Скачать Советский учебник

Назначение: Пособие для учителей

Авторство: Валерий Александрович Гусев, Юрий Михайлович Колягин, Геннадий Лаврович Луканкин

Формат: DjVu, Размер файла: 0.9 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Введение  3

§ 1. Векторы  6

1.1. О трактовке понятия вектора  —

§ 2. Операции над векторами   11

2.1. Композиция параллельных переносов  —

2.2. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число . 12

2.3. Коллинеарные векторы  15

2.4. Компланарные векторы  19

2.5. Свойства операций над векторами  21

2.6. Скалярное произведение двух векторов и его свойства .... 22

2.7. Операции над векторами, заданными своими прямоугольными

координатами   23

§ 3. Приложение векторов к доказательству теорем и решению задач . 25

3.1. Применение векторов при доказательстве теорем  —

3.2. Применение векторов при решении задач  28

О построении школьного курса геометрии  46

Скачать бесплатный учебник  СССР - Векторы в школьном курсе геометрии  (Гусев, Колягин, Луканкин) 1976 года

СКАЧАТЬ DjVu

{spoiler=ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...}

 ВВЕДЕНИЕ

Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение — тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а также в технике. Работы К. Весселя, Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установили связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими операциями над векторами в двумерном пространстве — в плоскости.

В середине прошлого столетия в работах В. Гамильтона, Ф. Мебиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, теория поля, тензорный анализ, общая теория многомерного векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

В математике в настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрии. До введения в школе новых программ по математике с понятием вектора учащиеся впервые встречались в курсе физики (скорость, сила, ускорение, напряженность магнитного поля и т. п.). Лишь при изучении тригонометрических функций в традиционном курсе школьной математики использовалось понятие вектора. Поэтому у учащихся обычно складывалось неправильное представление о том, что вектор — понятие физическое. Между тем вектор — чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач этих наук.

Одним из ведущих понятий современной математики является понятие векторного пространства. Оно имеет широкие приложения в математике, в таких ее разделах, как «Линейная алгебра», «Линейное программирование», «функциональный анализ» и т. д., а также во многих разделах физики. В рамках теории трехмерного векторного пространства может быть построен

з

курс стереометрии, отличающийся от традиционного курса евклидовой геометрии большим изяществом и компактностью (хотя и менее наглядный, и менее доступный для первоначального изучения). Если считать известным определение коммутативной группы, то векторное пространство можно определить следующим образом*.

Множество V называется действительным векторным пространством, если:

1. V является коммутативной группой относительно операции, называемой «сложением».

2. Определена операция, называемая «умножением» элементов множества V на действительное число, так что если а — произвольный элемент V, а а — произвольное действительное число, то а • а £ V и, кроме того, выполняются следующие свойства для произвольных действительных чисел а, Р и произвольных элементов а, Ь из V:

1) (а • Р) • а — а • (Р • а) — смешанная ассоциативность;

2) (а + Р)-а = а- а + р- а — дистрибутивность относительно сложения чисел;

3) а-(а + Ь) = а- а+ а- Ь — дистрибутивность относительно сложения элементов из V",

4) 1 • а = а.

Элементы векторного пространства называются векторами.

Так как элементы множества V могут быть элементами самой разнообразной природы, то примеры векторных пространств весьма многочисленны. В частности, векторными пространствами (с обычными операциями сложения «векторов» и умножения «вектора» на действительное число) являются:

а) множество многочленов степени не выше п с действительными коэффициентами;

б) множество всех векторов плоскости, для которых начало изображающих их направленных отрезков находится в начале координат;

в) множество аффинных отображений плоскости на себя;

г) множество действительных чисел и т. д.

Упорядоченный набор п действительных чисел аъ а2, .... ап

называется л-мерным вектором (числа alt а2, ..., а„ называются координатами вектора, а число л — его размерностью). Определим сложение двух векторов А = {а1( а2, ..., а„) и В = {Ьь Ьг, ..., &„} следующим образом: А + В = + Ьъ at + Ъг, .... ап -f Ьп},

а умножение на число а так: а • А = {а • аи а • аг, ..., а • а„}, тогда множество n-мерных векторов образует n-мерное векторное пространство.

* Более подробные сведения о векторном пространстве читатель может найти в книге: Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л. Основные понятия современного школьного курса математики (под ред. А. И. Маркушевича). М., «Просвещение», 1974, с. 132.

Читатель без труда обнаружит, что множество всех параллельных переносов плоскости образует двумерное векторное пространство, а векторы пространства можно рассматривать как элементы трехмерного векторного пространства.

В данной брошюре мы рассмотрим несколько подходов к трактовке понятия вектора, включая и трактовку вектора как параллельного переноса на множестве точек плоскости или пространства. Так как последняя трактовка характерна для современного школьного курса геометрии, мы, естественно, возьмем ее за основу в последующем изложении.

§ 1. ВЕКТОРЫ

1.1. О трактовке понятия вектора

В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Действительно, понятие вектора тесно связано с принятой сейчас теоретико-множественной трактовкой основных понятий школьного курса математики. Например, с таким важнейшим понятием школьного курса геометрии, как понятие перемещения. Кроме того, понятие вектора находит достаточно широкие приложения при рассмотрении различных вопросов школьных курсов математики и физики.

Уже на уроках физики в VIII классе изложение материала ведется с широким привлечением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься прежде всего над тем, как наиболее естественно ввести в курс математики восьмилетней школы понятие вектора, как эффективнее применять это понятие при изложении теории и решении задач, как рассматривать основные действия над векторами.

Известно, что существует несколько подходов к введению этого понятия.

В физике при помощи вектора изображаются различные направленные величины: сила, скорость, ускорение и т. п., в силу чего вектор обычно определялся здесь как направленный отрезок. При этом часто такая направленная величина оказывалась существенно связанной с определенной точкой (точкой ее приложения) или прямой.

В математике же обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой).

В традиционных математических курсах вектор также определялся как направленный отрезок. При этом два вектора считались равными, если они имели одну и ту же длину и направление. Однако такое определение равенства векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляются два хотя и родственные, но различные понятия: равенство и эквивалентность. Между тем равенство математических объектов трактуется сейчас как их совпадение,

а эквивалентность — как любое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Это различие четко реализовано сейчас в школьном курсе математики (например, в понятиях равенства и конгруэнтности фигур).

Далее, равные сонаправленные отрезки принимались за представителей одного так называемого свободного вектора, который, таким образом, трактовался как бесконечное множество равных, одинаково направленных отрезков. Каждая точка плоскости при этой трактовке представляет собой начало некоторого отрезка из семейства отрезков на плоскости. Эти отрезки затем разбиваются на подмножества, в каждое из которых попадают лишь те, которые одинаково направлены и равны по длине. Тем самым осуществляется идея разбиения всех направленных отрезков плоскости на классы эквивалентности, при этом каждый направленный отрезок является «полномочным представителем» своего класса. Направленные отрезки одного класса рассматриваются как представители одного и того же свободного вектора.

Наконец, понятие вектора может быть принято за основное неопределяемое понятие (см. ЭЭМ. М., «Наука», 1966, т. V, с. 349).

Анализируя понятие вектора, нетрудно обнаружить, что с геометрической точки зрения вектор — это объект, характеризуемый направлением (т. е. некоторым множеством сонаправленных лучей) и длиной. Однако, как известно, теми же самыми признаками характеризуется и параллельный перенос (см.: Колмогоров А. Н. и др. Геометрия, VI класс. М., «Просвещение», 1973, с. 80). Поэтому представляется наиболее естественным всякий параллельный перенос назвать вектором (см. «Геометрия», VII класс. М., «Просвещение»,

1975, с. 59).

Такой подход к введению понятия вектора не только логически безупречен, но и обладает целым рядом достоинств методического характера. Согласно прежнему определению вектора два направленных отрезка, изображенных на рисунке 1, считались равными векторами. Однако мы не можем в этом случае говорить о равенстве этих отрезков, так как речь идет о разных множествах точек. Не устроил бы нас и термин «конгруэнтность», так как в этом случае оказались бы конгруэнтными не только те два отрезка, которые нам нужны, но и, например, отрезки, изображенные на рисунке 2. Таким образом, возникают трудности: разные множества (с теоретико-множественной точки зрения) представляют один и тот же вектор.

Рис. 3

Новое определение вектора не связано с понятием направленного отрезка. Под вектором понимают либо множество упорядоченных пар точек, задающих некоторый параллельный перенос, либо сам этот перенос. В школьном курсе геометрии параллельным переносом (вектором) называется отображение плоскости на себя, при котором все точки плоскости отображаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такой подход к определению вектора как параллельного переноса позволяет устранить противоречия с теоретико-множественной точкой зрения на понятие равенства, которое возникало при традиционном определении вектора как направленного отрезка. Известно, что параллельный перенос задается парой точек*. Рассмотрим множество всех пар точек плоскости. Для элементов рассматриваемого множества введем следующее отношение: пары (А, В) и (С, D) будем называть эквивалентными и обозначать (А, В) ~ (С, D), если [ЛВ) ff [CD) и |ЛВ| = \CD\ (рис. 3). Эго те пары точек, которые задают один и тот же параллельный перенос. Эквивалентными между собой будем считать и пары, у которых первая точка совпадает со второй. Легко проверить, что такое отношение есть отношение эквивалентности, так как обладает следующими свойствами:

1) рефлексивности: (Л, В) ~ (Л, В);

2) симметричности: если (Л, В) ~ (С, D), то (С, D) ~ (Л, В);

3) транзитивности: если (А, В) ~ (С, D) и (С, D) ~ (К, М), то (Л, В) ~ (К, М).

С помощью рассмотренного отношения эквивалентности производится разбиение множества пар точек плоскости на непересекающиеся подмножества (классы), элементами которых являются эквивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором. Следовательно, один и тот же параллельный перенос Т (вектор) можно задать при помощи бесконечного множества эквивалентных между собой пар точек (А, В) ~ (Л1( Вг) ~ (Л2, В2) ... (рис. 4), т. е. Т = Т№ - 7„А - ги = ... .

Поэтому естественно говорить, что направленные отрезки АВ, АгВиА2В2,... «изображают» один и тот же

 

вектора = АВ = АгВг = А2В2 ... .

Так как всякий класс (подмножество) эквивалентных пар определяется любым его представителем—любой его парой, тотем

* В школьных учебниках различают термины «две точки» и «пара точек»; в случае пары точек одна — первая, а другая — вторая. Мы не пользуемся словами «упорядоченная пара».

самым всякая пара точек плоскости задает (определяет) некоторый вектор на плоскости. При этом эквивалентные пары определяют один и тот же вектор, а неэквивалентные пары — различные векторы. Если вектор задается парой (Л, В) (А Ф В), то его обозначают А В. Направление, определяемое лучом АВ, называют направлением вектора АВ, а расстояние \АВ\ — его длиной. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Пусть теперь вектор задается парой (В, В), т. е. парой, у которой

первая точка совпадает со второй; такой вектор ВВ называется нулевым вектором и обозначается ВВ = 0. Длина нулевого вектора равна нулю, т. е. |ВВ| = |0| = 0, а направление его не определено. Итак, любой вектор а плоскости полностью определяется за-

—►

данием одной пары точек Л и В, где В = а (Л). Заметим, что направленный отрезок АВ выступает при такой трактовке вектора

лишь как удобное наглядное изображение вектора. Любой вектор —♦* —

а Ф 0 имеет бесконечное множество изображений в виде направленных отрезков.

Итак, мы рассмотрели возможность введения понятия вектора как множества пар точек, задающих один и тот же параллельный перенос, т. е. множество всех пар (X, Y), для которых T(X)=Yy есть вектор. Это множество пар (X, Y) иногда называют графиком параллельного переноса.

В современной трактовке принято отождествлять график с самим отображением. Все сказанное и привело к отождествлению в школьном курсе математики параллельного переноса и вектора как синонимов, обозначающих одно и то же понятие.

Понятие вектора, трактуемого как параллельный перенос, включается в систему тех понятий, с которыми учащиеся знакомятся в курсе геометрии VI класса, а затем получает дальнейшее развитие в курсе геометрии старших классов. Так, в учебном пособии по геометрии для IX класса под редакцией 3. А. Скопеца параллельным переносом, определяемым парой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка М отображается на такую точку Мъ что луч ММХ сонаправлен с лучом АВ и расстояние \ММХ\ равно расстоянию \АВ\. Таким образом, вектор определяется как множество пар точек, задающих один и тот же перенос (т. е. также по существу понятия вектора и параллельного переноса отождествляются). В пробном учебнике по геометрии для IX класса К. С. Барыбина (второе издание) понятие вектора трактуется аналогично, говорится: «пары точек, задающих один и тот же перенос, изображают один и тот же вектор».

Такая трактовка вектора значительно упрощает логическую схему изложения курса геометрии. Так, например, операция сложения векторов трактуется при этом как композиция параллельных

2 Заказ 355

9

О ПОСТРОЕНИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ

В объяснительной записке к утвержденным Министерством просвещения СССР программам по математике для средней школы подчеркнута возможность различных вариантов построения курса стереометрии в IX—X классах. Приведем этот текст полностью (см. «Математика в школе», 1968, №2, с. 16).

«Программа не предрешает, будет ли изложение начал стереометрии начинаться с перечисления пространственных аксиом соединения, или же, опираясь на наглядные соображения, будут сформулированы свойства операций над векторами, которые и лягут в основу дальнейшего дедуктивного построения курса в качестве аксиом.

На первом пути кажется неизбежным по-прежнему опираться при изложении стереометрии на всю совокупность ранее установленных фактов планиметрии, не смущаясь тем, что курс планиметрии восьмилетней школы либо совсем лишен аксиоматической базы, либо может быть построен на основе избыточной трудно обозримой системы аксиом.

Второй путь позволяет предложить вниманию учащихся обозримую полную аксиоматику геометрии. Но для нашей школы он является совсем новым».

Возможны три пути построения курса стереометрии. Построение курса геометрии с самого начала может базироваться на понятии вектора. Возможно также изложение, в котором понятие вектора появляется примерно в середине курса (перед разделами, связанными с перпендикулярностью в пространстве). Наконец, возможно и такое построение курса, при котором основной теоретический материал излагается традиционными методами, а векторы появляются лишь в конце курса как мощное средство решения задач.

Первый вариант предполагает наличие у учащихся, пришедших из восьмилетней школы, четких пространственных представлений. Предполагается, что они знают (чисто наглядно, без какого бы то ни было строгого обоснования), что такое параллельные прямые и плоскости, и т. д. В противном случае может возникнуть опасность отрыва (в сознании учащихся) абстрактного векторного построения стереометрии от реальных (зрительных и

осязательных) представлений. Весьма существенно здесь также предварительное знакомство учащихся с понятием вектора и со свойствами векторов, так как в противном случае аксиомы геометрии окажутся трудными в силу своей непривычности. Несмотря на кажущуюся трудность такого пути (в основном из-за новизны), есть основания полагать, что в будущем он станет основным — в первую очередь в силу его близости современным воззрениям.

Напротив, третий путь построения стереометрии не обеспечивает навык учащихся в пользовании векторным аппаратом при решении задач.

Второй компромиссный путь является более приемлемым. Векторы появляются достаточно рано, причем они используются не только при решении задач, но и как средство доказательства теорем о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

Путь построения геометрии, идущий от Евклида и закрепленный Д. Гильбертом в его аксиоматике геометрии (1899), заключается в следующем. Основными, неопределяемыми понятиями геометрии служат понятия точки, прямой, плоскости. Основными, неопределяемыми отношениями между ними являются: отношения принадлежности (например, точка лежит на прямой, плоскость проходит через прямую и т. д.); понятие «между», отношение, связывающее тройки точек одной прямой и позволяющее определить отрезок, луч, угол и т. д.; отношение конгруэнтности, связывающее два отрезка или два угла. Формулируются 18 аксиом, связывающих между собой основные понятия и отношения (и дающие косвенное определение этих основных понятий и отношений).

Все остальные понятия геометрии уже точно определяются; предложения геометрии строго доказываются (т. е. выводятся из аксиом в соответствии с правилами логики).

Заметим, что такой путь построения геометрии в современной трактовке реализован в действующих учебниках геометрии.

Путь построения евклидовой геометрии по Гильберту является самым известным, но отнюдь не единственно возможным. В частности, можно осуществлять построение геометрии, исходя из других первоначальных (неопределяемых) понятий и отношений, разумеется, пользуясь в этом случае другой системой аксиом. Так, можно отбросить равенство (конгруэнтность) из списка первоначальных отношений, введя вместо него движение и определив конгруэнтные отрезки или углы, как такие, которые переводятся один в другой с помощью некоторого движения. Такой путь построения геометрии имеет свои преимущества. В наиболее совершенном виде он был разработан Ф. Шуром (1912 г.), аксиоматика которого по своей стройности вполне может соперничать с гильбертовской.

Совершенно иной путь построения геометрии был предложен в 1917 г. известным немецким математиком Германом Вейлем (учеником Давида Гильберта). Заметим, что советский математик П. К. Рашевский несколько упростил эту систему аксиом.

 

{/spoilers}