Скачать Советский учебник

Назначение:  Полезна для студентов вузов педагогических специальностей и для учителей средних школ

Авторство: А.В. Погорелов

Формат: DjVu, Размер файла:  5.64 MB

 

СОДЕРЖАНИЕ

Скачать учебник  СССР -  ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1972 года (А.В. Погорелов)

Скачать...

 

 {spoiler=См. ПРЕДИСЛОВИЕ ........}

 ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

Преподавание геометрии в школе имеет целью не только сообщать учащимся геометрические результаты, но также

научить их методу при помощи которого эти результаты получаются. Как известно, геометрические результаты (теоремы) получаются путем логических рассуждений (доказательств) из некоторых отправных положений (аксиом). Логические рассуждения являются необходимой частью всякого познания. Геометрия отличается ясностью и простотой как в формулировке результата, так и в тех исходных положениях, из которых этот результат должен быть получен. Поэтому геометрия дает нам лучшие возможности для развития логического мышления в школе.

Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что научить свои главная задача преподавания геометрии в школе логически учащегося рассуждать, аргументировать доказывать. Очень немногие из оканчиваю-

щих утверждения, школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать.

Весь многовековой опыт преподавания элементарной геометрии со времен Евклида доказывает рациональность традиционной системы. Ее совершенствование, связанное с общим развитием науки, нам кажется, не должно касаться ее разумных и глубоко продуманных основ. Поэтому предлагаемый курс, в основном традиционный, отличается только более строгим изложением предмета и некоторой переоценкой значения его отдельных частей.

В основе предлагаемого курса геометрии лежит весьма немногочисленная система геометрических фактов, хорошо знакомых учащемуся и закрепленных в начальных классах школы. Эта система исходных положений, позже названных аксиомами, выделена в результате тщательного анализа содержания школьного курса геометрии с учетом элементое традиционных доказательств.

Изложение начинается типичным для школьного преподавания повторением пройденного. Во всяком случае это так будет восприниматься учащимся. Однако истинная цель у нас другая и более серьезная. Речь идет о введении основных понятий и исходных положений, т. е. аксиом, Аксиомы сформулированы в форме основных свойств простейших геометрических фигур, составленных из точек и прямых. Эти аксиомы просты и естественны. В ряде случаеЕ аксиомы формулируются сильнее, чем это требуется существом дела, с тем чтобы не вызвать вопросов и недоумений. Например, мы говорим, что существуют точки, лежащие на данной прямой, и точки, не лежащие на этой прямой. В действительности нам достаточно существования двух точек на прямой и одной точки вне прямой.

Отличительной особенностью нашей аксиоматики являются аксиомы измерения отрезков и углов. Эти аксиомы дают нам существенные методические преимущества. Во-первых, мы обходим трудный вопрос введения меры для отрезков и углов. Как известно, решение этого вопроса при аксиоматическом построении геометрии совсем не просто и требует применения серьезных средств, недоступных учащемуся. Во-вторых, через аксиомы измерения у нас подключается арифметика, которая к тому времени уже пройдена. А это значительно расширяет арсенал средств, применяемых в геометрическом доказательстве.

Аксиомы меры для отрезков и углов, естественно, требуют соответствующего определения понятий равенства отрезков и углов. Мы называем отрезки равными, если их длины одинаковы. Как ни странно, но большинство людей считают отрезки равными именно в этом случае, хотя в школе равенство отрезков определяется через наложимость. Поэтому наше определение равенства отрезков и с этой точки зрения естественно. Наложимость и движение вообще в нашем изложении являются производными понятиями и вводятся только в середине курса.

Второй параграф начинается четким определением понятий: аксиома, теорема и доказательство. Эти понятия определены настолько четко, что мы всегда можем дать ясный ответ на вопрос «почему» в каждом пункте проводимых нами доказательств. С другой стороны, мы имеем моральное право поставить такой вопрос учащемуся и требовать ответ. Понятие доказательства иллюстрируется на простых примерах с обстоятельным разбором.

Мы сохраняем традиционный порядок расположения материала, поэтому § 3 посвящен углам. Доказательства теорем в этом параграфе просты и естественны. Они основаны на аксиомах меры и откладывания углов.

Следующий параграф посвящен равенству треугольников. Содержание параграфа обычное, доказательства просты и безупречны. Вообще говоря, в идейном отношении все применяемые нового. Они нами доказательства не содержат ничего хорошо известны. Однако благодаря четкой формулировке исходных положений нам удается несколькими штрихами эти доказательства сделать совершенно безупречными. Эти «штрихи» чаще всего относятся к свойствам взаимного расположения точек на прямой и лучей в пучке. В математике вообще, в современной математике в особенности, отношение порядка играет не меньшую роль, чем отношение эквивалентности. Поэтому развивать понятие на простых геометрических объектах целесообразно и с этой точки зрения.

В §§ 5 и 6 освещаются традиционные вопросы: свойство это внешнего угла треугольника, соотношение между сторонами треугольника и противолежащими углами, неравенство треугольника, перпендикуляр и наклонная. Каждый параграф мы заканчиваем многочисленными вопросами для повторения и упражнениями. В вопросы для повторения вынесены определения понятий, оказательства теорем, а также вытекающих из них следствий. Сюда же включены некоторые не принципиальные вопросы курса. Вопросы для повторения четко определяют объем необходимых знаний учащегося и являются средством самоконтроля.

Следующий параграф посвящен геометрическим построениям. Здесь рассмотрены основные задачи на построения с помощью циркуля и линейки и объясняется метод геометрических мест. Надо сказать, что теме геометрических построений в современном школьном курсе геометрии не придают такого значения, как это было в прошлом. И это естественно: геометрические построения интересны главным образом для развития поисков решения и тренировки в доказательствах. Но геометрические построения не являются единственным средством для решения этой задачи.

Содержание первых семи параграфов этой книги можно назвать абсолютной геометрией. Здесь аксиома параллель-

ных не используется. Надо сказать, что привлечение аксиомы параллельных не дает реальных преимуществ в изложении этой части. Если считать, что планиметрия рассчитана на три года обучения, то эту часть курса можно рекомендовать для первого года. На второй год обучения мы относим теорию параллельных и непосредственно примыкающие к ней вопросы (§§ 8—12).

Параграф восьмой книги посвящен теории параллельных. Изложение начинается доказательством признаков параллельности. Нарушая традицию, мы ограничиваемся двумя парами углов параллельных с секущей: внутренними односторонними и внутренними накрестлежащими. Дело в том, что этих двух пар углов вполне достаточно для изложения теории параллельных и ее приложений. Другие пары углов, лежащие как-то внешние односторонние, внешние и другие практически не используются накрест-Зато внутренние односторонние и накрестлежащие углы определены нами строго, не только с помощью рисунка, как это часто делается, а их использование в доказательствах строго аргументируется. Следующий, § 9 содержит традиционный материал о четырехугольниках.

В § 10 мы вводим понятие движения. В нашем изложении это понятие является производным. Оно определяется как отображение, сохраняющее расстояния. Доказываются основные свойства движения. Рассматриваются частные случаи движения: симметрия относительно прямой, симметрия относительно точки, параллельный перенос и вращение. Следует заметить, что понятие геометрического движения естественно ассоциируется с процессом. При существующем изложении геометрии в школе, где понятие движения используется в самом начале, это приводит к путанице и недоразумениям. В нашем изложении четко сформулированные свойства движения доказываются и затем применяются.

В следующем параграфе рассматривается окружность. Главной темой этого параграфа является вопрос об углах в окружности. Здесь четко определяется ей понятие дуги и окружности, соответствующего ей центрального угла мера центрального угла. Вводится понятие вписанного угла и доказываются соответствующие теоремы о вписанных углах.

Содержание § 12 является заключительной темой второго года обучения. Здесь излагается

прежде всего вопрос о подобии треугольников. Этот вопрос, как известно, в действующем школьном изложении никогда не доводится до конца. Дело в том, что его полное решение требует применения аксиомы непрерывности. Поэтому доказательство подобия треугольников в основном случае обычно останавливается на полпути. В нашем изложении вопроса аксиома Из непрерывности действует через аксиомы вестное доказательство основного признака измерения, подобия завершается нами простым замечанием, вытекающим из аксиомы измерения.

В школьном курсе геометрии обычно остается открытым вопрос о пересечении прямой с окружностью и двух окружностей. Причина здесь та же: вопрос упирается в аксиому непрерывности. В нашем изложении вопрос о пересечении прямой с окружностью и двух окружностей решается просто и исчерпывающе. Это достигается в конечном счете также благодаря аксиомам измерения.

Третья часть курса начинается теоремой Пифагора и следствиями, вытекающими из этой теоремы: метрические соотношения в косоугольном треугольнике, соотношение между диагоналями и сторонами параллелограмма и др* Кроме этих традиционных вопросов, здесь дается простое доказательство важной теоремы о существовании треугольника с данными сторонами при выполнении известных необходимых условий. Эта теорема и дает исчерпывающее решение вопроса о взаимном расположении двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между центрами.

В § 14 вводятся тригонометрические функции углов. Мы ограничиваемся тремя функциями: синуса, косинуса и тангенса. Как известно, остальные три функции: секанс, косеканс и котангенс практически не используются. Материал этого параграфа обычен: формулы приведения, соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, теорема косинусов и теорема синусов. Следующий параграф посвящен выпуклым многоугольникам с традиционными вопросами о сумме внутренних и внешних углов, соотношении между длиной выпуклой ломаной и объемлющей и, наконец, правильным многоугольникам.

Известные трудности представляет изложение вопроса о площади фигур в школьном курсе. Мы эту проблему ре-

шаем следующим образом. Сначала понятие площади вводится при рассмотрении конкретной практической задачи и убедительно аргументируются ее свойства. Затем выясняется, что эти свойства однозначно определяют площадь.

Наконец, доказывается корректность определения площади этими свойствами. Изложение этого последнего вопроса в школьном преподавании можно считать факультативным.

Наконец, последняя тема планиметрии — длина окружности и площадь круга. В любом варианте изложения этого

серьезные трудности. Трудность со Однако эта трудность вопроса мы встречаем ставляет проблема существования легко преодолевается в старших классах. Мы унифицировали определения основных понятий, связанных с измерением дуг и площадей для окружности и круга, что должно упростить изложение. Кроме вопросов существования, которые остались открытыми, другие вопросы решены с достаточной полнотой и строгостью.

Вторая часть книги, стереометрия, начинается формулировкой трех пространственных аксиом и выводом непосредственно вытекающих из них следствий (§ 18). Принятые нами аксиомы представляют собой некоторую модификацию аксиом традиционного изложения и хорошо согласуются с аксиомами на плоскости. Следующий параграф посвящен вопросам параллельности прямых и плоскостей в пространстве с традиционными теоремами и доказательствами.

Пространный § 20 посвящен различным вопросам перпендикулярности прямых и плоскостей. Параграфы 18, 19 и 20 составляют основу второй части курса. Специальный параграф (§ 21) посвящен вопросам, связанным с понятием угла между прямыми и плоскостями. Эти понятия четко и определяются и доказываются соответствующие теоремы об углах.

Параграф 22 о двугранных, трехгранных и многогранных углах, кроме традиционных вопросов школьного курса, содержит доказательство теоремы косинусов и теоремы синусов для трехгранного угла. Мы полагаем, что эти важные и весьма употребительные теоремы должны быть даны в школьном курсе. Общеизвестно, что решение задач на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, в част-

ности, решение задач на призмы и пирамиды сводятся в своей существенной части к доказательству этих общих теорем в различных частных случаях.

Следующий параграф (§ 23) посвящен преобразованиям в пространстве (движение, симметрия, подобие и др.). Изложение в этом параграфе подчеркнуто повторяет, в ряде случаев текстуально, параграф о преобразованиях на плоскости. Этот параграф для успевающего учащегося будет

елать в школьном курсе, излагается вопрос о приятным повторением известных ему фактов из планиметрии.

Тема о многогранниках (§24) начинается с определения понятия геометрического тела. Это понятие вводится строго и вместе с тем вполне доступно. Строгое введение понятия геометрического тела позволяет дальше навести строгость в изложении вопроса об объеме и поверхности геометрического тела. Теоремы о призмах и пирамидах, данные в этом параграфе, традиционны. Более обстоятельно, чем это принято , правильных многогранниках.

Четвертый год изучения геометрии заканчивается у нас параграфом 25 об основах проекционного черчения. Этот параграф содержит все основные задачи на взаимное расположение точек, прямых и плоскостей при изображении их на эпюре.

В § 26, отправляясь от практической задачи о сравнении емкости двух сосудов, вводится понятие объема тела и выясняются его основные свойства. Обычным приемом, опираясь на эти свойства, находятся объемы простейших тел: призмы и пирамиды. Наконец, доказывается корректность (}юрмального определения объема многогранника как суммы объемов составляющих его пирамид. Этот последний вопрос может быть рекомендован для факультативных занятий. Изложение вопроса об объеме тел подчеркнуто близко изложению вопроса о площади плоских фигур и для успевающего учащегося будет приятным повторением.

Традиционные вопросы для тел вращения — цилиндра, конуса и шара изложены в § 27. Измерение объемов и поверхностей этих тел сюда не включены. Им посвящаются специальные параграфы.

В § 28 дано общее определение объема для любого тела. Отправляясь от объемов простых тел (тел, допускающих разбиение на конечное число треугольных пирамид), объем любого тела, по существу, определяется как точная нижняя грань объемов содержащих его простых тел. Исходя из этого общего определения, находятся объемы всех рассматриваемых в школьном курсе тел вращения: цилиндра, конуса, шара и их частей. Доказывается аддитивность объема для тел, ограниченных простыми поверхностями (плоскостью, цилиндрической, конической и шаровой поверхностью).

Параграф 29 посвящен изложению вопроса о площади поверхности. Отправляясь от практической задачи

о сравнении количества краски, необходимой для окрашива-ния двух поверхностей, мы приходим к естественному геометрическому определению понятия площади (по Минковскому). Исходя из этого определения, стандартным приемом находятся площади рассматриваемых в школьном курсе поверхностей тел вращения: цилиндра, конуса, шара и их частей.

В заключение я хотел бы выразить сердечную благодарность академику А. Н. Колмогорову за ценные замечания и советы, сделанные им в рецензиях на отдельные части книги первого издания. Я благодарен также редактору книги А. Ф. Лапко за внимательное отношение к рукописи книги при подготовке ее к печати.

А. В. Погорелов

  {/spoilers}