Дело в том, что обычно в школе решению задач с конкретным содержанием предпосылается (без достаточных к тому методических оснований) практика решения уравнений с отвлеченными числовыми или буквенными коэффициентами, да, вдобавок, главным образом уравнений, не имеющих комплексных корней. Это создает у учащихся предвзятое убеждение в том, что задачу можно считать почти решенной, как только составлено отвечающее ей уравнение, поскольку они знают, что решить уравнение они смогут без труда. Поэтому на соответствующих образцах задач надо постараться рассеять упомянутое предубеждение и, вместе с тем (что особенно важно), продемонстрировать силу квадратного уравнения, как математического аппарата, позволяющего из одинаковых по виду задач отделить неразрешимые (то есть реально невозможные) от разрешимых (реально возможных). Образцами могут послужить, например, следующие две пары задач.

• 1. ОБРАЗЦЫ РАЗРЕШИМЫХ И НЕРАЗРЕШИМЫХ ЗАДАЧ.

Первая пара I. Равносторонний треугольник и прямоугольник имеют равные периметры и равные площади. Сторона треугольника равна т см. Найти стороны прямоугольника.

II. Правильный шестиугольник и прямоугольник имеют равные периметры и равные площади. Сторона шестиугольника равна т см. Найти стороны прямоугольника.

Условия этой пары задач весьма сходны и нет очевидных оснований предположить a priori, что заключения об этих задачах окажутся существенно различными. В действительности же, обозначив через х одну из сторон прямоугольника, мы получим для этих задач следующие уравнения:

I. 4х² -6mx-bm²./3 = 0, II. 2х² — бшх + Зш’/З = О,

а их корни имеют вид:

I. x₁₎₂ = i-m.(3=t/9-4]/T)_>

II. х^ш. (З =±4^9-6/3 ).

Так как 9 — 4]/3^>0, а 9—бу/з"<С0, мы обнаруживаем, что первая задача разрешима, то есть, что, каков-бы ни был правильный треугольник, можно построить такой прямоугольник (стороны его будут равны х_х см и х₂ см), площадь и периметр которого будут такими же как и у треугольника, тогда как вторая задача не разрешима (так как длины сторон не могут выражаться комплексными числами), то есть в природе не существует такого правильного шестиугольника и прямоугольника, у которых были бы одинаковы и периметры и площади.

Вторая пара. I. Водном кинозале на гл стульев меньше,

чем в другом, количество же рядов стульев в обоих залах одинаково. Если бы в первом зале помещали в каждом ряду по столько стульев, сколько имеется в каждом ряду второго зала, а во втором, наоборот, по столько—сколько в первом, то во втором зале получилось бы вдвое больше рядов, чем в первом. Сколько стульев в первом кинозале?

II. Два самолета (1-й и 2-ой) вылетают одновременно друг другу навстречу из пунктов А и В и летят с постоянными скоростями. К моменту встречи первый самолет пролетает на m км меньше второго и на перелет от пункта встречи до пункта В тратит вдвое больше времени, чем второй на перелет от пункта встречи до пункта А. Найти расстояние от пункта А до места встречи. '

Хотя конкретное содержание задач этой пары различно, однако уравнение для определения неизвестного (в первой задаче х— количество стульев в первом кинозале, во второй задаче х — расстояние от А до места встречи) получается одно и тоже, а именно:

л² — 2тл—т² = 0.

Казалось бы, поэтому, что и заключения относительно обеих задач должны быть сходными. Но обратившись к корням уравнения, х_1>2 = m it ]/2м2, мы обнаруживаем, что положительный корень . х_г = ш. (pp/f^-), который только и мог бы служить в этих задачах решением, для первой задачи оказывается числом иррациональным при любом количестве стульев ш, тогда как искомое число х должно быть целым.

В итоге оказывается, что из двух данных задач разрешима вторая, то есть, что ее условия реально возможны при любом заданном расстоянии гл, так как искомое может выражаться какими угодно положительными числами (расстояние может определяться как рациональными, так и иррациональными числами). Первая же задача неразрешима, ее условия реально не осуществимы, то есть такие расположения стульев, как указанные в задаче, нигде и никогда осуществить нельзя, независимо от того на сколько стульев m в одном зале меньше, чем в другом. Между прочим, эта задача не разрешима не потому, что в ее тексте имеется какая-то грубая житейская несообразность. В ней имеется чисто математическая несообразность и эта задача станет разрешимой, если в ее условии потребовать, например, чтобы после перестановки стульев во втором зале оказалось не вдвое, а вчетверо больше рядов, чем в первом.

• 2. ТАБЛИЦА ПРИЗНАКОВ ДЛЯ СУЖДЕНИЯ О КОРНЯХ УРАВНЕНИЯ ПО ЕГО КОЭФФИЦИЕНТАМ

Следующую ниже таблицу признаков можно считать вполне достаточной для того, чтобы по виду коэффициентов уравнений составить суждение о разрешимости или неразрешимости большинства задач, приводящих к полным квадратным уравнениям.

Если в уравнении Ах²+Вх+С=0 с вещественными коэффициентами считать А>0 и положить В²—4AC = D (дискриминант), то:

I. При D<0 — корни уравнения числа комплексные сопряженные.

Во всех остальных случаях (то есть при D>0) корни вещественны, причем:

II. При D=0, В<0—корни III. При D -О, В>0 —корни IV. При D>0, С>0, В<0

V. При D>0, С>0, В>0

VI. При D>0, С<0, В<0

VII. При D>0, С<0, В>0

равны и положительны;

равны и отрицательны;

— корни различны и положительны.

— корни различны и отрицательны.

— корни противоположных знаков и абсолютная величина у положительного корня больше.

— корни противоположных знаков и абсолютная величина у отрицательного корня больше.

- корни рациональны;

— один из корней число целое, а второй — не целое (рациональная дробь);

VIII. При рациональных - А, В, С и D равном квадрату рационального числа

IX. При целочисленных А, В, С, не имеющих общего отличного от единицы делителя, А=£1, D-=d², где d число целое, дающее при делении на 2А в остатке либо В, либо—В (то есть б=2Ак + В, где к любое целое число).

X. При А1, В и С целочисленных и D —d², где d число целое

— оба корня числа целые.

Эта таблица (по крайней мере ее первые восемь признаков) должна быть выведена учащимся подробным и понятным образом.Важность ее двоякая: во-первых, если учащийся ее помнит, то для большинства задач сможет проводить исследование, не прибегая к рассмотрению корней уравнения; во- вторых (и это важнее), если учащийся усвоил идеи вывода отдельных признаков, то и не помня самой таблицы, а лишь руководствуясь этими идеями, он сможет исследовать корни уравнения, ибо в большинстве случаев при исследовании корней уравнений, отвечающих конкретным задачам, применяются те же соображения, которыми пользуются для составления самой таблицы.

Практическим материалом для закрепления этой таблицы в памяти могут послужить, например, упражнения такого типа. Дано уравнение ЗхЦ-5х-}-К=0. Установить, при каких значениях буквы К:

I. Корни этого уравнения комплексны (ответ: при К>^).

II. Корни его положительны и равны (таких К не существует).

III. Корни отрицательны и равны (при К = 2|).

IV. Корни положительны и не равны (таких К не существует).

V. Корни отрицательны и не равны (приО<К<^|).

VI. Корни противоположных знаков и положительный корень по абсолютной величине больший (таких К не существует).

VII. Корни противоположных знаков и отрицательный корень по абсолютной величине больший (при К<0).

VIII. Корни рациональны (при К=^—щ-,’ где ри q любые целые числа, кроме q^O).

IX. Один корень целый, другой не целый (рациональная дробь), (при К =—Зп² + 5п, где п любое целое число).

X. Оба корня числа целые (таких К не существует).

Таких упражнений (по всем пунктам таблицы) не мешает проделать несколько, беря в уравнении каждый раз один из коэффициентов буквенный, а два других—численные. Более сложные примеры вряд ли принесут большую пользу. Ни в коем случае не следует опускать из рассмотрения те вопросы, которые приводят к отрицательным ответам (в предыдущем примере вопросы II, IV, VI, X).

• 3. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ КОНКРЕТНОГО ХАРАКТЕРА.

Эта подтема, будучи целевой, является самой важной,, однако и обе предшествующие, подводящие под нее базу, не должны считаться второстепенными и нуждаются в тщательной проработке. Переходя к решению задач с конкретной тематикой, следует прежде всего наметить схему последовательных этапов решения. Представляется более или менее удобным построение решения по следующей схеме:

1-й шаг. Характеристика данных и искомой величин.

2-й шаг. Составление уравнения и приведение его к простейшему виду.

3-й шаг. Суждение о корнях уравнения по его коэффициентам.

4-й шаг. Нахождение корней.

5-й шаг. Заключение.

Отдельные этапы этой схемы надо понимать и применять в нижеследующем аспекте.

1-й шаг. Из содержания задачи всегда можно заключить, какие характеристики ее данных величин и искомой являются реальными (положительность или отрицательность величин, их целочисленность, их сравнительная величина и т. п.). Эти характеристики надо привести для каждой из данных и для искомой величины в форме неравенств или словесных описаний. Если не придать задаче такой естественной определенности, то последующие исследования должны будут пойти по нескольким направлениям, часть из которых будет приводить к тем же заключениям, что и основной вариант, а другая часть — уводить к новым, по существу условным, заключениям, установление которых не оправдывается конкретным содержанием задачи. Например, если в задаче сказано, что одна длина больше второй на m см, то в качестве характеристики величины m нужно привести неравенство ш > 0, не рассматривая в дальнейшем случаев m < 0. Иначе мы погрешим не только против русского языка, но и против математики, так как говоря, что величина а больше величины в на отрицательную или равную нулю величину, мы теряем возможность пользоваться в математике теорией неравенств, в основе которой лежит эквивалентность неравенств а>в и а—в>0, тогда как неравенства а>в и а—всО являются противоречивыми.

Устанавливая характеристики буквенных данных, следует представить себе, как бы эти данные выглядели, если бы они задавались в задаче числами. Это и позволит охарактеризовать их наиболее естественным образом. В задаче с конкретным содержанием мы не имеем права привести, например, такое „численное* условие: „первая длина больше второй на—5см^и, вместо того, чтобы сказать: „первая длина меньше второй на 5 см, если считаемся с теорией неравенств, как с полноправным разделом математики. Русский язык достаточно богат для того, чтобы автор задачи мог оттенить каждую ее особенность. Если автору желательно, чтобы исследовались как положительные, так и отрицательные значения величины ш, он скажет, например, так: „первая длина отличается от второй на m см^и.

Так же, как и данные задачи, должна быть охарактеризована искомая величина, причем, если ищутся две или более величины одной и той же размерности, то с самого же начала следует указать, какая именно из них будет обозначена посредством х (опять таки, чтобы избежать возможного увеличения числа вариантов задачи);

2-й шаг. В рассмотрение этого этапа здесь входить не уместно, так как он представляет собой другую специальную тему алгебры—„составление уравнений Здесь следует только указать, что приводя уравнение к простейшему виду, надо бывает учитывать установленные на „1-м шагу* характеристики данных задачи, а, кроме того, пополнять их, если по ходу составления уравнения обнаруживаются дополнительные уточняющие характеристики.

3-й шаг. Здесь с помощью таблицы признаков по коэффициентам уравнения и характеристикам из „1-го шага* устанавливаются предварительные (а зачастую и окончательные) выводы о пригодности корней построенного уравнения в качестве искомых решений задачи, то есть о разрешимости или неразрешимости задачи.

4-й шаг. Если „на 3-м шагу* выяснено, что задача неразрешима, то корней уравнения, разумеется, находить незачем, а сразу можно сформулировать окончательное заключение. В противном случае корни надо найти (причем привести их к тому или иному удобному для исследований виду) и произвести исследование самих корней., с учетом, по прежнему, характеристик из „1-го и 2-го шагов* и используя результаты, полученные „на 3-м шагу*.

5-й шаг. В окончательном заключении резюмируются