ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая брошюра довольно точно воспроизводит содержание лекции, прочитанной автором 20 апреля 1966 г. учащимся 8-х классов московских школ — участникам XXIX Московской математической олимпиады. Основное отличие этой брошюры от лекции заключается в том, что здесь каждый параграф завершается (весьма, впрочем, немногочисленными) упражнениями, более трудные из которых отмечены звездочками; в конце книжки имеются ответы и указания к некоторым из упражнений. Я очень рекомендую читателю обязательно решить, если не все, то во всяком случае большинство из этих упражнений,— лишь после этого можно быть уверенным, что содержание брошюры действительно усвоено. Мелкий шрифт, как обычно, означает, что соответствующее место при первом чтении может быть пропущено; однако напечатанный мелким шрифтом § 6, по-моему, заслуживает того, чтобы каждый читатель внимательно проработал его, если не при первом, то при повторном чтении книги.

При составлении брошюры были частично использованы статьи автора: «Алгебра множеств и алгебра высказываний» (Детская энциклопедия, т. II, «Просвещение», 1964, стр. 383—396) и «Алгебры Буля» (Сборник «О некоторых вопросах современной математики и кибернетики», «Просвещение», 1965, стр. 230—324). В конце брошюры указана дополнительная литература, которая может оказаться полезной читателю, пожелавшему глубже познакомиться с алгебрами Буля.

Автор искренне благодарен С. Г. Гиндикину за полезные советы и Ф. И. Кизнер за тщательное и инициативное редактирование.

Москва, октябрь 1S66

И. М. Я г лом

• I. АЛГЕБРА ЧИСЕЛ И АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ

В школе на уроках арифметики и алгебры изучают числа самой разной природы. В первом классе дети встречаются с целыми числами, которые не вызывают у них затруднений: большинство школьников приходят в школу, уже зная кое-что об этих числах. Но дальше появляются все новые и новые «числа»; теперь мы уже привыкли к ним и они нас не удивляют, но ведь на каждой стадии расширения понятия числа нам приходилось расставаться с теми или иными из милых сердцу иллюзий. Число (целое) отвечает на вопрос о том, сколько предметов содержит та или иная совокупность: корзина — яблок, книга — страниц или класс — мальчиков. А как же дроби? Ведь не может в классе сидеть 33 у ученика или на столе стоять Зу тарелки. Да, не может. Но на столе могут лежать 4 у яблока, киносеанс может длиться 1 у часа, даже в шкафу могут стоять 6 у книг (что, конечно, не свидетельствует об аккуратности хозяина этих книг, но ведь и здравому смыслу тоже не противоречит!). Только мы успели привыкнуть к тому, что предметов может быть и дробное число, как появляются числа отрицательные. Вот — 3 книги в шкафу стоять никак не могут — это было бы уже совсем противоестественно. Но термометр может показывать —5°, или денег у тебя может быть —50 копеек; последнее, конечно, грустно, но только для тебя, а не для математики.