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...}

 

Доказательство существования предела функции (l+h)1/h при h → 0.

Дифференцирование показательной функции.

Дифференцирование степенной функции.

Дифференцирование функций, заданных уравнениями.

Некоторые приложения дифференциального исчисления.

Признаки возрастания и убывания функций.

Уточнение доказательств теорем о возрастании и убывании функций.

Максимум и минимум функций.

Один несложный пример и некоторые выводы из его рассмотрения.

Производные высших порядков.

Бином Ньютона.

Применение производных высших порядков к исследованию функций.

Порядок малости функций в окрестности точки, в которой функция обращается в нуль и порядок близости функций.

Связь порядка малости с порядком первой отличной от нуля производной.

Формулы Тейлора и Маклорена.

Общие понятия теории приближенных вычислений.

Оценка погрешностей результатов вычислений с приближенно заданными числами.

Тригонометрические функции.

Обобщение понятия угла.

Измерение углов в радианах.

Функции синус и косинус.

Простейшие свойства функций синус и косинус

Приведение значений функций синус и косинус к значениям на интервале 0 ≤ φ ≤ π/4.

Функции тангенс и котангенс.

Выражение тригонометрических функций друг через друга.

Один важный предел.

Графики функций y = sin x и y = cos x.

Графики функций y = tg x и y = ctg x.

Преобразование выражений с тригонометрическими функциями и некоторые приложения.

Синус и косинус суммы и разности аргументов.

Тангенс и котангенс суммы н разности.

Тригонометрические функции удвоенного аргумента и некоторых кратных аргументов.

Тригонометрические функции половинного аргумента.

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

Выражение произведений функций синус и косинус в виде сумм и выражение сумм в виде произведений.

Преобразование линейной, комбинации синуса и косинуса.

Гармонические колебания.

Колебания с переменной амплитудой.

Простейшие тригонометрические уравнения и обратные тригонометрические функции.

Некоторые действия над прямыми и обратными тригонометрическими функциями.

Тригонометрические уравнения.

Решение простейших тригонометрических неравенств.

Тригонометрические неравенства более общего вида.

Примеры на доказательство неравенств с тригонометрическими выражениями.

Дифференциалы и производные тригонометрических функций.

Применение производных к исследованию функций, выражающихся через тригонометрические.

Производные и дифференциалы обратных тригонометрических функций.

Элементы интегрального исчисления.

Определение интегрирования.

Более строгое доказательство леммы.

Простейшие формулы интегрирования.

Интегрирование, основанное на использовании инвариантности формулы дифференциала функции от функции.

Интегрирование по частям.

Площадь криволинейной трапеции.

Простейшие свойства определенных интегралов.

Представление интеграла в виде суммы.

Интеграл как предел суммы.

Приближенное вычисление интегралов.

Объем тела вращения.

Длина дуги кривой.

Площадь боковой поверхности тела вращения.

Понятие дифференциального уравнения.

Некоторые дифференциальные уравнения, играющие важную роль в механике.

Комплексные числа.

Вводные соображения.

Основные определения.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.

Извлечение корня из комплексного числа.

Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной.

Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

Простейшие комбинаторные задачи.

О вероятности.

Сложение вероятностей.

Умножение вероятностей.

Применения к генетике.

Случайные величины.

Сумма независимых случайных величин.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, связанной со схемой Бернулли.

Неравенство Чебышева.

Закон больших чисел для схемы Бернулли.

Случайные блуждания на прямой.

Случайные величины, значения которых сосредоточены в промежутке или на всей вещественной оси.

Задача Бюффона.

Ответы и указания.

 {/spoilers}

Скачать бесплатный учебник  СССР - Элементы высшей математики для школьников (Фаддеев, Никулин, Соколовский) 1987 года

СКАЧАТЬ PDF

{spoiler=ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...}

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга написана на основе материалов, по которым велось экспериментальное преподавание курса алгебры и начал математического анализа, предложенного Д. К. Фадеевым для средней школы. Содержание книги охватывает круг вопросов, входящих в программу по математике для старших классов. В идейном плане книга тесно связана с курсом алгебры Д. К. Фаддеева, изложенным в его книге «Алгебра 6—8», которая вышла в 1983 г. в издательстве «Просвещение» в серии «Библиотека учителя математики» *).

Предлагаемая читателю книга по содержанию значительно шире существующих сейчас учебников по математике для средней школы. Например, кроме традиционного уже для курса средней школы понятия первой производной (и ее приложений к исследованию функций), в книге рассмотрено понятие производных высшего порядка и на его основе дан вывод формулы бинома Ньютона, введено понятие порядка близости функций, получена формула Тейлора, рассмотрены проблемы приближенных вычислений на основе понятия дифференциала.

В главе «Элементы интегрального исчисления» даны методы приближенных вычислений интегралов, решена задача определения длины плоской кривой, более подробно рассмотрены способы вычисления неопределенных интегралов и вопросы решения простейших дифференциальных уравнений, а также некоторые численные методы их решения.

Многие из затронутых в книге вопросов предполагают и стимулируют применение современных вычислительных средств от простейших микрокалькуляторов до ЭВМ.,

 

В книге даны несколько более полные доказательства теорем, чем это обычно принято в школе, но не это было основной задачей, которую ставили перед собой авторы. Эти места, а также другие, отмеченные знаками 4 и ►, можно опустить при первом чтении.

Одна из главных целей этой книги—показать, что основные идеи математического анализа очень просты н наглядны, если их излагать на том интуитивной уровне, на котором они фактически возникли. Поэтому с первых страниц книги вводится простое соображение, которое авторы называют «основным принципом» дифференциального исчисления. Согласно этому принципу достаточно малый кусочек гладкой кривой почти совладает с отрезком некоторой прямой, и их различие постепенно исчезает по мере стяги ванн я участка кривой к некоторой точке. Наглядные рассуждения, основанные на этом принципе, везде, где это оказалось возможным, предшествуют строгим доказательствам.

Авторы считают, что понимание основного принципа дифференциального исчисления и неформальное владение этим притыком имеют большое методологическое и мировоззренческое значения а должны предшествовать изучению серьезных вузовских, в том числе и математических курсов математического анализа.

Авторы приносят глубокую благодарность учителям средней школы Ленинграда п. Э. Скучас и 3. А. Иоффе, проводившим преподавание алгебры н начал анализа по материалам, положенным в основу этой книги и «Алгебры 6—8*. Мы рассчитываем на то, что предлагаемая книга окажется интересной м полезной для учащихся старших классов школ и ПТУ, интересующихся математикой м ее применениями в физике и технике, для студентов техникумов и вузов, а также для преподавателей математики и физики.

Авторы 

{/spoilers}