§ 16. Периодические функции * 72

• 17. Понятие об обратной функции 78
• 18. О существовании обратной функции. 81
• 19. График обратной функции 83
• 20. Обратные тригонометрические функции 88
• 21. Простейшие преобразования графиков 95
• 22. Сложение и вычитание графиков 97
• 23. Умножение графиков и их растяжение от оси абсцисс 99
• 24. Графики функций у = f (х + с) и у = f (kx) 103

$ 25. Применение графиков функций к решению уравнений

и неравенств 109

• 26 Разные задачи. 113

Глава IV. Пределы

• 27. Числовая последовательность 116
• 28. Ограниченные и неограниченные последовательности 119
• 29. Монотонные последовательности. 121
• 30. Арифметические действия над последовательностями 124
• 31. Предел числовой последовательности 126
• 32. Бесконечно малые последовательности 132
• 33. Некоторые свойства бесконечно малых последовательностей 135
• 34. Теоремы о пределах последовательностей. 137
• 35. Существование предела у монотонных последовательностей 141
• 36. Число е. Натуральные логарифмы 143
• 37. О стремлении аргумента к числу а. ‘ 147
• 38. Бесконечно малые функции 151
• 39. Предел функции в точке 155
• 40. Предел функции в точке и значение функции в точке. 159
• 41. Основные теоремы о пределах функций. 160
• 42. Предел функции при х->+оои при х ->—<х> 163

sin х

• 43. Предел отношения --------- при х -> 0 166

х

• 44. Применение предела в приближенных вычислениях 168
• 45. Некоторые геометрические и физические приложения теории пределов 170

Глава V. Непрерывность функции

• 46. Понятие о непрерывности функции. 182
• 47. Приращение аргумента и функции 184
• 48. Другая форма определения непрерывности функции 185
• 49. Некоторые свойства непрерывных функций 187
• 50. Свойства функции, непрерывной на сегменте 190

Глава VI. Производная

• 51. Средняя и мгновенная скорость прямолинейного движения 194
• 52. Линейная плотность стержня 198
• 53. Среднее и мгновенное значение величины тока 201
• 54. Скорость изменения функции, понятие производной 203
• 55. Непосредственное вычисление производных 205
• 56. Геометрический смысл производной. 209
• 57. В каждой ли точке функция имеет производную? 214
• 58. Производная суммы и разности функций. 217
• 59. Производная произведения и частного 219
• 60. Таблица производных 222
• 61. Производная сложной функции. 226
• 62. Формула бинома Ньютона 229
• 63. Применение формулы бинома Ньютона в приближенных вычислениях 232
• 64. Понятие о производных высшего порядка. 234
• 65. Понятие о дифференциале функции. 235
• 66. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 240

Глава VII. Исследование функций с помощью производной

• 67. Признаки возрастания и убывания функции 244
• 68. Интервалы монотонности 248
• 69. Максимум и минимум функции 251
• 70. Необходимое условие существования экстремума функции 255
• 71. Достаточные условия существования экстремума 258
• 72. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции 266
• 73. Дальнейшие примеры. 269
• 74. Отыскание экстремума функции с помощью второй производной 278
• 75. Построение графиков функций с помощью производной 280
• 76. Доказательство неравенств 285

Ответы 288

ПРЕДИСЛОВИЕ

На занятиях по началам математического анализа в юношеской математической школе нам часто приходилось слышать вопрос от наших пытливых слушателей: «Где можно прочесть о функциях, пределах и производной, кроме школьного учебника?» В этой книге мы и стремимся, несколько расширив объем материала за рамки школьной программы, удовлетворить этот запрос учащихся, интересующихся математикой. Она рассчитана на участников юношеских математических школ, членов школьных математических кружков. Учитель математики найдет в ней материал для факультативных курсов и занятий математического кружка старших классов.

В первой главе мы уделяем внимание основным операциям над множествами и абсолютным величинам и их свойствам с целью выработать у учащихся навыки и умения оперировать с ними, что необходимо для усвоения общего понятия функции и изучения теории пределов, производной и вообще основ высшей математики.

Известны методические трудности, возникающие при изложении для школьников общего понятия функции, предела, производной. В преодолении этих трудностей во многом нам помогли обсуждения методики изложения отдельных вопросов, вошедших в книгу, на семинаре при математических кафедрах Ярославского государственного педагогического института. Выражаем всем участникам семинара, принявшим участие в этих обсуждениях, нашу признател ьность.

Считаем своим приятным долгом поблагодарить профессора А. М. Лопшица за просмотр отдельных глав, замечания к ним и советы.

Профессор Н. Я. Виленкин и И. Б. Вейцман в своих отзывах о рукописи высказали ряд пожеланий, способствовавших улучшению книги, за что мы выражаем им глубокую благодарность.

При работе над книгой мы пользовались различной литературой. В частности, были использованы учебные пособия:

В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математического анализа, I. М., ГИТТЛ., 1957.

Г. М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. II М., ГИТТЛ., 1955.

К. А. Рыбников. История математики, I. Изд-во МГУ, 1960. II. 1963.

В. М. Брадис и др. Алгебра, под ред. А. И. М а р- кушевича. М., Учпедгиз, 1957.

Статьи в журнале «Математика в школе» Н. Я. Виленкина и С. И. Шварцбурда, № 1, 1961; А. Н. Ко л- мо го ров а, № 6, 1965 и № 6, 1966.

При подборе задач и упражнений воспользовались работой И. П. Натансона «Суммирование бесконечно малых величин». М., 1960.

Авторы.

ГЛАВА I

ВВЕДЕНИЕ

• 1. Понятие множества

1. При изучении функций нам придется пользоваться понятием множества, которое играет большую роль в современной математике.

Под множеством понимают совокупность предметов (объектов), объединенных некоторым общим признаком.

Например, мы можем говорить о множестве учащихся данной школы, множестве книг в библиотеке, множестве прямоугольников с данным периметром, множестве всех целых чисел и т. д.

Предметы, из которых составлено множество, называются его элементами. Так, в случае множества целых чисел его элементами будут числа 0, ±1, ±2, ± 3,

Будем множество обозначать прописными буквами, а его элементы строчными и записывать множество с помощью фигурных скобок. Например, если т — четные положительные числа, то множество М этих чисел запишется в виде

М = {т}.

Принадлежность элемента т множеству М выражают записью tn £ М. Если элемент пг не принадлежит множеству М, то это записывают так: т £ М.

Например, для множества М четных положительных чисел:

2£М; 44ЕЛ1; 11 — 8QM.

Множество может состоять из любого числа элементов. Например, множество А корней уравнения х² — Зх 4- 4-2=0 состоит из двух элементов и может быть записано так: А = {1, 2|.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Так, множество А — конечное множество.

Множество может не быть конечным. Такое множество называется бесконечным. Например, множество всех корней уравнения sin х = 0, т. е. множество чисел вида /гл, где k =0, ±1, ±2, , множество всех целых чисел является бесконечным множеством.

Множество может не иметь ни одного элемента. Такое множество называется пустым. Например, если в классе все ученики успевают, то множество неуспевающих учеников из этого класса будет пустым. Пустым будет также множество корней уравнения cos х = 2. Пустое множество обозначается символом 0.

Множество можно задать двумя способами. Первый способ — перечисление его элементов. Например, множество участников шахматного турнира задается списком; множество из двух чисел — А = {1, 2} и т. п.

Этот способ применим лишь к конечным множествам (хотя и не всегда удобен).

Второй способ — указание некоторого характеристического свойства элементов именно этого множества; например: множество треугольников; множество планет солнечной системы. Иногда такой способ задания множеств выражают специальной записью. Например, в записи

А = {х/х² — Зх 4- 2 = 0}

показано, что множеству А принадлежат все те элементы х, которые являются корнями уравнения х² — Зх 4- 2 =0, т. е. числа х = 1 и х = 2. Аналогично запись W = ={x/sin х = 0} показывает, что множеству А принадлежат все те числа х, которые являются корнями уравнения sin х = 0, т. е. числа вида х = fat, где k = 0, ±1, ±2,

2. Часть множества или подмножество

Может случиться, что все элементы множества А будут также элементами множества В. В этом случае множество А называется частью или подмножеством множества В. Этот факт записывается так: A cz В.