Дифференциальное исчисление функций одной переменной $ 1. Производная явной функции 192

§ 2. Дифференциал функции 217

$ 3. Производная обратной функции. Производная функции, заданной пара* метрически. Производная функции, заданной в неявном виде 223

$ 4. Производные и дифференциалы высших порядков 228

$ 5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши 254

§ 6. Возрастание и убывание функции. Неравенства 270

§ 7. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба 285

§ 8. Раскрытие неопределенностей 291

§ 9. Формула Тейлора 302

§ 10. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции . . 316

§11. Построение графиков функций по характерным точкам 330

§ 12. Задачи на максимум и минимум функции 347

Задачи и примеры для самостоятельного решения 354

Глава III Неопределенный интеграл

§ 1. Простейшие неопределенные интегралы 363

§ 2. Интегрирование рациональных функций 392

§ 3. Интегрирование иррациональных функций 413

§ 4. Интегрирование тригонометрический функций 430

§ 5. Интегрирование различных трансцендентных функций 445

§ 6. Разные примеры на интегрирование функций 455

Задачи и примеры для самостоятельного решения 467

Г л а в a IV

Определенный интеграл

§ 1. Определенный интеграл как предел суммы 470

§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных . . 492

§ 3. Теоремы о среднем 535

§ 4. Несобственные интегралы 546

§ 5. Вычисление площадей 576

§ 6. Вычисление длин дуг 591

§ 7. Вычисление объемов 601

§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения .621

§ 9. Общая схема применения определенного интеграла. Вычисление моментов, координат центра тяжести 632

§ 10. Задачи из механики и физики 645

§11. Приближенное вычисление определенных интегралов 654

Задачи и примеры для самостоятельного решения 664

Ответы

Глава I 670

Глава II 671

Глава III 674

Глава IV 676

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга является учебным пособием по математическому анализу в его прикладном аспекте для студентов физико-математического профиля и кибернетики университетов, а также для студентов педагогических и технических вузов.

Пособие охватывает разделы анализа, изучаемые на первом курсе: введение в анализ, производная, интеграл и их применение.

В книге помещено свыше 1400 решенных примеров и задач, а также свыше 150 графиков. Материалом для нее послужили в основном задачи и примеры из сборника Б. П. Демидовича; были использованы и другие источники.

При изучении курса математического анализа студенты младших курсов обычно встречаются с трудностями, возникающими из-за отсутствия необходимой практики в решении задач, а позже — в связи с большим объемом информации.

Главная цель этой книги состоит в том, чтобы способствовать глубокому усвоению теории, развитию конкретного математического мышления студентов, привитию им навыков решения примеров и задач, пониманию их физической сущности.

В начале каждого параграфа в конспективной форме даны краткие сведения по теории. Для самостоятельного решения предлагается большое количество примеров и задач.

Эта книга поможет студенту овладеть методикой применения теоретического материала к ре-

шению конкретных задач, приобрести творческий подход к их решению.

Пособие будет полезным также преподавателям, которые проводят практические занятия по математическому анализу.

Авторы выражают глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Киевского педагогического института Н. И. Шкилю, доцентам Киевского университета М. И. Ядренко, А. Я- Дороговцеву, В. Н. Нагорному, В. А. Панасовичу за ряд ценных замечаний, способствовавших улучшению содержания книги.

Критические замечания и пожелания просим направлять по адресу: 252054, Киев, 54, Гоголевская, 7, Головное издательство издательского объединения «Вища школа», редакция литературы по математике и физике.

Авторы

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

§ 1. Вещественные числа

1°. Множества. Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного.

Запись х £ Е означает: является элементом множества Е», а запись х g Е означает, что «х не является элементом множества Е».

Если каждый элемент из F является элементом из £, то пишут F с: cz Е или Е ZD F.

2°. Метод математической индукции. Предположим, что установлено следующее: 1) из того, что утверждение Q предполагается правильным для какого-нибудь натурального а, следует его справедливость для натурального числа, следующего за а; 2) существует хотя бы одно натуральное число Ь, для которого утверждение Q выполняется.

Тогда утверждение Q справедливо для любого натурального числа, большего b или равного ему.

3°. Сечение. Множество А рациональных чисел называется сечением, если: 1) множеству А принадлежит хотя бы одно рациональное число, но не всякое рациональное число; 2) для р £ А и q р (q — рациональное число) имеем q g А; 3) в множестве А нет наибольшего числа.

Из определения сечения следует, что если p^Auqg А, то р q. Элементы множества А называют нижними числами сечения А, а рациональные числа, не принадлежащие множеству А, называют верхними числами сечения А. Множество всех верхних чисел сечения обозначают через Л'.

Если в множестве А' есть наименьшее число г, то сечение А называют рациональным и говорят, что оно определяет рациональное число г.

Если в множестве А' нет наименьшего числа, то говорят, что сечение А определяет иррациональное число.

Множество всех рациональных и иррациональных чисел называют множеством вещественных или действительных чисел.

4°. Абсолютная величина. Если х — вещественное число, то абсолютной величиной | х | называется неотрицательное число, определяемое следующими условиями