Глава V ТРИГОНОМЕТРИЯ 119

• 1. Углы и их измерение 119
• 2. Системы координат 128
• 3. Тригонометрические операции над углами 135
• 4. Основное тригонометрическое тождество 146
• 5. Формулы сложения 151
• 6. Тригонометрические операции для двойных и половинных углов 157

Глава VI ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 162

• 1. Определение и примеры функций 163
• 2, Исследование функций 165
• 3. Основные элементарные функции 170
• 4. Обратные функции . 183
• 5. Суперпозиции функций и их графики . 191

Глава VII УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 210

• 1. Основные определения и утверждения равносильности уравнений 210
• 2. Простейшие уравнения 217
• 3. Равносильные преобразования уравнений 224
• 4. Неравносильные преобразования уравнений. 230
• 5. Основные определения и утверждения равносильности неравенств. 241
• 6. Простейшие неравенства. 247
• 7. Решение неравенств 264

Глава VIII

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ . 273

• 1. Предел числовой последовательности. 273
• 2. Теоремы о пределах числовых последовательностей 277
• 3. Применение теорем о пределах числовых последовательностей 282
• 4. Предел функции 287
• 5. Непрерывность функции 298
• 6. Производная функции 301

Глава IX СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 307

• 1. Матрицы 307
• 2. Определители . 314
• 3. Обратная матрица. Ранг матрицы 323
• 4. Системы линейных уравнений 329

Глава X КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА  337

• 1. Понятие комплексного числа 337
• 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел 340
• 3. Тригонометрическая форма комплексных чисел 345
• 4. Свойства корней из комплексных чисел. 347
• 5. Сопряженные комплексные числа 351

Глава XI МНОГОЧЛЕНЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ, ГРУППЫ. 353

• 1. Числовые поля и кольца 353
• 2. Многочлены 357
• 3. Кольца и поля 373
• 4. Группы. 382

Глава I

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

В разумной деятельности человека постоянно возникает необходимость не только качественной, но и количественной характеристики тех или иных явлений. Так, измерение на местности или в лабораторных условиях, любое научное исследование или производственный эксперимент приводят к тому, что приходится иметь дело с разными числами и производить действия над ними. Поэтому в I главе рассмотрим действительные числа и основные операции над ними.

I 1

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Понятие натурального числа — одно из основных понятий математики. Как всякое основное понятие оно не определяется. При строгом введении натуральных чисел их свойства вытекают из системы аксиом. Поскольку строгое (аксиоматическое) введение натуральных чисел выходит за рамки этого курса лекций, то в этом параграфе свойства натуральных чисел будут лишь описаны.

Можно сказать, что каждое натуральное число характеризует количество элементов некоторого множества. Любые множества, имеющие одинаковое количество элементов, характеризуются одним и тем же натуральным числом. Всем множествам, состоящим из одного элемента, можно поставить в соответствие натуральное число, которое принято называть числом «единица». Всем множествам, состоящим из двух элементов, можно поставить в соответствие другое натуральное число, которое принято называть числом «два». Продолжая устанавливать такое соответствие, можно получить все натуральные числа, которые обладают следующими свойствами: а) их бесконечно много; б) все натуральные числа располагаются в порядке одно за другим, начиная от единицы.

Множество натуральных чисел образует ряд натуральных чисел', первое число —единица, второе —два, третье —три и т. д. При этом у каждого натурального числа есть свое место в этом ряду, т. е. можно говорить о месте натурального числа п в ряду натуральных чисел. Имея ряд натуральных чисел, можно

определить, какое из двух натуральных чисел больше: больше то, которое стоит в ряду натуральных чисел дальше от начала; меньше то, которое стоит в ряду натуральных чисел ближе к началу.

Чтобы обозначить, что число т больше числа и, употребляется запись т>и. Для обозначения того, что число т меньше числа и, употребляется запись m<n. Называют эти записи неравенствами натуральных чисел. Чтобы обозначить, что число т и число и —одно и то же число, употребляют запись т = п и называют ее равенством натуральных чисел.

Действия сложения и умножения натуральных чисел можно определить следующим образом.

Сложить два натуральных числа т и п — значит найти натуральное число р (р >т), находящееся на n-м месте от числа т. Это число р называется суммой чисел т и п и обозначается т-\-п. Чтобы сложить несколько натуральных чисел, надо сложить сначала первые два, затем к полученной сумме прибавить следующее натуральное число и т. д.

Умножить натуральное число т на натуральное число п — значит найти натуральное число q, равное: а) т, если п=1; б) сумме п чисел, каждое из которых есть т (т. е. взять число т суммой п раз). Это число q называется произведением чисел т и п и обозначается тп. Числа тип называются сомножителями. Чтобы перемножить несколько натуральных чисел, надо сначала перемножить первые два, затем полученное натуральное число умножить на следующее натуральное число и т. д.

Приведем основные законы сложения и умножения натуральных чисел:

а) т-[-п = п-\-т (коммутативность сложения);

б) (1-\-т)-\-п = 1-\-(т-\-п) (ассоциативность сложения);

в) тп = пт (коммутативность умножения);

г) (Im) п = I (тп) (ассоциативность умножения);

д) (I+т) п = In + тп (дистрибутивность сложения относительно умножения).

Если число т взято сомножителем k раз ( —натуральное число большее единицы), то произведение