Скачать Советский учебник

Назначение: В книге изложены ключевые методы решения задач по математике, демонстрирующиеся на примере задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в МГУ в последние годы. Большое внимание уделено объяснению логики решений, подробному анализу типичных ошибок абитуриентов, особенностям конкурсных задач на различных факультетах. Освещены следующие темы: решение алгебраических уравнений и неравенств, тригонометрические уравнения и неравенства, текстовые задачи, логарифмические и показательные уравнения и неравенства, задачи с параметрами, свойства функций и графики и др. Приводится большое количество задач для самостоятельного решения.Для учащихся средних школ и абитуриентов, готовящихся к вступительным экзаменам по математике в вузы, может быть использована учителями средних школ.

Авторство: Мельников И. И., Сергеев И. Н.

Формат: DjVu, Размер файла: 4.15 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Введение   5

Глава 1. Числа и выражения  7

§ 1.А. Об арифметических ошибках  7

§ 1.Б. Числовые оценки 11

§ 1.В. Условия, при которых выражение имеет смысл .... 16

§ 1.Г. Разложение на множители 22

§ 1.Д. Некоторые эффективные преобразования 28

§ 1.Е. Модули 32

Глава 2. Уравнения . 37

§ 2.А. Решить уравнение 37

§ 2.Б. Корни и допустимые значения 38

§ 2.В. Логика обоснования ответа 41

{spoiler=ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...}

 

§ 2.Г. Расщепление уравнений 45

§ 2.Д. Безопасные с виду преобразования 49

§ 2.Е. Опасные преобразования 52

§ 2.Ж. Перебор случаев 57

§ 2.3. Возведение в квадрат 61

§ 2.И. Замена неизвестной 66

Глава 3. Неравенства 72

§ З.А. Особенности работы с неравенствами 72

§ З.Б. Расщепление неравенств 75

§ З.В. Метод интервалов 79

§ З.Г. Преобразования неравенств 84

§ З.Д. Неравенства с радикалами 89

Глава 4. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства . 94

§ 4.А. Логарифмирование и потенцирование 94

§ 4.Б. Различные упрощения 101

§ 4.В. Способы расщепления 106

§ 4.Г. Переход к новому основанию 113

Глава 5. Тригонометрические уравнения и неравенства 121

§ 5.А. Тригонометрический круг 121

§ 5.Б. Неприятности в ответе 128

§ 5.В. Как ориентироваться в формулах тригонометрии . . . . 132

§ 5.Г. Формулы, которые не обязательно запоминать 139

§ 5.Д. Расщепление и свертывание 144

§ 5.Е. Вспомогательный угол 151

§ 5.Ж. Отбор корней 155

§ 5.3. Тригонометрические неравенства 161

Глава 6. Системы 167

§ 6.А. Система цак единое целое 167

§ 6.Б. Равносильность систем 171

§ 6.В. Расщепление системы 176

§ 6.Г. Подстановка 180

§ бД. Метод проверки 183

Глава 7. Текстовые задачи 190

§ 7.А. Математическая постановка задачи 190

§ 7.Б. Работа с неизвестными 194

§ 7.В. Основные закономерности 201

§ 7.Г. Использование неравенств 203

§ 7.Д. Специфика целых чисел 214

§ 7.Е. Непривычная логика 220

Глава 8. Функции 228

§ 8.А. Понятие функции 228

§ 8.Б. Свойства функций   233

§ 8.В. Наибольшее и наименьшее значения 230

§ 8.Г. Применение графических иллюстраций 245

§ 8.Д. Квадратный трехчлен 256

Глава 9. Производные 266

§ 9.А. Вопросы дифференцируемости 266

§ 9.Б. Исследование функций 272

§ 9.В. Касательная к графику 279

Глава 10. Варианты письменных вступительных экзаменов по математике ш МГУ 1986 и 1987 годов 285

§ 10.А. Механико-математический факультет 285

§ 10.Б. Факультет вычислительной математики и кибернетики . . 286

§ 10.В. Физический факультет 288

§ 10.Г. Химический факультет 280

§ Ю.Д. Биологический факультет 291

§ 10.Е. Факультет почвоведения 292

§ 10.Ж. Геологический факультет 293

§ 10.3. Географический факультет 295

§ 10.И. Философский факультет (отделение прикладной социологии) 296

5 Ю.К. Экономический факультет (отделение политической экономии) 297

§ 10.Л. Экономический факультет (отделение экономической кибернетики и планирования народного хозяйства) 298

$ 10.М. Филологический факультет (отделение структурной и прикладной лингвистики)   300

§ 10.Н. Факультет психологии 301

{/spoilers}

Скачать бесплатный учебник  СССР - Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах МГУ (Мельников, Сергеев) 1990 года

СКАЧАТЬ DjVu

{spoiler=ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...}

 Беря в руки эту книгу с ее многообещающим названием, читатель, вероятно, подумает, что перед ним — собрание рецептов для решения задач, предлагаемых обычно на вступительных экзаменах в вузы. Отчасти так оно и есть. Но именно отчасти, потому что претендовать на полноту охвата всех существующих рецептов настоящая книга никоим образом не может. Да и не в этом состоит ее основная цель.

С одной стороны, в книге делается попытка выделить, так сказать, ключевые подходы к решению задач, правильное применение которых, по мнению авторов, исключает ошибки. С другой стороны, здесь разобраны и отвергнуты наиболее популярные у поступающих рассуждения, правдоподобные с виду, но приводящие к определенным осложнениям и в конечном счете к ошибкам в экзаменационных работах. Иными словами, в книге рассказано не только о том, как надо, но также и о том, как не надо решать задачи по математике на вступительных экзаменах.

К обилию правил, советов и рекомендаций абитуриенту, содержащихся в различных главах книги, хотелось бы добавить еще четыре важных наставления, несоблюдение которых как раз и служит основной причиной ошибок на экзаменах (да простит нас читатель за несколько грубоватый тон самих наставлений).

1. Не делай глупых ошибок, т. е. тех очевидных ошибок в вычислениях, в знаках, в формулах и т. д., которые порождаются обыкновенной невнимательностью, несобранностью, неаккуратностью (§ 1.А, 1.Г, 4.Б, 5.Г; здесь и далее в скобках указаны параграфы настоящей книги, содержащие комментарии к наставлениям).

2. Следи за областью допустимых значений неизвестных, участвующих в решении задачи, особенно за изменением этой области при различных преобразованиях (§ 1.В, 2.Б, 2.Д, З.Г, 4.А, 5.Б, 5.В,, 9.А).

3. Рассуждай логично при выяснении вопросов о равносильности уравнений, неравенств, утверждений и т. п. или о том, какое из них является следствием другого (§ 1.Б, 2.В, 2.Е, 2.3, З.Б, З.Д, б.Б, 6.Д, 7.Е).

4. Думай, что делаешь (полезно всегда, не только на вступительном экзамене): разберись, в чем именно состоит задание, и помни о нем на протяжении всего решения; применяй известные методы не механически, а творчески с учетом особенностей задачи (§ l.E, 2.А, 2.Ж, З.А, 5.А, 5.Ж, 6.А, 7.А, 8.А, 8.Г, 9.В).

А теперь попытаемся ответить на некоторые вопросы, обычно волнующие абитуриентов перед экзаменом. В своих ответах руководствуемся установками, принятыми в Московском университете (в других вузах они могут быть в чем-то иными).

Каким образом оценивается письменная экзаменационная работа по математике? Довольно часто приходится наблюдать такую печальную картину: абитуриент, вернувшись с письменного экзамена, утверждает, что он сделал или написал все или почти все предложенные ему задачи, в то время как его работа впоследствии оказывается оцененной неудовлетворительно. Все дело в том, что экзаменационная комиссия и абитуриент подходят к оценке работы с разными мерками. Комиссия учитывает прежде всего не что иное, как общее количество решенных в работе задач, причем решенных правильно, а не неправильно. Абитуриент же * порой предполагает, что положительную оценку можно заработать за половинчатые или вовсе не верные «решения».

Более трудным является вопрос о том, что такое правильное решение. Ответ на него мы не приводим тотчас же — он вытекает из всего дальнейшего содержания книги. Отметим здесь лишь то, что на правильность решения и, стало быть, на оценку не влияет рациональность или нерациональность использованного абитуриентом метода.

Каковы требования к оформлению письменных работ? Главным и, по существу, единственным требованием к решению задачи была и остается его математическая правильность. В соответствии с этим текст решения должен быть оформлен достаточно подробно и разборчиво. О допустимой степени подробности можно судить, например, по тем решениям, которые приведены в нашей книге (в некоторых случаях мы ограничились лишь обсуждением задач, и тогда подзаголовок «решение» отсутствует). Что же касается разборчивости текста, то, надо признаться, для некоторых поступающих эта сторона оформления работы представляет собой настоящую проблему. За небрежностью почерка или обилием исправлений зачастую скрывается неуверенность в знаниях или нечеткость в рассуждениях.

Как готовиться к письменному экзамену по математике? Некоторые считают, что для успешной сдачи экзамена нужно прорешать как можно больше задач из различных сборников, посвященных вступительным экзаменам. Нам кажется, что чрезмерное увлечение одним количеством не идет на пользу делу, поскольку переносит центр тяжести на бездумное и утомительное отрабатывание отдельных приемов. В настоящей книге содержится довольно обширная подборка разнообразных задач, многие из которых взяты непосредственно из вариантов вступительных экзаменов: в скобках после номера задачи указано, на каком факультете МГУ и в каком году предлагалась данная задача. Желающие порешать полные комплекты задач того или иного факультета найдут их в гл. 10.

Работать над этой книгой лучше всего следующим образом: сначала внимательно изучать теоретический материал какого-либо параграфа, а затем закрепить его на задачах, помещенных в конце параграфа. При этом, разумеется, какие-то параграфы или целые главы можно пропускать в зависимости от подготовленности читателя. Надеемся, что наша книга поможет абитуриенту подготовиться к вступительным экзаменам по математике и укрепит его веру в свои силы. Желаем успеха!

{/spoilers}