Теоретическая арифметика (Гонин) 1959 год
Скачать Советский учебник
Назначение: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов
Основной частью книги является глава II, охватывающая почти весь, материал действующей программы по теоретической арифметике для математических отделений педагогических институтов. Все вопросы общематематического характера рассмотрены в главе 1. Материал этой главы в значительной степени знаком студенту III курса из ранее излучавшихся разделов математики, но включает и ряд новых вопросов. Учение об измерении величин, содержащееся в программе, выделено особо в небольшую главу III.
© ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Москва 1959
Авторство: Евгений Григорьевич Гонин
Формат: PDF Размер файла: 18.2 MB
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Глава 1. Основные общематематические понятия.
- 1. Множества (7). § 2. Отображения множеств (15). § 3. Множества с соотношениями (20). § 4. Соотношение эквивалентности (27). § 5. Соотношение порядка (33). § 6. Непрерывные и дискретные упорядоченные множества (41). § 7. Скалярные величины (52). § 8. Множества с операциями (57). § 9. кольца и тела (71). § 10. Упорядоченные полугруппы (77). § 11. Аддитивные и аддитивно-скалярные величины (87).
Глава II. Основные числовые системы.
- 12. Система неотрицательных целых чисел (97). § 13. Система неотрицательных рациональных чисел (131). § 14. Система неотрицательных вещественных чисел (148). § 15. Система всех вещественных чисел (173). § 16. Система комплексных чисел (187). § 17. Гиперкомплексные числа (194).
Глава III. Измерение величин.
- 18. Измерение аддитивно-скалярных величин (210). § 19. Пропорциональная зависимость (223). § 20. Измерение некоторых других величин (226).
Заключение 230
Основная литература. 231
Скачать бесплатный учебник СССР - Теоретическая арифметика (Гонин) 1959 года
СКАЧАТЬ PDF
Заметим, что если данные величины положительны, то требование монотонности отображения является излишним. Действительно, в этом случае для любого значения х первой величины = положительно, отсюда следует, как показано в предыдущем параграфе, строгая монотонность.
Например, для доказательства прямой пропорциональности величины центрального угла величине соответствующей дуги окружности достаточно показать, что равным углам соответствуют равные дуги, это будет означать, что определенной величине центрального угла соответствует определенная величина дуги, т. е. что отображение однозначно. Так как дуга, соответствующая сумме двух центральных углов, равна сумме дуг, соответствующих слагаемым, то рассматриваемое отображение аддитивно. Из последнего предложения сразу следует прямая пропорциональность рассматриваемых величин.
Это же предложение позволяет просто и строго доказать прямую -пропорциональность длины пути, пройденного равномерно движущимся телом, величине соответствующего промежутка времени.
Важным примером служит теорема о пропорциональности величины отрезка прямой величине его параллельной проекции на другую прямую. Действительно, равные отрезки имеют равные проекции, поэтому определенной величине отрезка соответствует определенная величина проекции. Это значит, что соответствие между величиной отрезка и величиной проекции является взаимно однозначным. Проекция суммы двух отрезков равна сумме проекций слагаемых, это же справедливо для их величин; поэтому рассматриваемое соответствие аддитивно. Если отрезки рассматриваются без учета ориентации, то их величины, т. е. длины, положительны, доказанного достаточно для пропорциональности. Если мы рассматриваем ориентированные отрезки, то нужно показать еще строгую монотонность отображения, но она сразу следует из сохранения порядка точек при параллельном проектировании. Следовательно, пропорциональность величин ориентированных отрезков также доказана.
- 20. Измерение некоторых других величин.
1. Измерение скалярных величин. Задача измерения скалярной величины состоит в построении однозначного и монотонного отображения множества всех значений этой величины в множество всех вещественных чисел. Эта задача вследствие меньшего числа ограничений является более неопределенной, чем задача измерения аддитивно-скалярной величины, и может допускать весьма разнообразные решения.
Типичным примером системы измерения скалярной величины является шкала твердости минералов, в которой твердости талька отнесено число 1, твердости каменной соли — число 2 и т. д. до твердости алмаза, которой приписано число 10.
Для большей определенности часто прибегают к такому приему. Для данной скалярной величины подбирают аддитивно-скалярную величину, связанную с данной некоторым взаимно однозначным и монотонным соответствием, а затем в качестве меры значения, данной величины берут меру соответствующего значения -аддитивно-скалярной величины. Типичный пример: в качестве меры температуры используется мера высоты столбика ртути в термометре. Нужно заметить, что системы измерения, получаемые при использовании различных аддитивно-скалярных величин, связанных с данной, могут оказаться связанными между собой весьма сложным образом. В частности, использование для измерения температуры ртутного термометра дает систему, несколько отличную от системы, получаемой при использовании, например, спиртового термометра.
2. Измерение геометрических векторов на плоскости. Задача измерения аддитивных величин, не являющихся аддитивноскалярными, также оказывается недостаточно определенной. Ограничимся рассмотрением одного важного примера.
Рассмотрим множество всех геометрических векторов, определяемых ориентированными отрезками некоторой плоскости. Это множество является подгруппой группы всех геометрических векторов пространства. Поэтому геометрический вектор плоскости, т. е. принадлежащий рассматриваемому множеству, представляет аддитивную величину.
Выберем некоторый ненулевой вектор ё и примем его за единицу измерения всех векторов, параллельных е. Вектор, параллельный ё и имеющий меру а, можно обозначить_ через аё. Выберем теперь некоторый вектор I, непараллельный ё, и припишем ему меру i. Любому вектору, параллельному I, отнесем меру bi, где b — мера этого вектора в системе измерения с единицей измерения I, Любой вектор ~с плоскости можно единственным образом представить в виде суммы векторов а и Ь, параллельных, соответственно, векторам ё и I. Для аддитивности системы измерения нужно положить
X- = ц -|- Ы,
Тогда равенство (20,5) покажет, что отображение, определяемое суммой чисел В и т), равно сумме отображений, определяемых этими числами.
Отсюда следует важное предложение.
Система комплексных чисел изоморфна некоторой системе отображений плоскости в себя.
Найденную нами систему отображений плоскости в себя можно рассматривать как конкретную систему комплексных чисел совершенно иной природы, чем система пар, изученная ранее. Попутно найдена и новая конкретная система вещественных чисел, состоящая из отображений, определяемых вещественными числами, с — kc. Каждое такое отображение является гомотетией с центром О и коэффициентом k.
Система отображений плоскости в себя при выбранной точке О зависит, как уже отмечено, от выбора векторов ё и z; этого можно избежать введением некоторых ограничений. Ориентируем данную плоскость и будем брать вектор I под углом -|- 90° к вектору ё, а по длине равным ё. Тогда система измерения будет вполне определена выбором ё. Умножение на i будет выражать поворот плоскости вокруг точки 0 на 4- 90°. Действительно, если Xj = а 4- bi, то с = аё-\-Ь1, откуда
ic = Z (аё bl) = i (аё) 4- i (bl) = (ia) ё 4- (ib) l=
= (ai) ё 4- (bi) l=a (1ё) 4" b (it) = al-{-b(— e).
Поворот на 4-90° также преобразует ё в I, а I в —ё, поэтому аё 4- bl преобразуется в al 4- b (— ё). Отсюда видно, что умножение на i не зависит от выбора вектора ё. Умножение на любое комплексное число также не зависит от выбора ё. Действительно, для любых вещественных чисел tn и п имеем:
(т 4~ ni) с = тс-\- (ni) с = тс -\-п (ic),
но умножения на т, п и i не зависят от выбора ё.
Таким образом, если договориться брать вектор I равным по длине вектору ё и под углом 4" 90° к ё, то каждому комплексному числу будет соответствовать определенное отображение плоскости в себя, зависящее только от выбора точки О. Можно показать, что это отображение для £ 0 представляет преобразование по
добия с двойной точкой О, не изменяющее ориентации плоскости. Эта система преобразований плоскости в себя имеет много приложений в теории функций комплексного переменного.
Геометрический смысл кватернионов значительно сложнее и здесь рассматриваться не будет.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Понятие числа является исходным для построения большинства математических дисциплин. Предметом теории чисел, как показывает само название, являются числовые системы, в первую очередь множество натуральных чисел. Многочисленные разделы классической алгебры рассматривают прежде всего операции над числами. Классический анализ со всеми его разветвлениями основан на системе вещественных чисел. Вероятность, свойствами которой занимается теория вероятностей, представляет число. Различные геометрии, если не сразу, то на определенном этапе, прибегают к использованию числовых систем. Даже в тех разделах или их частях, при построении которых можно не рассматривать величины и не пользоваться системой вещественных чисел, не могут быть обойдены натуральные числа. Они нужны для описания мощностей множеств объектов изучения и как значения аргумента для различных последовательностей этих объектов.
Подавляющее большинство приложений математики в той или иной степени связано с числовыми расчетами. При этом могут потребоваться самые разнообразные числовые системы.
Не случайно поэтому изучение математики начинается со знакомства с числом. В средней школе изучаются все числовые системы до множества комплексных чисел включительно. Порядок их изучения близок к историческому, рассмотрение отдельных систем также до известной степени повторяет порядок их создания. Изучение числовых систем с средней школе не ставит задачу полного логического анализа понятия числа, но этот анализ в значительной степени определяет объем и характер изложения. Если, например, в школе не анализируются в общем виде ассоциативный и коммутативный законы, то формулировки этих законов в применении к числам сообщаются уже при изучении действий над целыми числами.
Знакомство с числовыми системами в школе производится в тесной связи с их приложениями для счета и измерения величин. С первыми натуральными числами учащиеся знакомятся как с мощностями множеств, хотя само слово „мощность" и не употребляется. Почти одновременно они изучают десятичную нумерацию, доставляющую конкретную систему натуральных чисел — множество сим- 230
волов этих чисел в десятичной системе счисления, и с операцией счета. В скором времени эта система обогащается до системы неотрицательных целых чисел добавлением числа 0.
Еще в начальной школе учащиеся начинают изучать рациональные числа, которые вводятся в связи с необходимостью численного описания значений делимых величин, прежде всего длины. Соотношения между дробями, т. е. парами целых чисел, вводятся с таким расчетом, чтобы между неотрицательными рациональными числами и значениями величины, соизмеримыми с некоторым значением, принятым за единицу, было взаимно однозначным и строго монотонным. Правило сложения дробей выбирается так, чтобы это соответствие было аддитивным. Из таких же естественных соображений устанавливается правило умножения дробей. Такое построение отличается по целям и плану от рассмотренного в этой книге, но приводит к тем же результатам.
В дальнейшем система неотрицательных рациональных чисел расширяется до системы всех рациональных чисел. Это производится в связи с изучением величин, множества всех значений которых представляют упорядоченные группы. Простейшим примером служит множество геометрических векторов, определяемых ориентированными отрезками прямой. Система не строится заново, а просто к неотрицательным числам добавляются отрицательные. Недостаток такого построения, отмеченный во введении, сказывается мало по той причине, что свойства порядковых соотношений и операций не доказываются в общем виде, а только иллюстрируются примерами.
Позднее строится система всех вещественных чисел. В сущности говоря, в построении нуждается система неотрицательных вещественных чисел, а отрицательные вещественные числа вводятся дополнительно. По аналогии с предыдущим вещественные числа вводятся в связи с задачей описания величин, но теперь уже непрерывных; примером такой величины служит длина отрезка. Предполагается, что с каждой длиной после выбора единицы измерения связано некоторое число, а если подходящего рационального числа нет, то искомое число называется иррациональным и ставится задача его описания посредством рациональных чисел. Единственно приемлемым для средней школы способом задания иррациональных чисел оказалось описание их посредством бесконечных десятичных дробей. Полученйе бесконечной дроби, соответствующей данному отрезку, значительных трудностей не представляет. Очень важно, однако, показать, что каждой бесконечной десятичной дроби соответствует единственный отрезок, т. е. что дробь совершенно точно задает число. Это требует привлечения аксиомы непрерывности, лучше всего в форме усиленной аксиомы Дедекинда. Полезно также не проводить резкого различия между рациональными и иррациональными числами, а, наоборот, сразу же установить, что рациональные числа также могут задаваться бесконечными десятичными дробями, и в дальнейшем по мере воз
можности рассматривать сразу все вещественные числа, .а не одни лишь иррациональные.
Порядковые соотношения между вещественными числами рассматриваются в связи с порядком длин, сложение этих чисел — в связи со сложением длин и учетом требования монотонности. Умножение обычно определяется по аналогии со сложением.
Система комплексных чисел является последней из рассматриваемых в средней школе. В отличие от предыдущих она обычно вводится на основе формального определения, не подкрепленного доказательством существования, но это таит опасность создания неверного представления о ее роли. Значительно целесообразнее вводить ее в связи с задачей измерения векторов на плоскости.
МАТЕМАТИКА - ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА - ДЛЯ ВУЗов и ТЕХНИКУМОВ

Математика - АРИФМЕТИКА

Математика - ДЛЯ ВУЗОВ-ТЕХНИКУМОВ, Математика - Арифметика, Педагогическое образование