Алгебра

      8. Правило (алгорифм) извлечения квадратного корня из целого числа 15 

      9. Число цифр корня 16 

      10. Нахождение приближенного квадратного корня с недостатком с точностью до 1 из дробных чисел 

      

      § 2. Приближенные квадратные корни с точностью до 1/n 

      1. Повышение степени точности — 

      2. Общий способ нахождения приближенных квадратных корней с точностью до 1/n 

      3. Нахождение приближенных квадратных корней из десятичных дробей с точностью до данного десятичного знака 19 

      4. Влияние на корень перенесения запятой в подкоренном числе 20 

      5. График зависимости у = Vх 

      6. Извлечение квадратного корня из чисел с помощью таблиц 24 

      

      § 3. Иррациональные числа 27 

      1. Двойные последовательности чисел 

      2. Понятие об иррациональном числе 38 

      3. Геометрическое изображение вещественного числа 41 

      4. Сравнение вещественных чисел 42 

      5. Действия над вещественными числами 43 

      

      Глава II. Степени и корни. Рациональные показатели степени 

      

      § 1. Степени с целыми положительными показателями 50 

      1. Определение степени 

      2. Знак степени — 

      3. Основные свойства степени 50 

      § 4. Действия над радикалами 91 

      1. Общее понятие — 

      2. Приведение радикала к нормальному виду — 

      3. Приведение радикалов к общему показателю 92 

      4. Подобные радикалы — 

      5. Сложение и вычитание радикалов 93 

      6. Умножение радикалов 95 

      7. Деление радикалов 96 

      8. Возведение радикалов в степень 97 

      9. Извлечение корня из радикала — 

      10. Освобождение числителя или знаменателя дроби от радикалов 98

      

      Глава III. Уравнения второй степени 

      

      

      § 4. Иррациональные уравнения 158 

      1. Общее понятие — 

      2. Постановка вопроса 

      3. Область допустимых значений неизвестной иррационального уравнения 159 

      § 4. Прямая пропорциональная зависимость 203 

      1. Общее понятие — 

      2. График прямой пропорциональной зависимости 204 

      

      § 5. Линейная функция 208 

      1. Общее понятие — 

      2. График линейной функции — 

      

      § 1. Понятие о числовой последовательности 270 

      1. Определение последовательности — 

      2. Задание последовательности с помощью формулы 271 

      3. Общий член последовательности 272 

      4. Другие способы задания последовательности — 

      

      4. Типы задач на арифметическую прогрессию 330 

      

      § 2. Геометрическая прогрессия 334 

      1. Определение — 

      2. Формула для n-го члена геометрической прогрессии. 336 

      3. Формула для суммы п последовательных членов геометрической прогрессии 340 

      4. Типы задач на геометрическую прогрессию 341 

      5. Сумма бесконечной геометрической прогрессии 345 

      6. Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную 348 

      

      Глава IX. Показательная и логарифмическая функция 

      

      § 1. Общие свойства степени 351 

      1. Понятие о степени с рациональным показателем 

      2. Свойства степени с рациональным показателем 

      1. Понятие о функции — 

      2. Общее обозначение функциональной зависимости 

      3. Область определения функции 404 

      4. Четные и нечетные функции 406 

      5. Периодические функции 40Э 

      6. Возрастающие и убывающие (монотоннее) функции 412 

      

      § 1. Расширение области действительных чисел 535 

      1. Понятие о числовом поле 

      2. Цель введения комплексных чисел 538 

      

      § 2. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 610 

      1. Понятие о системе уравнений 

      2. Решение системы двух уравнений — 

      3. Равносильность систем уравнений 611 

      4. Понятие о выводном уравнении — 

      5. Свойство выводного уравнения 612 

      6. Выводная система уравнений — 

      7. Способ уравнивания коэффициентов — 

      8. Способ подстановки 616 

      9. Неопределенная и противоречивая система 

      10. Геометрическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными 619 

      

      § 3. Исследование трехчлена второй степени 624 

      1. Знак трехчлена второй степени — 

      2. Геометрические соображения 637 

      

      § 4. Неравенства второй степени 640 

      1. Определение неравенства второй степени 

      2. Решение неравенств второй степени 641 

      

      § 5. Исследование уравнений и задач второй степени 646 

      1. Исследование числовых уравнений второй степени 

      2. Исследование решений буквенных (параметрических) уравнений 647 

      3. Исследование решений задач второй степени 651 

 Жене, другу, помощнице в труде Сарре Давидовне Гибш с любовью и благодарностью посвящает эту книгу автор 

      ОТ АВТОРА 

      Настоящая книга представляет собой учебное пособие для учителей по курсу алгебры IX—XI классов средней школы. 

      Автор стремился придать этому пособию три существенные особенности: 1) пособие предназначается для того, чтобы по возможности обстоятельнее и глубже выявить все основные понятия, идеи и методы курса алгебры IX— XI классов; 2) пособие строит изложение теории и ее приложений на методической основе, т. е. так, чтобы эта теория и ее приложения могли быть приняты учителем не только к руководству, но и к действию в процессе сообщения их учащимся; 3) пособие может быть в большей своей части использовано не только учителем при обучении, но и непосредственно самим учащимся при самостоятельном изучении им отдельных разделов алгебры. 

      Автор исходил из убеждения, что обстоятельное и глубокое изложение теории может быть достигнуто только посредством исчерпывающего раскрытия учителем основных понятий, идей и методов, и в связи с этим стремился сосредоточить на этом свое внимание и силы. Немаловажную роль должны сыграть в достижении этой цели приведенные в тексте примеры с их решениями и упражнения с необходимыми указаниями. 

      Пособие составлено в соответствии с новой программой по математике и содержит весь обязательный материал. Выходы за пределы этой программы вызваны исключительно стремлением достигнуть той обстоятельности, внутренней завершенности в изложении вопроса, которая является необходимой при систематическом сообщении определенного круга сведений. Учитель не сделает эти дополнительные сведения предметность преподавания, но все время будет находиться в области рассматриваемого вопроса во всеоружии и творчески использует их в целях пробуждения инициативы и интереса учащихся. 

      В пособии всюду, где это представляется возможным, выявляется и используется идея функциональной зависимости и ее геометрического представления. С этой целью, например, сведения о степенной функции с целым и дробным показателем вводятся и накапливаются постепенно, с тем чтобы в разделе «Функции и графики» они могли быть только приведены в систему. Точно так же понятия о монотонном изменении (возрастании и убывании) функций в данном промежутке, о достижении ими максимумов и минимумов в данной точке, о неограниченном возрастании или убывании функции (при стремлении независимой переменной к данному пределу или на бесконечности) рассматриваются в каждом случае, который представляется при изучении той или иной функции. Такой порядок построения курса и такая система постепенного накопления необходимых сведений о свойствах функций и способах их исследования позволяет сделать изложение специального раздела курса алгебры, посвященного указанным вопросам, наиболее естественным и сводящимся лишь к систематизации и научному оформлению материала, составляющего его содержание. 

      Этот специальный раздел, носящий заглавие «Функции и их исследование« Производная», содержит элементы математического анализа, введение которых в курс алгебры средней школы с полным основанием следует рассматривать как одно из крупнейших достижений в области преподавания физико-математических дисциплин в современной советской средней школе. Введение элементов математического анализа в курс математики средней школы, органически связанное с ним, в значительной мере определит его основные направления и идейное содержание и окажет влияние на повышение уровня преподавания смежных дисциплин. 

      При такой .оценке значения элементов математического анализа для курса математики средней школы автор стремился подойти к изложению этих элементов с особенным вниманием. То изложение, которое автор предлагает в настоящем пособии, в необходимой мере определилось программой и ее указаниями. Ввиду этого автору пришлось вслед за понятием о переменной, областью изменения которой служит последовательность, ввести понятие о непрерывно изменяющейся переменной и рассматривать каждую функцию именно как непрерывно изменяющуюся переменную; этот подход позволил свести понятие о пределе функции к понятию о пределе каждой непрерывно изменяющейся переменной. 

      В разделе, посвященном элементам, математического анализа, автор не счёл возможным ограничиться тем минимумом сведений, который указывается программой, но включил также рассмотрение понятия о стремлении переменной к +оо или -оо и относящиеся к этому понятию краткие сведения, без применения которых в дальнейшем сколько-нибудь полное исследование хода изменения функций оказалось бы невыполнимым. 

      При изложении предложений математического анализа, устанавливающих признаки возрастания и убывания функций и достижения ими максимумов и минимумов, автор сначала строит все выводы на геометрических соображениях, но завершает их аналитическими доказательствами, вполне доступными учащимся и вместе с тем в достаточной мере обосновывающими приводимые рассуждения. 

      Выбор примеров и упражнений, приводимых в книге, выполнен автором не только с целью предложить материал для приобретения учащимися соответствующих навыков, но и для того, чтобы содействовать более глубокому усвоению содержащихся в теории основных понятий и идей. В ряде прилагаемых решений примеров должна проявиться тенденция автора найти наиболее рациональные методы и способы нахождения ответов на прилагаемые вопросы. 

      При создании настоящего труда автор стремился дать каждому вопросу то решение, к которому он пришел в результате своей многолетней научно-педагогической деятельности. Он надеется, что эти решения не покажутся читателям неудачными, но будет обязан им, если они найдут возможным сообщить свои замечания по поводу отдельных мест книги или даже всего труда. 

      Автор считает своим долгом выразить самую глубокую благодарность за весьма ценное содействие в устранении недостатков книги и в некотором усовершенствовании ее следующим лицам: зав. кафедрой математики Кировского педагогического института Ф. Ф. Нагибину, проф. А. Г. Курошу и учителям К. П. Сикорскому, И. Б. Вейцману, А. А. Колосову и Т, Ф. Нечаевой.