Комбинаторика и бином Ньютона (Халамайзер) 1980 год

Скачать Советский учебник

Комбинаторика и бином Ньютона (Халамайзер) 1980

Назначение: Пособие для учащихся 9—10 классов

В брошюре посредством задач раскрывается содержание основных понятии комбинаторики. Предназначена для учащихся старших классов.

© "Просвещение" Москва 1980

Авторство: А.Я. Халамайзер

Формат: PDF Размер файла: 3.43 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

1. Волейболисты меняются местами 4

2. Проверка гипотез 7

3. Четырехбуквенные «слова» 8

4. Упорядоченные и неупорядоченные подмножества 10

5 Два состава из общего списка 12

6. Выбор делегации 14

7. Три вида соединений

8. Баскетболисты тренируются в зале 16

9. Треугольник Паскаля 18

10. Коэффициенты многочлена 18

11. Биномиальная формула 19

12. Решение задач 20

13. Некоторые приближенные формулы 21

14. Наташа нанизывает бусы 22

15. Сережа штампует номера 23

16. В государственном совете Швамбрании 24

17. Азбука Морзе 26

18. Из истории комбинаторики 28

Ответы и указания 31

Литература для дополнительного чтения 32

Скачать бесплатный учебник СССР - Комбинаторика и бином Ньютона (Халамайзер) 1980 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

ВВЕДЕНИЕ

В Большой советской энциклопедии говорится, что комбинаторика— это раздел математики, в котором изучаются некоторые операции над конечными множествами, т. е. над определенным числом предметов (или точнее, объектов). Сами эти

объекты называются элементами множества. Основными и типичными операциями и связанными с ними задачами комбинаторики являются следующие:

1) Образование упорядоченных множеств, состоящее в установлении определенного порядка следования элементов множества друг за другом,— составление перестановок.

2) Образование подмножеств, состоящее в выделении из

данного множества некоторой части его элементов,— составление сочетаний.

3) Образование упорядоченных подмножеств — составление

размещений.

В учебной и научной литературе элементы комбинаторики

включаются обычно в виде отдельной главы в курс алгебры. Понимание проблем комбинаторики, умение подсчитывать число

различных возможностей, связанных с упорядочением множеств

и выделением из них подмножеств (как упорядоченных, так и

неупорядоченных), является весьма важным для правильного

восприятия статистических закономерностей, проявляющихся

в природе и технике, для восприятия законов природы, носящих

вероятностный характер, и в конечном итоге Для формирования

личности сознательного строителя коммунистического общества.

Поэтому настоящее пособие представляется полезным как

для самостоятельного чтения любознательными старшеклассниками, так и для использования на факультативных и кружковых

занятиях. Упражнения, приводимые для самостоятельного решения в конце каждого раздела, помогут учителю уяснить дета-

ли. Выполнение их поможет сознательному усвоению темы.

Автор не считает целесообразным при первоначальном знакомстве с предметом излагать строгие доказательства вводимых правил и формул. Предполагается, что «правдоподобные рассуждения» и аналогии, приводящие как бы к самостоятельному

выводу нужных предложений, являются достаточно убедительными и будут легче восприняты читателем. Вполне строгие доказательства (если они вообще окажутся необходимыми) лучше

отложить на следующий этап изучения.

Автор

1. ВОЛЕЙБОЛИСТЫ МЕНЯЮТСЯ МЕСТАМИ

Тренер волейбольной команды решил изменить расположение

игроков.

— Следующую встречу будем начинать по-другому,— объявил он после очередного проигрыша.— Ты, Сергей, встанешь на

подачу; Володя — на четвертый номер, в нападение, а ты, Николай...

— А если опять проиграем? — спросил капитан.

— Тогда опять переставлю,— хладнокровно ответил тренер.— Пока не перепробуем всех возможных расположений.

— Долговато пробовать будем,— усмехнулся Сергей, который был не только перворазрядником, но и инженером-расчетчиком в конструкторском бюро.— Ты даже не представляешь

себе, сколько игр пройдет, пока все способы перепробуем...

Как же подсчитать, сколькими способами можно расставить

6 волейболистов на 6 различных мест? И сколько потребуется

времени, если, например, каждый месяц пробовать 10 различных

способов?

Представьте себе две геометрические фигуры: квадрат и треугольник. Если говорить о порядке их расположения, то можно

найти два способа: сначала квадрат, потом треугольник (рис. 1, а)

или сначала треугольник, а потом квадрат (рис. 1,6).

Точно так же из двух букв А и Б можно составить два двухбуквенных «слова» АБ и БА. Вообще, множество из двух элементов можно расположить (упорядочить) ровно двумя способами.

Третий элемент (букву) В можно поместить впереди пары —

получим «слово» из трех букв ВАБ; можно поместить посреди

пары — получим АВБ; можно поместить позади пары — получим АБВ. Точно так же из пары БА можно получить ВБА, БВА

и БаВ. Значит, для трех элементов существует 2-3=6 способов

расположения по порядку; из трех элементов можно составить 6 «перестановок» — комбинаций, отличающихся друг "l Л А

от друга порядком расположения элементов. Или иначе: множество, содержащее 3 элемента, можно упорядочить шестью различными способами.

Установленный в конечном множестве порядок расположения

его элементов называется перестановкой.

Число перестановок обозначается латинской буквой Р. Значит,

Р2=2; Р3=2-З=6.

Символ Р3 читается так: «Число перестановок из трех эле-

ментов».

Пусть теперь у нас имеется k предметов (элементов), из которых составлены всевозможные Рь перестановок. Возьмем одну

из них:

Ob аз1 • • »

Добавим еще один (Л-Н)-й элемент. Его можно поместить!

1) впереди первого элемента ас,

2) впереди второго элемента «г;

3) впереди третьего элемента аз;

k) впереди Любого элемента а*;

Л-Н) позади всех имеющихся k элементов, т. е. всего

fe-H способом. Значит, количество перестановок из /г 4-1 элементов в (£-Н) раз больше, чем число перестановок из k элементов, т. е.

Рл+1=Рл.(Л+1).

Заметим, что Р2 и Р3 вычислены нами непосредственно; продолжим наши рассуждения, добавляя для симметрии множитель 1:

Замечание. Произведение натуральных чисел от 1 до

данного натурального числа m называется факториалом числа m

и обозначается ш\

Например: Р2= 1-2=2!

Р5=1-2-3-4-5=5!

РА = 1-2-3- . . . -k=k\ (1)

Итак, из k элементов можно составить Рл=1-2- ... -k=kl

различных перестановок, или, иначе, k\ различных упорядоченных множеств.

Подсчитаем теперь число перестановок из 6 элементов (столь-

кими способами можно расставить на площадке 6 волейболистов) :

Согласно условию тренер может

пробовать 10 различных способов расстановки волейболистов в месяц.

Значит, на проверку всех способов

уйдет 72 месяца, или 6 лет.

Если считать различными только те расстановки, при которых меняется порядок следования волейболистов, то разных порядков следования окажется только (6—1)! =

= 120; в этом случае на проверку всех способов расстановки тренеру

достаточно будет одного года. Вообще, когда важен только порядок

следования элементов (начальный элемент безразличен), то для

упорядочения множества из k элементов существует (Л—1)1 способов.

Изменение расположения элементов, не меняющее порядка

их следования (первый элемент «следует» за последним), иногда называют циклической перестановкой. Так, например, слово

«осел» циклической перестановкой может быть преобразовано

в «село». Другой пример циклических перестановок изображен

Факториал иногда рассматривают как функцию, определенную на множестве натуральных чисел. В таблице 1 приведены

значения факториала для небольших значений п. Для больших п

вычисление факториала оказывается затруднительным; однако

приближенное значение можно вычислить с хорошей точностью

по формуле Стирлинга:

2. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

При нахождении количества различных перестановок (или

числа перестановок) мы воспользовались принципом математической индукции. Для этого пришлось:

а) непосредственно подсчитать число перестановок из двух

(или трех) элементов;

б) подметить закономерность изменения числа перестановок

при добавлении еще одного элемента (при увеличении числа

элементов на единицу); сформулировать гипотезу*;

в) доказать эту гипотезу.

Рассмотрим еще один пример применения математической

индукции. Пусть требуется найти сумму дробей следующего вида:

Нетрудно подметить закономерность: каждая из этих сумм — дробь, числитель которой равен числу слагаемых, а знаменатель— на одну единицу больше; значит, суммы имеют вид:

1 Гипотезой называется предположение, объясняющее какую-либо закономерность; проверка или доказательство гипотезы — рассуждение, в результате которого гипотеза • становится законом (правилом, формулой) или отвергается как ошибочная. Одной из форм доказательства гипотез является применение математической индукции.

Для доказательства достаточно заменить первые k дробей их суммой (исходя из подмеченной закономерности) и сделать упрощения. Рекомендуем читателю самостоятельно проделать необходимые действия.

Иногда закономерность (гипотеза) предполагается заранее

и дается в готовом виде; это несколько облегчает задачу.

5. Найдите сумму цифр во всех пятизначных числах, состав-

ленных из цифр 1, 4, 6, 7, 8 (без повторений).

6. Сколько различных пятизначных чисел можно составить

из цифр 2, 4, 6, 8, 0 (без повторений)?

7. Найдите сумму всех пятизначных чисел из упражнения 5.

3. ЧЕТЫРЕХБУКВЕННЫЕ «СЛОВА»

Тридцать букв русского алфавита изображены на карточках

(рис. 3) без повторений. Сколько различных четырехбуквенных

«слов» можно из них составить? 1

Для решения задачи подготовим «наборную доску» для четырехбуквенного «слова» (рис. 4). Очевидно, первую букву можно выбрать 30 способами: каждая из 30 имеющихся карточек может быть уложена в первую клетку. Вторая буква выбирается из оставшихся 29 букв: буква, которая заняла первое место, не может быть использована вторично. Таким образом,

с буквы А начинается 29 двухбуквенных «слов», с буквы Б —

тоже 29..., с буквы Я — тоже 29, от Я А до ЯЮ. Всего получится

30-29 двухбуквенных «слов».

1 Разумеется, многие «слова», например «ФРЦХ», не будут иметь смыслового значения. Но мы хотим подсчитать все «слова». Отметим еще, что

слово «МИША» мы из этих букв составить можем, а слово «МАША»—не

можем, так как по условию буквы не должны повторяться.

Продолжая рассуждение, заметим, что третью букву можно

выбрать 28 способами (так как две буквы уже заняли первое и

второе места); значит, получим 30-29-28 трехбуквенных и

30-29-28-27=657 720 четырехбуквенных «слов». Вот некоторые из них:

КРАН БРАК

КРАБ ФРАК

Первые два из этих «слов» отличаются выбором одной буквы; второе и третье состоят из одних и тех же букв, но отличаются порядком их расположения; третье и четвертое отличаются выбором одной буквы. Вообще, различные слова могут отличаться друг от друга либо выбором букв, либо порядком их расположения.

Наши четырехбуквенные «слова» представляют собой четырехэлементные упорядоченные подмножества, входящие в множество из 30 элементов — букв русского алфавита. Упорядоченные подмножества данного конечного множества называются размещениями.

Как видно, различные размещения (в нашей задаче — по 4 элемента из 30) отличаются друг от друга либо выбором элементов, либо порядком их расположения. Количество размещений (или число размещений) обозначается буквой А с соответствующими индексами.

Математика - Для учащихся старших классов, Математика - Задачи - Решения - Упражнения, Математика - 9 класс, Математика - 10 класс 11 класс, Задачники и решебники, Автор - Халамайзер А.Я.

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ И КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ И КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ ВС

Яндекс.Метрика