Математические бильярды - Бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики (Гальперин, Земляков) Библиотечка "КВАНТ" Выпуск №77 1990 год

Скачать Советский учебник

Математические бильярды - Бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики (Гальперин, Земляков) 1990

Назначение: Для школьников 9—10-х классов.

© «НАУКА» Главная редакция физико-математической литературы 1990 Москва

Авторство: Гальперин Г.А., Земляков А.Н.

Формат: DjVu Размер файла: 10.5 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 5

Введение 7

Часть I. БИЛЬЯРДЫ В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ 24

Глава 1. Бильярд в круге 24

  • 1. Шар в круглом бильярде без луз 24
  • 2. Теорема Якоби. Применение к теории чисел
  • 3. Теорема Пуанкаре о возвращении. Конфигурационное и фазовое пространства. Парадокс Цермело и модель Эренфестов 42

Глава 2.

Бильярд в эллипсе

  • 4. Эллипс и его бильярдные свойства. Каустики 60
  • 5*.Задача об освещении невыпуклой области § 6. Экстремальные свойства бильярдных траекторий. Принцип Ферма и теорема Биркгофа 89
📜 ОТКРЫТЬ ОПИСАНИЕ ПОЛНОСТЬЮ...

Часть II. ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА ПРЯМОУГОЛЬНОГО БИЛЬЯРДА 100

Глава 3. Геометрия прямоугольного бильярда 100

  • 7. Бильярдный шар на прямоугольном столе

без луз 100

  • 8. Тор и его обмотки 108
  • 9. Бильярд в прямоугольнике и тор 117

Глава 4. Физика прямоугольного бильярда 122

  • 10. Фигуры Лиссажу 122
  • 11. Бильярд в прямоугольнике н осциллограф 129
  • 12. Задача о пеленге 133

Часть III. ГЕОМЕТРИЯ И АРИФМЕТИКА СТОЛКНОВЕНИЙ 137

Глава 5. Одномерный «газ из двух молекул 139

  • 13. Два упруго сталкивающихся шара на отрезке 139
  • 14. Два шара на отрезке: сведение к бильярду в треугольнике 147

15. Два шара на полупрямой: сведение к бильярду в угле 153

Глава в. Одномерный «газ» из большого числа молекул 159 § 16. Три упругих шара на прямой 159

17. п упругих шаров на прямой 165

18* . Число столкновений между молекулами одномерного «газа» 178

Глава 7**. Многомерный «газ» 187

19. Конфигурационное пространство «газа» из п молекул в пространстве и сосуде 190

20. Сведение «газа» в пространстве и сосуде , к бильярду 193

21. Рост числа столкновений между молекулами «газа» 197

Часть IV. БИЛЬЯРДЫ В МНОГОУГОЛЬНИКАХ И МНОГОГРАННИКАХ 206

Глава 8. Геометрия многоугольного бильярда 207

22. Бильярды в «торических» многоугольниках 207

23. Склейка поверхностей из многоугольников 216

24. Бильярды в «рациональных» многоугольниках и поверхности 226

Глава 9. Поведение бильярдных траекторий в многоугольниках 235

25. Траектории в рациональных многоугольниках и обмотки кренделей 236

26. Может ли непериодическая траектория в выпуклом многоугольнике не быть всюду плотной в нем? 246

27. Периодические траектории в многоугольниках и многогранниках 255

Заключение 282

Список литературы 287

Скачать бесплатный учебник СССР - Математические бильярды - Бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики (Гальперин, Земляков) Библиотечка "КВАНТ" Выпуск №77 1990 года

СКАЧАТЬ DjVu

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

ПРЕДИСЛОВИЕ

В данной книге изучаются так называемые бильярдные системы. К простейшим из них относятся «бильярд в плоской области» (точечный шар, движущийся внутри круга, прямоугольника, эллипса, многоугольника и т. д.) и «одномерный бильярд» (конечное число точечных шаров, движущихся по отрезку, лучу или по всей бесконечной прямой). Общим свойством бильярдных систем является закон абсолютно упругого отражения. О геометрических, «арифметических», физических следствиях этого закона и рассказывается в книге.

Методы исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой — лежат на стыке отраслей современной математики — теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют получить далеко не элементарные выводы.

Многие из излагаемых в книге результатов являются классическими и восходят к Кориолису, Больцману, Пуанкаре, Киркгофу. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Я. Г. Синаем и его школой. Проблемы этой теории непосредственно близки к переднему краю сегодняшней математики. Поэтому книга, возможно, будет интересна не только школьникам, ио и студентам, и специалистам — математикам, механикам, физикам. В ней сформулировано немало вопросов, остающихся открытыми, и мы надеемся, что кому-нибудь из читателей книги удастся продвинуться в их исследовании. Учитывая элементарность методов (при неэлементарности результатов) и плодотворность свежего взгляда на рассматриваемые вопросы и проблемы, мы особенно рассчитываем на читателей-старшеклассников.

Многие из решаемых в книге задач разбирались на занятиях кружков в физико-математической школе-интернате при МГУ, в летнем лагере Малой академии наук Крыма «Искатель». Часть материала публиковалась в журнале «Квант» (см. список литературы в конце книги). Некоторые идеи и результаты, приводимые в книге, неоднократно обсуждались с участниками семинара МГУ по теории динамических систем и с его руководителем Я. Г. Синаем *).

*) В течение долгого времени и до последних дней своей жизни этим семинаром вместе с Я. Г. Синаем руководил также замечательный математик и популяризатор науки В. М. Алексеев (1932—1980).

Этот семинар является одним из наиболее известных мировых центров по теории динамических систем и, в частности, по теории бильярдов; часть приводимых нами результатов принадлежит его участникам. Многолетнее участие авторов в работе этого семинара в значительной мере способствовало написанию этой книги.

Читателю не следует рассчитывать на легкое чтение — через некоторые параграфы, наверное, придется буквально продираться, вооружившись карандашом и бумагой, иногда — ножницами и клеем, а может быть, микрокалькулятором или компьютером. Книгу не обязательно читать подряд — напротив, проскочив (как бильярдный шар) через параграф или главу, читатель может найти интересующий его (и доступный ему) материал — потом можно и возвратиться.

В книге много отступлений от чисто бильярдной тематики, вызванных тем, что бильярды имеют отношение к большому числу интересных и, иа наш взгляд, красивых задач, и поэтому мы надеемся, что читатель сможет разнообразить свои впечатления, узнать что-то новое и даже не совсем обычное.

Но стоит сразу предупредить любителей игры в бильярд — в нашей книге нет не только соответствующих полезных советов, но даже и правил этой древней игры. Эта книга — по математике, а любителям обычного бильярда мы можем порекомендовать публикации журнала «Наука и жизнь» (см. [1] в списке литературы) н книгу Г. Г. Кориолиса «Математическая теория явлений бильярдной игры» (М.: Гостехиздат, 1956), а также посетить возродившиеся чемпионаты страны по бильярду.

Как известно, «нестрого» не означает «неверно», равно как и «строго» не означает «уместно» или «интересно» (это высказывание принадлежит современному американскому физику Дж. Лебовницу — одному из ведущих специалистов по статистической механике). Поэтому в большинстве важных математических вопросов (при изложении методов) мы старались придерживаться полной (насколько это возможно при принятом элементарном подходе) строгости, однако в ряде вопросов более общего (физического) характера (когда касались общих принципов или идей) ограничились интуитивным уровнем описания. Это следует иметь в виду и читателю-ригористу, и читателю-«физику», привыкшему больше доверять своей интуиции.

Представление о структуре книги можно получить не только из оглавления — в конце Введения, в котором сформулирована основная часть рассматриваемых далее вопросов и проблем, коротко рассказано и о последовательности изложения.

Читатель, заинтересовавшийся дальнейшими деталями «математики бильярдов» или другими подходами к излагаемым вопросам, может обратиться к списку литературы в конце книги.

Мы благодарны Я. Г. Синаю, внимательно прочитавшему всю рукопись и сделавшему много замечаний и предложений по улучшению ее текста, а также Л. А. Бунимовичу, Я. Б. Песину, А. М. Степину и Ю. П. Соловьеву, своими замечаниями способствовавшими улучшению отдельных мест книги.

ВВЕДЕНИЕ

Читатель, конечно, имеет представление об игре в бильярд на прямоугольном столе с лузами (рис. В. 1). Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны — упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. Более поздние сведения о появлении бильярда в Европе относятся к XVI веку. Так, французский король Карл IX в Варфоломеевскую ночь *) играл в бильярд, когда раз

дался условный звон ко

локолов парижского собора Сен-Жермен Д’Акселеруа. Затем В. Шекспир в «Антонии и Клеопатре»**) заставляет египетскую царицу Клеопатру играть в бильярд со своей фрейлиной (акт II, сцена 5; см. эпиграф к части III). В 1760 г. английский король Георг II издал указ, запрещающий игру в бильярд в общественных местах под страхом штрафа в 10 фунтов. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Как правило, в бильярд

играли на прямоугольном столе с шестью лузами, из которых четыре располагались в углах стола, а две — в серединах более длинных сторон; отличались эти игры лишь количеством шаров — иногда довольствовались тремя шарами (как, например, английский король Генрих VIII), а иногда — пятнадцатью или двадцатью.

*) Варфоломеевская ночь (известная также под названием «парижская кровавая баня»)— историческое событие, происшедшее в ночь на 24 августа 1572 г., когда католики учинилн избиение гугенотов (французских протестантов).

**) Шекспир В. Полное собрание сочинений: В 8 т. Т.7.— М.: Искусство, 1960. Трагедия написана в 1616 г.

Подобно тому как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Описанию движения бильярдного шара (с учетом трения) на прямоугольном столе с лузами посвящена книга известного французского физика Г. Г. Кориолиса, написанная им в 1835 г. за год до избрания его академиком Парижской академии наук.

Известны различные варианты игры на бильярде. Например, так называемый французский бильярд вообще не имеет луз (при игре во французский бильярд нужно попасть в заданный шар после нескольких столкновений с другими шарами — см. литографию известного художника XIX века А. Оберландера на второй странице обложки). Французский бильярд и послужил прообразом математического бильярда, которому посвящена эта книга.

Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов (рис. В. 2). Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика?

Математическая проблема бильярда, или проблема траекторий, состоит в том, чтобы найти ответ на этот вопрос. Описанная механическая система — точечный шар в бильярдной области Q, ограниченной бортом Г (границей области Q),— и называется математическим бильярдом. Траектория бильярда в области Q определяется начальным положением точки q (q£Q) и начальным вектором ее скорости ч). Пренебрежение трением означает, что абсолютную величину скорости <и при движении точки мы считаем неизменной во времени, поэтому задаваемый в начальный момент времени /=0 вектор v можно считать единичным, характеризующимся лишь своим направлением. Направление вектора ©(/), т. е. направление движения шара, меняется только при его ударе о борт. Это происходит по закону абсолютно упругого отражения: после удара шара (точки q(t)) о борт Г в точке Р шар движется так, что его «угол падения равен углу отражения». Если борт Г в окрестности точки Р криволинейный, то углы падения и отражения — это углы, составленные «падающим» и «отраженным» отрезками траектории с касательной MN к кривой Г, проведенной в точке Р (рис. В. 2) *). Таким образом,

*) В физике обычно принято отсчитывать углы падения и отражения от нормали к кривой Г в точке Р. Нам удобнее отсчитывать углы от касательной.

траектория бильярда — это вписанная в кривую Г ломаная, которая может быть однозначно построена по своему начальному звену.

Борт Г бильярда может иметь и точки излома — типа точек At, As, ... на рис. В.2. Касательная к кривой Г в такой точке не определена. Поэтому бильярдную траекторию, попадающую в такую точку, мы будем считать оканчивающейся в ней. Такие «тупиковые» траектории в определенном смысле исключительны, и мы их, как правило, рассматривать не будем. Сформулированная выше проблема траекторий относится к поведению неособых, бесконечных во времени траекторий.

Общая математическая проблема бильярда заключается в том, чтобы описать возможные типы бильярдных траекторий в данной области Q. Простейший принцип такого описания — разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и остальные — непериодические. На рис. В.З изображены некоторые периодические траектории бильярдов в прямоугольнике, в правильном треугольнике, в круге.

Траектория с «начальным условием» (q, и) будет периодической (или замкнутой), если через некоторое время (через период) точка возвращается в свое начальное положение q с первоначальной скоростью у. Периодические движения воспринимаются как наиболее «правильные» — такими мы привыкли представлять, например, движения планет около Солнца и качания маятника. Рассматриваемая проблема в отношении периодических траекторий сводится, в частности, к вопросу о существовании: в любой ли области Q существуют периодические (замкнутые) траектории? Другой вопрос — о критерии периодичности: как по данным начальным условиям (q, о) узнать, будет ли соответствующая траектория периодической?

В первых двух частях книги мы найдем критерии периодичности для бильярдов в круге и в прямоугольнике. Во второй главе будет решен и вопрос о существовании периодических траекторий бильярда в произвольной выпуклой области с гладкой (без изломов) границей. А вот этот же вопрос для бильярдов в многоугольниках (даже в тупоугольных треугольниках!) до настоящего времени остается открытым. Иначе говоря, неизвестно, в любом ли многоугольнике (или тупоугольном треугольнике) существуют периодические траектории, А ведь этот вопрос, по сути, относится к элементарной геометрии. Известные нам сведения по данному поводу приведены в гл. 9.

Интерес представляют и такие вопросы: Какое число звеньев может иметь периодическая траектория? Какие периоды имеют периодические траектории в данной области (если принять минимальный период Периодической траектории, скажем, за единицу)?

Оказывается, это далеко не праздные вопросы — например, они имеют прямое отношение к исследованию специальных систем квантовой механики. Однако объяснение этого выходит далеко за рамки наших возможностей в данной книге.

Взамен рассмотрим элементарную задачу совсем из другой области, изящно решаемую с помощью бильярдов. Речь пойдет о «переливаниях», которые, казалось бы, не имеют уж ничего общего с бильярдами. Начнем с классической головоломки.

Имеются два сосуда вместимостью 7 и 11 литров и большая бочка, наполненная водой. Как с помощью этих двух сосудов отмерить ровно 2 литра воды? Всякие уловки запрещены, т. е. на сосудах нельзя делать никаких отметок, их нельзя наклонять, чтобы отмерять доли литра, и т. д.

Предложенная задача решается либо алгебраическим методом, либо методом проб и ошибок. При чем же здесь бильярдные шары?

Как ни странно, но головоломки на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов ромбического стола! Границы таких столов удобнее всего рисовать на бумаге, на которую нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников. В рассматриваемой задаче стороны стола должны иметь длины 7 и 11 единиц (рис. В.4). По 10

горизонтали отложено количество воды в 11-литровом сосуде в любой момент времени, а по вертикали — та же величина для 7-литрового сосуда.

Как же пользоваться диаграммой? Представьте себе,

что шар находится в левой нижней вершине в точке 0. Он будет перемещаться вдоль нижнего основания ромба до тех пор, пока не достигнет правой боковой стороны в точке 11. Это означает, что 11-литровый сосуд наполнен до краев, а 7- литровый пуст. Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 7 по вертикали. Это означает, что в 11-литровом сосуде осталось всего 4 литра воды, а 7 литров из него перелили в меньший сосуд.

Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения до тех пор, пока он не попадет в точку 2 верхнего борта, вы получите ответ и узнаете, в какой последовательности необходимо производить переливания, чтобы отмерить 2 литра воды. Все 18 переливаний изображены схематически на рис. В.4. Наклонные стрелки говорят о том, что вода переливается из одного сосуда в другой, а вертикальные означают, что либо вода целиком выливается из меньшего сосуда обратно в бочку, либо больший сосуд надо наполнить водой до краев.

Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в 7-литровый сосуд. На диаграмме (рис. В.4) это соответствует тому, что шар из точки 0 катится вверх вдоль левого борта до тех пор, пока не ударится в верхний борт. Нарисовав траекторию бильярдного шара, читатель убедится в том, что точка 2 достигается на этот раз за 14 отражений от борта. Полученное решение с 14 переливаниями уже является самым коротким.

Требуется немного сообразительности, чтобы применить метод бильярдного шара к любой задаче о переливании жидкости с помощью не более чем трех сосудов. Поскольку

кроме как во введении об этих задачах мы говорить больше не будем, поговорим об этом методе здесь более подробно.

Рассмотрим старую головоломку с тремя сосудами, восходящую еще к Никола Фонтана, итальянскому математику XVI века, которого друзья называли Тартальей *). Восьмилитровый сосуд до краев наполнен водой. С помощью двух пустых сосудов объемом 3 и 5 литров воду надо поровну разлить в два больших сосуда. Диаграмма для этой задачи — ромбический стол размером 3X5 — изображена

Рис, В.5

на рис. В.5. Главная диагональ ромба, поделенная наклонными прямыми на 8 частей, относится к 8-литровому сосуду.

Как и в предыдущей задаче, бильярдный шар начинает свое движение из точки 0. Нарисовать его траекторию совсем несложно. С ее помощью вы получите решение в минимальным числом переливаний, равным 7.

Если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т. е. взаимно просты), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего

сосуда

Имея, например, сосуды вместимостью 15, 16 и 31 литр, вы сумеете отмерить любое количество воды от 1 до 16 литров. Такая процедура невозможна, если объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель (подумайте сами, почему). Когда объем большего сосуда меньше суммы объемов двух других, возникают новые ограничения. Если, например, объемы сосудов равны 7, 9 и 12 литрам, то у ромбического стола надо отсечь нижний правый угол (рис. В.6). Тогда шар сможет попасть в любую точку от 1 до 9, за исключением точки 6. Несмотря на то, что 7 и 9 взаимно просты, отмерить 6 литров воды оказывается невозможным из-за того, что самый большой сосуд имеет слишком маленький объем.

*) Тарталья по-итальянски означает «заика». Он родился в 1500 г. в итальянском городе Брекчия. В 1512 г. во время взятия города французами Тарталья был ранен в нижнюю часть лица, что отразилось на его речи; товарищи прозвали его заикой.

Исследование различных возможностей, возникающих при использовании сосудов разных объемов, с помощью метода «бильярдного шара» чрезвычайно увлекательно. Однако заниматься этими вопросами мы в этой книге не будем, оставив их на рассмотрение читателя. Отметим только, что обобщение указанного метода на случай четырех сосудов сводится к движению бильярдного шара в объемной (тетраэдрической) области.

Предлагаем читателю еще одну задачу на переливания.

Задача. Имеется 10-литровое ведро, доверху заполненное водой, и два пустых бидона объемом 3 и 5 литров. Требуется часть воды (целое число литров) вылить, а оставшуюся воду разделить иа три равные части.

Рассмотрим другой тип элементарных геометрических задач, относящихся к бильярдам. В них либо требуется

найти замкнутую траекторию бильярдного шара в данном многоугольнике, либо найти путь бильярдного шара, попадающего через заданное число ударов из одной фиксированной точки внутри многоугольника в другую.

Для решения таких задач существует очень удобный и важный метод «зеркального отражения», или «выпрямления» бильярдной траектории, принадлежащий немецкому математику Г, А. Шварцу *) (о применении этого метода см. части II и IV). Метод этот является основным техническим приемом при решении бильярдных задач в многоугольных областях Q и послужит нам в дальнейшем ключом при нахождении и исследовании разнообразных бильярдных траекторий. Опишем его.

Сложное, вообще говоря, поведение бильярдной траектории в многоугольной области Q можно существенно упростить, представив его иначе. А именно, сядем на бильярдный шар О, как барон Карл Фридрих Иероним фон ЛЪонхгаузен на пушечное ядро, и вооружимся системой

  • ) Герман Амандус Шварц (1843—1921) — известный немецкий математик, специалист по математическому анализу и теории функций; имеет также крупные заслуги в областях, связанных с так на- вываемой «изопериметрической проблемой».

координат, направив ось Оу по направлению движения, а ось Ок — вправо перпендикулярно оси Оу. В этой системе координат наша бильярдная траектория изобразится осью Оу (т. е. прямой линией), а область Q будет представляться нам как последовательность копии Qf, Q3, . . . этой области, «нанизанных» на ось Оу таким образом, что соседние копии Qt и Qi+i зеркально симметричны относительно их общей стороны. В этом построении, связанном с переходом к новой системе координат, и заключается метод выпрямления бильярдной траектории.

Совокупность копий {Qj}, как бы нанизанных на «копье» Оу, образует «коридор» QQ1Q2Q3 • • • Возвращению из системы координат Мюнхгаузена в исходную, прикрепленную к фигуре Q, соответствует наложению «гармошкой» коридора QQiQsQs • • (который полезно считать прозрачным) на исходную фигуру Q; при этом ось Оу переходит в рассматривае

мую бильярдную траекторию.

Продемонстрируем метод выпрямления на следующих примерах.

А. Пусть на прямоугольном бильярдном столе находится один шар; под каким углом его следует направить из точки А, чтобы он после заданного числа отражений от бортов попал в точку В (например, в лузу)?

Для решения отразим прямоугольник (исходный бильярд) симметрично относительно всех его сторон; все полученные таким образом прямоугольники вновь отразим относительно всех их сторон, и так далее до бесконечности (на рис. В.7 показаны также образы точки В при этих симметриях). В результате всех сделанных отражений траектория шарика «распрямляется» (например, на рис. В.7 траектория ACiC2CsB последовательно переходит в AaDiDzB', AC'DtEtB", ACiDiEtB"').

Если полученная «выпрямленная траектория» проходит через образ точки В в одном из прямоугольников, то, очевидно, траектория шара в исходном прямоугольнике пройдет через В. Поэтому, для того чтобы пустить шар из точки А так, чтобы он после заданного числа отражений о стенки прямоугольного бильярда попал в точку В, нужно провести такой отрезок с началом в точке А и концом в одном из образов точки В, чтобы он пересек это же самое 14

число раз линии сетки «клетчатой плоскости». Проделав обратную процедуру «свертывания» проведенного отрезка, превратим его в искомую траекторию в исходном бильярде (рис. В.7). Общая «теория прямоугольного бильярда» изложена в части II книги.

Б. Рассмотрим бильярд в равностороннем треугольнике. Поскольку одинаковыми равносторонними треугольниками можно без щелей и перекрытий замостить всю плоскость,

и здесь применима процедура «выпрямления бильярдной траектории».

Оказывается, траектория бильярдного шара решает следующую известную задачу: найти кратчайший путь, по которому должна ползти пчела из точки А в точку В внутри равностороннего треугольника, чтобы сначала насладиться

медом на одной стороне треугольника, потом сахаром — на другой стороне, и, наконец, вареньем — на третьей. (Предполагается, что

каждая сторона полностью вымазана соответствующим сладким веществом.)

Ответ приведен на рис. В.8. Нетрудно видеть, что любой другой путь, ведущий требуемым образом от А к В, после зеркальных отражений превращается в путь из точки А в точку В'", длина которого больше длины отрезка АВ"', и поэтому не является кратчайшим.

В. Сразу же возникают два интересных вопроса, связанные с обобщением плоского бильярда на случай пространства: существуют ли замкнутые бильярдные траектории внутри куба, являющегося пространственным аналогом квадрата, и тетраэдра — пространственного аналога равностороннего треугольника?

Как и раньше, бильярдный шар считается идеальной упругой невесомой частицей, отражающейся от стенок по закону «угол падения равен углу отражения». Вместо шара можно рассматривать луч света, отражающийся от зеркальных стенок внутренней поверхности многогранника и не попадающий ни на ребра, ни в его вершины (в противном случае ответом на поставленный вопрос следовало бы считать любую из диагоналей, по которой из конца в конец двигался бы шар).

В одной из многочисленных статей о Льюисе Кэрролле *) есть упоминание о бильярде внутри куба. Это одна из тех задач, которые не могли не привлечь внимания изобретателя круглого бильярдного стола. Идея об игре в бильярд внутри кубического «стола» далеко не столь надуманна, как это может показаться на первый взгляд. Дело в том, что реальные молекулы воздуха в кубической комнате как раз и представляют собой «бильярдные шары», сталкивающиеся друг с другом и со стенками комнаты по закону упругого удара. Правда, они находятся в поле тяжести и испытывают сопротивление воздуха. Если отбросить эти ограничения, то получим настоящий бильярд с огромным числом (порядка 1023) шаров. Этому бильярду мы посвятим в нашей книге достаточно много места — практически всю часть III; с ним, кроме метода выпрямления бильярдной траектории, связано много разнообразных физических, геометрических и алгебраических идей, часть которых будет освещена ниже.

Но вернемся к движению одного шара в кубе и применим к кубу тот же метод «выпрямления траектории», что

и для квадрата. Произведя 5 отражений от граней куба, мы получим искомую замкнутую траекторию, изображенную на рис. В.9 жирной штриховой линией со стрелкой и представляющую собой одну из четырех возможных тра

*) Льюис Кэрролл (псевдоним Чарлза Доджсона) (1832—1898), автор знаменитых книг про Алису, математик по профессии, преподаватель Оксфордского университета (Англия), увлекался и бильярдом. Он придумал круглый бильярдный стол и сочинил правила игры на этом столе (1890). О некоторых изобретениях Кэрролла рассказывает Мартин Гарднер в своих популярных книгах «Математические досуги», «Математические головоломки и развлечения», «Математические новеллы» и др.

екторий, каждая из которых является решением задачи. Если «свернуть» кубы, проделав обратные отражения, получим замкнутую бильярдную траекторию из 6 звеньев равной длины в исходном кубе. Представив себе куб размером 1X1X1, состоящим из 27 маленьких кубиков с ребром Vs каждый, несложно понять, что каждое звено этой траектории является диагональю такого кубика (рис. В. 10), так что его длина равна И 3/3 == 1/ИЗ, а длина всей траектории составляет 6/ИЗ = 2КЗ.

Эта траектория известна химикам-органикам как «шестиугольник в форме кресла». Она часто встречается в углеродных соединениях, например в циклогексане, где шесть углеродных атомов соединены одновалентными связями в кольцо, а атомы водорода располагаются вне этого кольца. Интересно отметить также, что если эту бильярдную траекторию спроектировать на любую грань куба, то в проекции получится прямоугольник размером 1/sXa/s, а если ее спроектировать на три плоскости, параллельные трем диагоналям, то получаются ромбы; еще в одной проекции (какой?) получается правильный шестиугольник.

Обращаясь теперь ко второму вопросу — о замкнутой бильярдной траектории в тетраэдре,— поступим точно

Рис. В. 11

так же, как и в случае куба: отразив тетраэдр симметрично относительно трех его граней (рис. В.11), мы получим замкнутую траекторию из четырех звеньев, которая по одному разу касается каждой грани. Существенно сложнее решается задача о замкнутой бильярдной траектории, которая имеет все звенья равной длины. Одна такая траектория изображена на рис. В. 11 штриховой линией, а всего их существует три, причем совершенно одинаковой формы.

Каждая из них имеет точки излома на гранях тетраэдра в одной из вершин маленького равностороннего треугольника, расположенного в центре грани. Стороны этого маленького треугольника равны' 1/10 ребра исходного тетраэдра, а каждое звено траектории имеет длину 1/И10» » 0,3162777..., так что весь путь бильярдного шара внутри тетраэдра составляет в этом случае 4-1/И10» 1,2649... .

Метод зеркальных отражений, который мы продемонстрировали на примерах А — В, дает возможность не только строить разнообразные периодические бильярдные траектории в «хороших» многоугольниках (или многогранниках), но и отыскать критерий периодичности траекторий в таких областях, как прямоугольник или правильный треугольник. Скажем, для бильярда в квадрате неособая траектория, направленная под углом а к стороне квадрата, окажется периодической в том и только в том случае, когда число &=tg а является рациональным, т. е. представимо в виде обыкновенной дроби mtn (т — целое, п — натуральное). А как же будут себя вести траектории, для которых число &=tga иррационально! Например, если tga = /2?

Примитивный ответ: эти траектории будут непериодическими,— говорит нам только о том, что движение будет каким-то «неправильным». Но «насколько неправильным»? Это очень интересный вопрос, но лишь в том случае, если на него дается содержательный ответ! А таких ответов может быть и несколько.

Во-первых, непериодическое движение может оказаться «почти периодическим», или кеазипериодическим, как принято говорить в классической механике. Грубо говоря, квазипериодичность движения означает, что хотя его траектория и не замкнута, но через некоторое время (через квазипериод) она идет близко к предыдущему отрезку траектории. Характерные квазипериодические траектории бильярдов в квадрате и круге показаны на рис. В. 12.

Вопрос: обязана ли непериодическая траектория быть квазипериодической? Оказывается, для бильярда в круге, в прямоугольнике, в правильном треугольнике и во многих других многоугольниках действительно обязана. А вот в эллипсе существуют траектории, которые непериодичны и не квазипериодичны, но их, по сути, немного! (См. ниже § 4.) И опять-таки, в общем случае (для областей произвольного вида и даже для многоугольников) ответ на поставленный вопрос неизвестен.

Далее, если внимательно рассмотреть квазипериодиче- ские траектории на рис. В. 12, становится понятным, что они «стараются» все более плотно заполнить целую область: их близкие отрезки все сдвигаются и сдвигаются, так что траектория на рис. В. 12, а заполняет «территорию» квадрата, а на рис. В. 12, б—круговое кольцо. На сериях рис. В. 13, а, б (полученных с помощью компьютера) показан процесс постепенного распределения траекторий по своим областям.

Возникает следующий вопрос: не будут ли эти траектории всюду плотными — в квадрате, в кольце? Иначе говоря, оставит ли такая траектория хотя бы какое-нибудь «пустое местечко» в области — например, кружок (хотя бы очень маленький), который она никогда не пересечет? Оказывается, в данных случаях не оставит! Указанные непериодические траектории всюду плотно заполнят соответствующую область: какой бы (сколь угодно малый) кружок мы ни взяли (в квадрате или в кольце), рано или поздно траектория пересечет этот кружок. Если считать, что бильярдный шар «чернильный» и оставляет после себя след, то он со временем обязательно закрасит всю область (квадрат или кольцо) целиком, каким бы тонким не был чернильный след (но имеющим все-таки ненулевую толщину).

Ясно, что периодическая траектория свойством всюду плотности обладать не может — она может заполнить область «очень плотно», но не всюду плотно. Обязана ли произвольная непериодическая -траектория в области Q быть всюду плотной во всей этой области? Это будет верно (что мы дальше докажем с помощью вполне элементарных рас- суждений) для бильярда в прямоугольнике, в правильном треугольнике и некоторых других областях. Это не так для бильярда в круге и эллипсе и даже в некоторых многоуголь-

никах, что тоже будет нами показано (см. § 26). Наконец, для многоугольников (и просто для треугольников) общего вида вопрос остается открытым. Неизвестен пока ответ даже на более простой (казалось бы!) вопрос: в любом ли

Рис,

В. 13

многоугольнике Q существует всюду плотная (в Q) траек- тория?

(Устройство всюду плотных множеств даже на числовой прямой R может быть довольно сложным. Простейшие примеры таких множеств — множество всех рациональных 20

чисел Q, или всех конечных десятичных дробей Qlo, или множество всех иррациональных чисел Q. Их всюду плотность почти очевидна: если взять на числовой прямой любой интервал А сколь угодно малой длины е0, то иа нем найдутся числа всех трех указанных типов. Действительно, если взять число d положительное, но меньшее е/2, то хотя бы одна из точек ±d, ±2d, ±3d, . . . попадет в интервал А. Осталось выбрать число d в ваде соответствующей дроби: 1/N, либо 10, либо К 2/N, где N — натуральное.)

Дальнейшим усилением свойства всюду плотности бильярдных траекторий является свойство их равномерной распределенности в соответствующей области и более общее свойство эргодичности, играющее важную роль в математике, механике, в статистической физике. Объясним, в чем заключается общее свойство эргодичности бильярда в области Q.

Если бильярдная траектория всюду плотна в области Q, т. е. бильярдный шар рано или поздно обязательно попадает в любую заданную фигуру Ф, лежащую в Q, то можно заняться вопросом: какую долю времени шар проводит в фигуре Ф? Имеется в виду, что сначала мы вычисляем долю времени за фиксированный промежуток Т (т. е. вычисляем отношение Л(7')=//7’, где t — время, в течение которого за промежуток Т шарик побывал в области Ф), а затем устремляем Т к бесконечности и берем предел У--= lim 1(7).

т— «

Если окажется, что указанная доля времени, которую проводит шарик в фигуре Ф, пропорциональна площади фигуры Ф (или, что то же самое, пропорциональна отношению площади фигуры Ф к площади области Q), и это верно для «типичной» траектории, то говорят, что данная бильярдная система эргодична *). Отношение t!T (вернее, его предел при Т - со) называется «временным средним», а отношение площади фигуры Ф к площади области Q — «пространственным средним». Поэтому эргодичность системы формулируется еще и как возможность заменять вре-

*) Строго говоря, эргодичность означает, что почти каждая фазовая кривая проводит в измеримой области фазового пространства (см. § 3) время, пропорциональное объему этой области. Свойство, о котором говорится в тексте, можно называть ^слабой эргодичностью». Термин «типичная траектория» здесь не обсуждается, его следует понимать в интуитивном смысле. (Для сравнения: «типичные» числа на отрезке [0, 1] иррациональные, а рациональные числа —«исключительные»,)

менные средние пространственными средними. Траектория в эргодической системе заполняет область всюду плотно и равномерно, т. е. «размазана» по области с равной «плотностью». Свойство эргодичности сильнее свойства всюду плотности, поскольку подразумевает его выполнение; таким образом, из эргодичности системы следует всюду плотность типичной траектории, но не наоборот, хотя очень часто оказывается, что если какая-то траектория всюду плотна, то и вся система эргодична.

Изучению эргодических свойств динамических систем посвящен целый раздел современной математики — так называемая эргодическая теория, изучающая «хаотические» свойства динамических систем, в которую теория бильярдов входит в качестве подраздела. Предмет настоящей книги также относится к этой теории.

Структура книги. Изложение материала в книге ведется последовательными переходами от простых бильярдных систем к более сложным. Трудные места в книге (иногда это касается целых параграфов и глав) отмечены одной или двумя (это зависит от сложности) звездочками; при желании их можно пропустить.

В части I книги изучаются выпуклые бильярды, границы которых не содержат прямолинейных участков: круглый, эллиптический и произвольный бильярд с криволинейной границей. Наряду с их исследованием демонстрируются общие математические методы, позволяющие применять бильярд в этих областях к решению некоторых теоретико-числовых, геометрических и физических задач.

В части II проведено полное исследование бильярда в прямоугольнике, сводящееся к исследованию траекторий равномерно движущейся по тору (поверхности бублика) точки, и показана связь между бильярдными траекториями в прямоугольнике и фигурами Лиссажу на осциллографе

Исследованию «газа шаров» — упруго сталкивающихся твердых шаров в пространстве и сосуде — посвящена часть III. Интересными здесь являются геометрические методы решения задач о росте числа столкновений молекул, расположенных на прямой, плоскости, в пространстве и в ограниченных областях («сосудах»), сводящие рассмотрение системы шаров к бильярдам специального вида.

Следующая часть книги — часть IV — рассказывает о бильярдах в многоугольниках с произвольным числом сторон. Оказывается, что, как и в случае прямоугольника, бильярды в многоугольниках специального вида (в «рациональных» многоугольниках, все углы которых соизме- 22

римы с л) сводятся к изучению непрерывных траекторий на замкнутых ограниченных поверхностях — так называемых «кренделях» или «сферах с ручками» (см. рисунок на третьей странице обложки). Отдельно изучаются некоторые классы периодических траекторий в тупоугольных треугольниках.

Наконец, в заключении читатель сможет «с высоты птичьего полета» обозрегь целые классы бильярдов, кото рые в зависимости от области, в которой движется бильярдный шар, носят названия рассеивающих (бильярдов Синая), фокусирующих и осциллирующих. В каждом классе бильярдов наблюдается свой тип поведения траекторий, но все эти бильярды являются моделями реальных физических систем, в которых движение неотличимо от случайного, т. е. является хотя и однозначно определенным (детерминированным), но крайне нерегулярным и непредсказуемым. Модели, демонстрирующие подобное поведение, обнаружены практически во всех разделах физики и число их непрерывно растет. Изложение этого материала книги ведется на обзорном уровне.

ЧАСТЬ I

БИЛЬЯРДЫ В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Глава 1

БИЛЬЯРД В КРУГЕ

Простейшая ограниченная выпуклая область с криволинейной границей на плоскости — круг. С исследования траекторий шара в круглом бильярде мы и начнем наш рассказ о бильярдах в выпуклых областях с криволинейной границей.

Во введении ставилась общая проблема бильярда в произвольной области Q. Естественно ожидать, что для простейшей области Q — круга — точных ответов на поставленные во введении вопросы должно быть больше, чем для более сложных областей, а сами ответы должны быть более простыми и окончательными, чем в других случаях. Иными словами, естественно ожидать, что проблема бильярда в круге поддается полному исследованию. Так оно и оказывается. Более того, приводимые в этой главе рассуждения и теоремы являются фундаментом для всех последующих рассуждений и результатов.

  • 1. Шар в круглом бильярде без луз

Рассмотрим шар в круге Q, ограниченном окружностью Г. Его траекториями являются вписанные в Г ломаные PnPiP2PsPs . . ., обладающие свойством равенства в точках Pi, Pt, Ря, . . . углов падения и отражения, отсчитываемых от касательных или от радиусов ОРг, ОРг, . . . (рис. 1.1, а). Отметим, что из этого свойства следует, во-первых, что все звенья траектории равны между собой:

Математика - Для учащихся старших классов, Математика - 9 класс, Математика - 10 класс 11 класс, Популярная математика, Автор - Гальперин Г.А., Автор - Земляков А.Н., Библиотечка «КВАНТ»

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ И КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ И КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ ВС

Яндекс.Метрика