§ 12. Примеры нахождения неизвестных и чисел по данным условием 28

§ 12-а. Задача 30

ГЛАВА III. Законы сложения и вычитания и основанные на них тождественные преобразования буквенных выражений.

§ 13. Скобки 31

§ 14. Законы сложения 32

§ 15. Проверка законов сложения на числовой оси 35

§ 16. Примеры на применение законов сложения к упрощению арифметических вычислений 36

§ 17. Законы вычитания 37

§ 18. Проверка законов вычитания на числовой оси 42

§ 19. Примеры на применение этапно вычитания к упрощению арифметических вычислений 44

§ 20. Возведение в степень 45

§ 21. Одночлен и многочлен; значение коэффициента 46

§ 22. Тождественные выражения; понятие о тождественном преобразовании 47

§ 23. Применение переместительного и сочетательного законов для сложения и вычитания к многочлену 50

§ 24. Подобные одночлены и их приведение

§ 25. Раскрытие скобок 51

§ 26. Заключение в скобки членов многочлена 54

ГЛАВА IV. Законы умножения и деления и основанные на них тождественные преобразования буквенных выражений.

§ 27. Законы умножения 54

§ 28. Проверка законов умножения при помощи площадей и объемов. 57

§ 29. Примеры на применение законов умножения к упрощению арифметических вычислений 61

§ 30. Законы деления 62

§ 31. Проверка законов деления при помощи площадей и объемов 66

§ 32. Примеры на применение законов умножения и деления к упрощению арифметических вычислений 74

§ 33. Умножение и деление дробей, как выражение законов деления

§ 34. Раскрытие скобок. 76

ГЛАВА V. Тождественные преобразования по формулам.

§ 35. Тождества

§ 36. Геометрический вывод предыдущих формул 81

Й 37. Задача (теорема Пифагора) 82

§ 38. Тождества

§ 39. Таблица Паскаля 86

§ 40. Бином Ньютона 88

§ 41. Простейшие случаи разложения на множители 89

ГЛАВА VI. Тождественные преобразования дробных выражений.

§ 42. Сокращение дробей 91

§ 43 Преобразование суммы и разности дробных выражений 92

§ 44. Преобразование произведения и частного дробных выражений. 95

ГЛАВА VII. Уравнения первой степени с одним неизвестным.

§ 45. Понятие об уравнении

§ 46. Примеры на составление и решение уравнений

§ 47. Правила, которые полезно помнить при решении уравнений § 48. Понятие о функции и ее графическом изображении

§ 49. Прямоугольные Декартовы координаты

§ 50. Построение графика функции по точкам

§ 51. Графическое решение уравнения первой степени с одним неизвестным

ГЛАВА IV. Тождественные преобразования алгебраических выражений.

§ 67. Действия над одночленами 157

8 68. Действия над многочленами 160

§ 69. Действия со скобками 163

§ 70. Умножение и деление расположенных многочленов

8 71. Некоторые замечания о тождественном преобразовании дробей 165

§ 72. Исключение целого выражения из алгебраической дроби 167

ГЛАВА IV. Составление и решение системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

§ 86. Одно уравнение с двумя неизвестными

§ 87. Система двух уравнений с двумя не известными

§ 88. Графическое изображение зависимости между у и ж, выражаемой уравнением

§ 84. Графическое решение системы двух уравнений первой степени

§ 90. Исследование системы уравнений первой степени с двумя неизвестными

§ 91. Система трех уравнений с тремя неизвестными

ГЛАВА IV. Графическое решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, в состав которой входит уравнение, содержащее произведение неизвестных.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

В виду значительности той роли, которая на протяжении всего курса отводится геометрическим интерпретациям алгебраических положений, в самом же начале курса (§§ 1—12) предварительно дается понятие о наглядном представлении чисел и действий над ними на числовой прямой. Здесь же впервые читатель знакомится с понятием о переменном числе (§ 3), с построением графиков на основе опытных данных (§ 4) и с нахождением неизвестного числа по данным условиям (§§ 12 и 12-а).

Вопросу о тождественных преобразованиях (формальной стороне алгебры) уделено внимания не больше, чем эго требуется для выработки чисто технических навыков в упрощении уравнений. Но так как тождественные преобразования являются обобщением законов арифметических действий, то осознанные и прочные навыки этих преобразований обусловливаются отчетливым подставлением упомянутых законов. Поэтому, вполне естественным является то внимание, которое уделено разнообразной проверке этих законов с целью их уяснения §§ 14—19 и 27 — 32).

При рассмотрении сокращенных тождественных преобразований (по формулам) приведена формула бинома Ньютона Для целого положительного показателя (§ 40). Закон составления биномиальных коэффициентов установлен индуктивно из рассмотрения частных примеров и с помощью таблицы Паскаля (§ 39).

Идея функциональной зависимости, являющаяся основой всякого уравнения, занимает в предлагаемом курсе центральное место, вследствие чего при решении и исследовании Уравнений (а также систем уравнений) широко использован графический метод. С его помощью обнаружена необходимость расширения понятия о числе (§ 52).

Сложение и вычитание относительных чисел истолкован на числовой прямой.

Справедливость законов арифметических действий дл относительных чисел доказана аналитическим путем (§§ 61 62, 64 и 65); но в виду сравнительной сложности и отвлеченности аналитических доказательств следует предпочесть способ числовой проверки (§§ 60 и 63).

Введение понятия об относительном числе создает в изучении тождественных преобразований буквенных выражен; второй концерт (§§ 67 — 72;.

Дальнейшие отделы посвящены изучению функции первого порядка (закон прямой линии) и простейших дробных функций.

Изучению функции первого порядка предшествует глава об арифметической прогрессии, основные свойства которой! иллюстрированы и геометрически. В этой же главе дано понятие об интерполировании и экстраполировании.

Так как выражение закона прямой пропорциональности представляет один из простейших видов функции первого порядка, то с него и начато изучение этой последней

Необходимо отметить, что изучение функции первого порядка при всех вариациях ее параметров сопровождается графической иллюстрацией, тесно связанной с аналитическим исследованием

В качестве практического приложения указано на применение в некоторых случаях графика линейной функции к установлению эмпирических формул (§ 85.)

Из дробных функций более детальному изучению подверглась функция, выражающая закон обратной пропорциональности, понятие о которой установлено из рассмотрения кои конкретных задач. При исследовании свойств этой функций широко использован графический метод. С его помощь установлено понятие о бесконечно большой и бесконечно малой величинах.

Графики дробных функций, представляющих частное отделения линейных функций, получены путем смещения графика функции

Что касается приемов изложения, то последнему сообщена с помощью графических иллюстраций и задач, взятых из жизни и различных областей знания, возможная наглядность. В курсе содержится свыше 170 примеров и задач и свыше 50 упражнений.

В заключение заметим, что при пользовании предлагаемым курсом в качестве учебного руководства все напечатанное мелким шрифтом должно быть исключено.

Таковы в общих чертах содержание курса и идеи, положенные в его основу.