Скачать Советский учебник

Назначение: Издание рассчитано на самые широкие круги читателей

Авторство: Владимир Григорьевич Болтянский, Израиль Цудикович Гохберг

Формат: DjVu, Размер файла: 1.27 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 

      В теории выпуклых фигур есть много изящных результатов, вполне доступных пониманию школьников и в то же время представляющих интерес для специалнстов-математиков. Некоторые из таких результатов мы и хотим предложить вниманию читателя. Мы расскажем о комбинаторных задачах теории выпуклых фигур, связанных главным образом с разбиением фигур на «меньшие» части. 

      {spoiler=ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...}

 

      Нам кажется, что основная часть книги будет вполне доступна учащимся старших классов, интересующимся математикой. Материал, который покажется сложным, можно пропустить. Наиболее простыми являются §§ 1—3, 7—10, 12—14, относящиеся к плоским фигурам. Остальные параграфы относятся к пространственным (и даже н-мерным) фигурам. Для требовательного и подготовленного читателя в конце книги сделано несколько примечаний и указан список журнальных статей и книг. Ссылки на примечания даны в круглых скобках ( ), ссылки на литературу — в квадратных скобках. В некоторых местах (особенно в примечаниях) изложение ведется на уровне научных статей. Мы не считаем включение такого материала в популярную книгу недопустимым: как нам кажется, популяризация научных знаний возможна не только среди начинающих, но и среди специалистов. 

      Изложение подводит читателя к современному состоянию рассматриваемых вопросов. В конце книги (§ 19) 

      сформулированы нерешенные проблемы. Некоторые из них настолько наглядны и так просто формулируются, что размышление над их решением доступно даже способным школьникам. 

      В заключение — несколько слов о самой «комбинаторной геометрии». Эта новая ветвь геометрии еще не сформировалась окончательно, и потому рано говорить о предмете комбинаторной геометрии. Кроме задач, разбираемых в этой книге, к комбинаторной геометрии, несомненно, относится круг вопросов, связанных с теоремой Xелли (см. главу 2 книги [37]), задачи о расположениях фигур (см. превосходную книгу Фейеша Тота [23]) и ряд других вопросов. Заинтересовавшемуся читателю мы очень рекомендуем также книгу Хадвигера и Дебруннера [29], посвященную задачам комбинаторной геометрии плоскости, и интереснейший обзор Грюнбаума [10], тесно соприкасающийся с содержанием предлагаемой вниманию читателя книги. 

      Авторы пользуются случаем выразить искреннюю признательность И. М. Яглому, энтузиазм и дружеское участие которого немало содействовали улучшению текста книги. 

      В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг 

      

      ГЛАВА 1 

      РАЗБИЕНИЕ ФИГУР НА ЧАСТИ МЕНЬШЕГО ДИАМЕТРА 

      § 1. Диаметр фигуры 

      Предположим, что мы рассматриваем круг диаметра d. Тогда расстояние между любыми двумя точками М и N этого круга (рис. 1) не превосходит d. В то же время можно найти две точки А и В нашего круга, удаленные друг от друга в точности на расстояние Й. 

      Рассмотрим теперь вместо круга какую-либо другую фигуру. Что можно назвать «диаметром» этой фигуры? Сказанное выше наводит на мысль назвать диаметром фигуры наибольшее из расстояний между ее точками. Иначе говоря, диаметром фигуры F (рис. 2) мы будем называть такое расстояние и что, во-первых, расстояние между любыми двумя точками М и N фигуры F не превосходит d и, во-вторых, можно отыскать в фигуре F 

      Рис. 1. 

      Рис 2. 

      хотя бы одну пару точек А, В, расстояние между которыми в точности равно d (). 

      Пусть, например, фигура F представляет собой полукруг (рис. 3) Обозначим через А и В концы ограничивающей его полуокружности. Тогда ясно, что диаметром фи- 

      б) 

      Рис. 3. 

      Ргс. 4. 

      гуры F является длина отрезка АВ. Вообще, если фигура F представляет собой сегмент круга, ограниченный дугой и хордой а, то в случае, когда дуга / не превосходит полуокружности (рис. 4, а), диаметр фигуры F равен а (т. е. длине хорды), в случае же, когда дуга I больше 

      Рис. 5. Рис. 6. 

      полуокружности (рис. 4, б) диаметр фигуры F совпадает с диаметром всего круга. 

      Легко понять, что если F представляет собой многоугольник (рис. 5), то его диаметром является наибольшее из расстояний между вершинами. В частности, диаметр любого треугольника (рис. 6) равен его наибольшей стороне. 

      Заметим, что если диаметр фигуры F равен d, то в фигуре F может существовать и много пар точек, расстояние между которыми равно d. Например, в случае эллипса (рис. 7) такая пара точек только одна, в случае 

      квадрата (рис. 8) их две, в случае правильного треугольника (рис. 9) — три, наконец, в случае круга таких пар точек бесконечно много. 

      § 2. Постановка задачи 

      Нетрудно понять, что если круг диаметра d разрезать некоторой линией MN на две части, то хотя бы одна из этих частей будет иметь тот же диаметр d. В самом деле, если М — точка, диаметрально противоположная точке М, то она должна принадлежать какой-нибудь из частей, и эта часть (содержащая точки М, М) будет иметь диаметр d (рис. 10) ("). 

      Вместе с тем ясно, что круг можно разрезать на три части, каждая из а) б) 

      которых имеет диаметр, Рис, ю. 

      меньший d (рис. II). 

      j Итак, круг диаметра d нельзя разбить на две части, диаметр каждой из которых будет меньше d, но можно разбить на три таких части. Тем же свойством обладает •равносторонний треугольник со стороной d (если он разбит на две части, то какая-нибудь из частей должна содержать две вершины треугольника, и диаметр этой части будет равен d). Но имеются фигуры, которые можно разбить на две части меньшего диаметра (рис. 12). 

      Мы можем рассматривать для любой фигуры F задачу о разбиении ее на части меньшего диаметра (3). Наименьшее число частей, которые для этого потребуются, обозначим через a (F) Таким образом, если 

      Рис. 11. 

      F — круг или равносторонний треугольник, тоа(Т)=3, а для эллипса или параллелограмма a (F) = 2. 

      Задачу о разбиении фигуры на части меньшего диаметра можно рассматривать не только для плоских фигур, но и для тел, расположенных в пространстве (или даже 

      Рис. 12. 

      в п-мерном пространстве, если читатель знаком с этим понятием). 

      Задачу о том, какие значения может принимать а (F), поставил в 1933 г. известный польский математик К. Борсук [4]. С тех пор изучению этой задачи посвящались многочисленные научные работы. Изложению полученных здесь результатов и посвящена первая глава этой книги. 

      Мы рассмотрим сначала случай плоских фигур, затем изложим решение задачи для пространственных тел и, наконец, для подготовленного читателя дадим обзор результатов, полученных для п-мерного случая. 

      § 3. Решение задачи для плоских фигур 

      Мы уже видели, что для некоторых плоских фигур а (F) принимает значение 2, а для других — значение 3. Возникает вопрос, нельзя ли найти плоскую фигуру, для которой а (F) 3, т. е. такую фигуру, что для разбиения ее на части меньшего диаметра нельзя обойтись тремя частями, а потребуется 4 или большее число частей? Оказывается, что на самом деле трех частей всегда достаточно, т. е. имеет место следующая теорема, установленная Борсуком в 1933 г. [4]: 

      Теорема 1. Всякая плоская фигура F диаметра d может быть разбита на три части диаметра jd, т. е. а (F) еС 3. 

      Рис. 14. 

      Доказательство. Основной частью доказательства будет установление следующей леммы, которую в 1920 г. получил венгерский математик Пал [20]: всякая плоская фигура диаметра d может быть заключена в правильный шестиугольник, у которого расстояние между противоположными сторонами равно d (рис. 13).

{/spoilers}

Скачать бесплатный учебник  СССР - Теоремы и задачи комбинаторной геометрии (Болтянский, Гохберг) 1965 года

Скачать...