§ 5. Неравенство Чебышева и некоторые другие неравенства. . 107

§ 6. Условные вероятности и условные математические ожидания НО

Глава III. Последовательности случайных событий и последовательности случайных величин

§ 1. Последовательности независимых событий. Лемма Бореля- Кантелли. Закон 0 и 1 125

§ 2. Последовательности независимых случайных величин ... 129

§ 3. Понятия сходимости последовательности случайных величин 136

§ 4. Закон больших чисел 157

§ 5. Неравенство Колмогорова и некоторые неравенства, связанные с ним 165

§ 6. Ряды из независимых случайных величин 168

§ 7. Усиленный закон больших чисел 183

§ 8. Мартингалы 194

Глава IV. Простейшие процессы Маркова

§ 1. Производящие функции 199

§ 2. Схема восстановления 208

§ 3. Обобщенный процесс Пуассона 220

§ 4. Случайные блуждания 229

§ 5. Цепи Маркова 243

Глава V. Предельные теоремы теории вероятностей

§ 1. Характеристические функции 264

§ 2. Центральная предельная теорема 279

§ 3. Безгранично делимые и устойчивые распределения 289

§ 4. Винеровский процесс 297

§ 5. Функционалы от винеровского процесса 303

Решения, указания, ответы 309

II.3.29.Пусть О — начало координат, Р — случайная точка на оси Ox, a Q — точка с координатами (0, 1). Известно, что угол OQP равномерно распределен на отрезке —5-, -5- . Найти функцию распределения и плотность распределения для абсциссы точки Р.

II.3.30. Точка А равномерно распределена на окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Пусть — проекция точки А на ось Ох. Вычислить: а) функцию распределения б) плотность распределения

в) М|; г)

II.3.31. Колесо вагона единичного радиуса имеет трещину на внешнем крае. Пусть £ — высота трещины над землей после случайной остановки вагона. Найти функцию распределения £.

II.3.32. На окружности радиуса R берут наудачу две точки с равномерным распределением. Найти функцию распределения расстояния у между ними и вычислить Му.

II.3.33. Точка Р равномерно распределена на окружности радиуса R с центром в начале координат. Найти функцию распределения и плотность распределения длины у отрезка касательной, проведенной в точке Р до точки пересечения с осью Ох. Существует ли Му?

II.3.34. На отрезок оси ординат с концами (0, 0) и (0, R) брошена наудачу точка (ордината этой точки равномерно распределена в интервале (0, R)). Через эту точку проведена хорда окружности ха + у2 = R2, перпендикулярная к оси Оу. Найти функцию распределения длины этой хорды.

II.3.35. Стержень длины I наудачу разломали на две части. Найти функцию распределения длины меньшей части.

II.3.36. На отрезок [0, TJ наудачу бросили две точки. Пусть у — расстояние между ними. Найти функцию распределения у и вычислить Му, Dy, Му”.

11.3.37. Два человека договорились встретиться в промежутке времени [0, 7^. Пусть у — время, которое придется ждать одному из них до момента встречи. Найти функцию распределения у и вычислить Му.

II.3.38. На отрезке [0, Т] наудачу берут две точки с равномерным распределением. Эти точки разбивают

отрезок [О, Т] на три отрезка. Найти функцию распределения каждого из полученных трех отрезков.

II.3.39. На отрезке [О, Т] наудачу берут п точек с равномерным распределением. Эти точки разбивают [О, Т] на п +1 отрезков. Доказать, что каждый отрезок имеет одну и ту же функцию распределения. Найти эту функцию распределения.

11.3.40. Пусть некоторый прибор начинает работать в нулевой момент времени, а в случайный момент времени | выходит из строя. Допустим, что условная веро-ятность того, что прибор выйдет из строя в промежутке времени (х, х + Дх) при условии, что это не произошло до момента х, равна X Дх + о (Дх). Доказать, что при х 0 справедливо равенство

Р{В<х} = 1 —е~Ч

т. е. случайная величина | имеет показательное распределение с параметром X.

II.3.41. Пусть £ — время безотказной работы некоторого прибора, который начинает работать в нулевой момент времени. Допустим, что условная вероятность того, что прибор выйдет из строя на интервале времени (х, х -j- Дх), если он не выходил из строя до этого времени, равна 1 (х) Дх + 4-о(Дх). Доказать, что функция распределения £ имеет вид

F (х) в 1 — ехр |— J X (u) du} . о

II.3.42. Распределение Вейбулла. Доказать, что если в предыдущей задаче Х(х) = саха~1 (а 1, с 0), то функция распределения | имеет вид

F (х) = 1 — ехр {—сх?}.

II.3.43. Пусть £ — случайная величина с показательным распределением, a t 0 — фиксированное действительное число. Найти распределение | — t при условии, что ? t.

II.3.44. Пусть F(x) — функция распределения положительной случайной величины |, обладающая таким свойством:

P{£<* + x/£/} = PU<x}.

Доказать, что

F (х) = 1 — е-х* (х 0).

II.3.45. Пусть В имеет показательное распределение с параметром К. Вычислить:

а) М?; б) Щ; в) !}.

II.3.46. Длительность работы электронной лампы является случайной величиной, имеющей показательное распределение с А = 0,003. Через год лампу заменяют, даже если она и не вышла из строя. Найти математическое ожидание времени работы лампы.

П.3.47. Пусть g — случайная величина, равномерно распределенная на (0, 1). Найти функцию распределения случайной величины t] = ln-g-. Вычислить Мц.

II.3.48. Пусть В — равномерно распределенная на [0, 1] случайная величина. Найти функцию распределения случайной величины т) = —In (1—£).

II.3.49. Пусть |— случайная величина, показательно распределенная с параметром А. Найти распределение случайной величины г| = ||]. Вычислить Мг|.

II.3.50. Пусть £ имеет нормальное распределение N (0, 1). Найти распределение случайной величины г| = .

Существует ли Мг|?

II.3.51. Случайная величина | имеет нормальное распределение N (0, о2). При каком а вероятность попадания в интервал (а, Ь) будет максимальной?

II.3.52. Доказать следующие свойства функции распределения:

а) Иш х \ — dF (и) — 0;

х-+0 U

00

б) Иш х С — dF(u) = 0;

х-*+°° х и

X

в) lim х \ — dF(u)=0;

0 J и оо

X

г) Нт х $ — dF(u) = 0.