Элементарная алгебра - пособие для самообразования (Туманов) 1960 год
Скачать Советский учебник
Назначение: Пособие для самообразования
В учебнике много примеров. Часто они предпосылаются определениям и утверждениям, которые естественным образом вытекают из этих примеров,
В начале курса освещен предмет математики, ее метод и ее практическое и культурное значение; даны разъяснения, помогающие учащимся освободиться от некоторых ошибочных взглядов на математику, которые в их среде нередко имеют место; разъяснен в некоторой мере вопрос об инициативном подходе к изучению математики.
В конце второй части курса освещены вопросы: об условиях необходимых и достаточных, о расширении понятия числа и об аксиоматическом методе в математике. Там же даны краткие исторические сведения о возникновении и развитии математических наук с древности и до наших дней.
© ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Москва 1960
Авторство: Туманов С.И.
Формат: PDF Размер файла: 43.5 MB
СОДЕРЖАНИЕ
Часть I
Предисловие 3
Учащимся о математике 5
Латинский алфавит 22
Греческий алфавит 22
Римские цифры 22
АЛГЕБРА
Что такое алгебра, или предмет алгебры. 23
Глава I. Положительные и отрицательные числа
- 1. Первоначальные понятия. 25
- 2. Четыре действия над положительными и отрицательными числами 30
- 3. Понятия «больше» и «меньше» применительно к положительным и отрицательным числам 42
- 4. Числовая ось 45
- 5. Геометрическое истолкование умножения. 46
- 6. Изменение величин 47
- 7. О выражениях вида + (+ 5); -}- ( — 5); — (5); — (— 5) и им подобных 50
Упражнения к главе I 50
Глава II. Употребление букв для обозначения чисел (Буквенная символика)
- 1. Первоначальные понятия. 53
- 2. Алгебраическое выражение 57
- 3. Зависимости между величинами 59
Упражнения к главе II 65
Глава III. Простейшие алгебраические выражения и действия над ними
- 1. Степень 68
- 2. Коэффициент. 69
- 3. Возведение в степень произведения, частного и степени 71
- 4. Классификация алгебраических выражений 72
- 5. Числовое значение алгебраического выражения. 75
- 6. Алгебраическая сумма 78
- 7. Подобные одночлены и их приведение 80
- 8. Сложение, вычитание и умножение одночленов 82
- 9. Сложение, вычитание и умножение многочленов 83
- 10. Раскрытие. скобок и заключение в скобки. 86
- 11. Основные формулы умножения. 87
- 12. Абсолютная величина числа 90
Упражнения к главе III. 95
Глава IV. Уравнения, решаемые с помощью только свойств первых четырех действий
- 1. Подготовительные примеры 99
- 2. Уравнение и его корень. 100
- 3. Примеры уравнении, решаемых с помощью только свойств первых четырех действий. 101
- 4. Решение задач при помощи уравнений 102
Упражнения к главе IV 103
Глава V. Тождества и тождественные преобразования
- 1. Тождества 105
- 2. Преобразование алгебраического выражения. 107
- 3. Выделение полного квадрата из многочлена 2-й степени 109
Упражнения к главе V 111
Глава VI. Практические и теоретические применения преобразований
- 1. Решение задач с помощью преобразований. 112
- 2. Наименьшее и наибольшее значение выражений вида ах2-(-с 113
- 3. Применения преобразований к решению задач на нахождение наименьшего и наибольшего значения выражений 114
- 4. Применения преобразований к решению теоретических вопросов 120
Упражнения к главе VI 122
Глава VII. Последующие правила действий над алгебраическими выражениями
- 1. Деление степеней и одночленов 124
- 2. Наибольший общий делитель 125
- 3. Деление многочлена на одночлен 126
- 4. Разложение многочленов на множители 127
Упражнения к главе VII 132
Глава VIII. Умножение и деление расположенных многочленов
- 1. Многочлен л-й степени 134
- 2. Умножение расположенных многочленов 136
- 3. Деление расположенных многочленов 137
- 4. Нахождение наибольшего общего делителя.многочленов с помощью разложения этих многочленов на неприводимые множители 143
- 5. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. 144
Упражнения к главе VIII 147
Глава IX. Алгебраические дроби
- 1. Первоначальные понятия и положения 148
- 2. Наименьшее общее кратное. 151
- 3. Сложение и вычитание дробей 152
- 4. Умножение и деление дробей 156
- 5. Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей 157
- 6. Общее преобразование рациональных выражений 158
- 7. Выделение целой части неправильной рациональной дроби 159
- 8. О символах а° и а~п 161
Упражнения к главе IX. 163
Глава X. Пропорции. Ряд равных отношений
- 1. Пропорции. 166
- 2. Производные. пропорции. 167
- 3. Определение. неизвестного члена пропорции. 169
- 4. Ряд равных отношений 170
Упражнения к главе X 171
Глава XI. Пропорциональность — прямая и обратная
- 1. Прямая пропорциональность 172
- 2. Обратная пропорциональность 175
- 3. Пропорциональное деление. 177
Упражнения к главе XI. 178
Глава XII. Начала теории уравнений
- 1. Уравнение как математическое выражение условия задачи 179
- 2. Общие понятия. 180
- 3. Классификация уравнений 182
- 4. Равносильные уравнения ?. 185
Упражнения к главе XII. «. 190
Глава XIII. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
- 1. Показ на примерах. 192
- 2. Правило решения уравнений первой степени с одним неизвестным 195
- 3. Некоторые особые случаи уравнений с числовыми коэффициентами 196
- 4. Дробные уравнения. 197
- 5. Уравнения, у которых правая часть есть нуль, а левая пред
ставляет собой произведение выражений, зависящих от неизвестного 200
- 6. Уравнения, у которых левая и правая части представляют собой произведения, имеющие общий множитель, зависящий от неизвестного 200
Упражнения к главе XIII 201
Глава XIV. Системы линейных уравнений
- 1. Система уравнений как математическое выражение нескольких условий задачи 203
- 2. Одно уравнение с двумя неизвестными 206
- 3. Одно уравнение с тремя неизвестными 207
- 4. Способы решения линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными, заданной в нормальной форме. 208
- 5. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, заданной в нормальной форме. 211
- 6. Некоторые примеры систем уравнений, решение которых удобно выполнять с помощью искусственных приемов 212
- 7. Решение системы двух линейных уравнений с помощью определителей 217
- 8. Решение системы трех линейных уравнений с помощью определителей 219
Упражнения к главе XIV " 221
Глава XV. Решение задач при помощи уравнений
- 1. Общие сведения. 223
- 2. Решение задач при помощи одного уравнения с одним неизвестным 226
- 3. Решение задач при помощи систем уравнений 228
- 4. Дополнительные примеры задач на составление уравнений и некоторые общие указания 229
Упражнения к главе XV 235
Глава XVI. Арифметический квадратный корень и несоизмеримые отрезки
- 1. Арифметический квадратный корень. 237
- 2. Теорема о точном значении У 2. 244
- 3. Несоизмеримые отрезки 245
- 4. Теорема о существовании несоизмеримых отрезков 246
- 5. О длине отрезка, несоизмеримого с отрезком, принятым за единицу длины 247
Глава XVII. Рациональные числа и их основные свойства
- 1. Некоторые предварительные замечания 249
- 2. Рациональная числовая область 250
- 3. Конечные и бесконечные десятичные дроби 250
- 4. О возможности изображения всякого рационального числа в виде бесконечной десятичной дроби 251
- 5. Основная теорема о рациональных числах 251
- 6. Рациональные точки числовой осн 252
Глава XVIII. Иррациональные числа и их основные свойства
- 1. О необходимости расширения рациональной числовой области 253
- 2. Существование на числовой оси точек, не являющихся рациональными 254
- 3. Понятие об иррациональном числе 255
- 4. Сравнение иррациональных чисел 261
- 5. Сложение и умножение иррациональных чисел. 262
*) § 6. Некоторые понятия и предложения элементарной теории множеств 265
Упражнения к главе XVIII 268
Глава XIX. Арифметические корни и действия над ними
- 1. Первоначальные сведения о. корнях 269
- 2. Основное свойство арифметического корня 271
- 3. Действия над арифметическими корнями 273
- 4. Некоторые важные преобразования 275
- 5. Нормальный вид корня 278
- 6. Подобные корни и их сложение. 278
- 7. Преобразование сложного корня. 279
- 8. О возможности нахождения значения любого арифметического корня с любой степенью точности 281
Упражнения к главе XIX. 282
Глава XX. Квадратные уравнения
- 1. Первоначальные сведения 287
- 2. Решение неполных квадратных уравнений 287
- 3. Решение полного квадратного уравнения 289
- 4. Примеры задач, приводящихся к квадратному уравнению 292
- 5. Квадратное уравнение вида ах2 -|- 2кх с = 0. 295
- 6. Приведенное квадратное уравнение 295
- 7. Свойства корней квадратного уравнения 296
- 8. Корень многочлена 297
- 9. Разложение многочлена ах2 Ьх с на множители. 298
- 10. Составление квадратного уравнения по его корням 299
- 11. Условие, при котором трехчлен Ахг -f- Вх -J- С представляет точный квадрат. 300
Упражнения к главе XX 300
Глава XXL Уравнения с числовыми коэффициентами, приводимые к квадратным
- 1. Биквадратное уравнение 302
- 2. Уравнения, являющиеся квадратными относительно выражения, содержащего неизвестное 303
- 3. Возвратные уравнения 3-й и* 4-й степени. 304
Упражнения к главе XXI. 306
Глава XXII. Иррациональные уравнения
- 1. Основные сведения 307
- 2. Иррациональные уравнения, содержащие только один радикал 309
- 3. Уравнения, содержащие два квадратных радикала 310
- 4. Некоторые искусственные приемы решения иррациональных уравнений 311
- 5. Способ решения иррационального уравнения с помощью системы рациональных уравнений 313
Упражнения к главе XXII 315
Глава XXIII. Функции и их графики
- 1. Переменные величины. 316
- 2. Функция одного аргумента ’. 317
- 3 Графическое изображение функции одного аргумента 320
- 4. Графический способ отыскания приближенных значений корней уравнения 326
- 5. Координаты на. плоскости ' 329
- 6. Геометрический образ уравнения 331
- 7. Геометрическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. 332
- 8. Уравнение равномерного движения. 334
- 9. График равномерного движения 334
- 10. График движения поездов 336
- И. График многочлена 2-й степени, т. е. функции у = ах?-[-Ьх.-\-с, где а # 0 337
- 12. Способы задания функции. 342
- 13. Область определения функции 345
- 14. Функции аналитически невыразимые 345
Упражнения к главе XXIII. 346
Глава XXIV. Алгебраический и графический способы решения систем уравнений степени выше первой
- 1. Алгебраический способ 347
- 2. Графический способ решения систем уравнений с двумя неизвестными 355
- 3. Применения аналитического способа решения систем к отысканию точек пересечения простейших линий 359
- 4. Системы трех уравнений с тремя неизвестными 364
Упражнения к главе XXIV. 369
Часть II
Глава XXV. Неравенства
- 1. Основные положения 370
- 2. Доказательство неравенств 372
- 3. Неравенства с одним неизвестным. 375
- 4. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным 376
- 5. Решение систем неравенств первой. степени 377
- 6. Решение неравенств второй степени 380
- 7. Примеры 385
Упражнения к главе XXV 389
Глава XXVI. Пределы
- 1. Возникновение понятия предела 391
- 2. Определение понятия предела 397
- 3. Различные типы стремления к пределу 398
- 4. Признак Вейерштрасса 400
- 5. Бесконечно малые 402
- 6. Свойства бесконечно малых. 403
- 7. Свойства пределов. 404
- 8. Бесконечно большие 405
- 9. Примеры вычисления пределов. 407
- 10. Теоремы о Ит А” при А> 1 и Пт qn при |g|< 1. 411
(***)§ 11- Функция Дирихле. 412
Упражнения к главе XXVI 413
Глава XXVII. Последовательности
- 1. Примеры и определения 415
- 2. Арифметическая прогрессия ’ 417
- 3. Геометрическая прогрессия 421
- 4. Понятие предела последовательности чисел. 427
Упражнения к главе XXVII. 428
Глава XXVIII. Ряды сходящиеся и расходящиеся
- 1. Возникновение понятия ряда. 429
- 2. Понятие ряда. 431
- 3. Примеры вычисления сумм сходящихся рядов. 431
- 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма 433
- 5. Примеры расходящихся рядов. 436
Глава XXIX. Обобщенная степень, показательная функция и показательные уравнения
- 1. Обобщенная степень 438
- 2. Измерение одночлена и однородные многочлены 441
- 3. Показательная функция 442
- 4. Показательные уравнения 446
Упражнения к главе XXIX. 449
Глава XXX. Логарифмы
- 1. Понятие логарифма. 450
- 2. Общие свойства логарифмов * 452
- 3. Основные теоремы 452
- 4. Логарифмирование произведения, частного, степени и корня 454
- 5. Практическое значение логарифмов 455
- 6. Свойства десятичных логарифмов 456
- 7. Таблица четырехзначных десятичных логарифмов Брадиса 460
- 8. Таблица четырехзначных антилогарифмов Брадиса 463
- 9. Примеры вычислений с помощью таблиц логарифмов 465
- 10. Переход от натуральных логарифмов к десятичным и обратный переход 466
- 11. Некоторые часто применяемые формулы, содержащие логарифмы 466
- 12. Потенцирование. 468
- 13. Логарифмические уравнения. 468
- 14. Графики логарифмических функций 473
Упражнения к главе XXX. 475
Глава XXXI. Комплексные числа
- 1. Возникновение выражений вида а-[-ЬУ. — 1. 477
- 2. Возникновение комплексного числа. 478
- 3. Основные понятия. 479
- 4. Четыре действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме. 480
- 5. Аффиксы комплексных чисел 481
- 6. Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел 482
- 7. Модуль и аргумент комплексного числа. 484
- 8. Выражение модуля и аргумента комплексного числа в зависимости от составляющих и выражение составляющих в зависимости от модуля и аргумента 487
- 9. Тригонометрическая форма комплексного числа. 488
- 10. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме 489
- И. Возведение в степень 490
(***) § 12. Общее определение корня и извлечение корня из комплексного числа. 491
(*#*) 13. Соответствие между сложением и вычитанием комплексных чисел и сложением и вычитанием векторов. 495
- 14. Задачи. 498
- 15. Комплексные числа как изображения физических величин 500
Упражнения к главе XXXI 505
Глава XXXII. Теорема Безу и ее применения
- 1. Иллюстрация теоремы Безу на примерах. 507
- 2. Формулировка и доказательство теоремы Безу 508
- 3. Применения теоремы Безу 510
Упражнения к главе XXXII 511
Глава XXXIII. Теорема Гаусса и свойства целой рациональной функции
- 1. Теорема Гаусса 512
(*♦*) § 2- Свойства целой рациональной функции 513
(***) § 3. Примеры разложения целой рациональной функции с действительными коэффициентами степени выше второй на действительные неприводимые множители 515
(***) § 4. Формулы Виета 519
Глава XXXIV. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- 1. Биквадратное уравнение 522
- 2. Возвратное уравнение 4-й. степени. 523
- 3. Двучленные уравнения 523
- 4. Трехчленные уравнения. 528
(%*) § 5. Целое алгебраическое уравнение 529
- 6. Отыскание рациональных корней целого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами 530
(***)§ 7. О решении уравнений 3-й и 4-й степени в общем виде 533
Глава XXXV. Некоторые системы уравнений высших степеней, решаемые искусственным путем 536
Глава XXXVI. Исследование уравнений
- 1. Общие сведения 540
- 2. Исследование уравнения первой степени с одним неизвестным 540
- 3. Исследование системы двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. 542
- . 4. Исследование квадратного уравнения. 544
- 5. Примеры 546
Глава XXXVH. Математическая индукция
- 1. Теоретические сведения 548
- 2. Применения метода математической индукции 550
(***) § 3. Доказательство неравенства
Глава XXXVIII. Соединения (комбинаторика)
- 1. Размещения 556
- 2. Перестановки. 559
- 3. Сочетания 560
(*♦*)§ 4. Соединения с повторениями. 563
Упражнения к главе XXXVIII. 570
Глава XXXIX. Бином Ньютона
- 1. Вывод формулы бинома Ньютона 571
- 2. Свойства разложения бинома 573
- 3. Свойства биномиальных коэффициентов. 573
- 4. Арифметический треугольник, или треугольник Паскаля 575
- 5. Примеры на бином Ньютона 576
Упражнения к главе XXXIX. 577
(*#*) Глава XL. Число е и его простейшие применения
- 1 Возникновение числа е 578
- 2. Простейшие применения числа е. 581
- 3. Формула Эйлера ebl = cos b. i’sin b. 584
- 4 Следствия из формулы Эйлера. 586
Упражнения к главе XL. 587
(*♦*) Глава XLI. Производная, дифференциал, интеграл и их простейшие применения
- 1 Производная. 589
- 2 Дифференциал. 599
- 3 Интеграл. 602
- 4. Максимум и. минимум функции. 613
Упражнения к главе XLI. 617
Об условиях необходимых и достаточных 619
О расширении понятия числа 621
Об аксиоматическом методе в математике
- 1. Опытное происхождение математики 629
- 2. О доказательствах в математике 629
- 3. Возникновение аксиоматического метода в математике 631
- 4. Недостатки прежнего аксиоматического метода и сущность современного 633
Краткие исторические сведения 638
Ответы и указания 663
О решениях восьми задач, помещенных в первой части курса во введении «Учащимся о математике» 676
Скачать бесплатный учебник СССР - Элементарная алгебра - пособие для самообразования (Туманов) 1960 года
СКАЧАТЬ PDF
ПРЕДИСЛОВИЕ
При написании настоящего курса алгебры автор ставил себе следующие цели.
1. Чтобы по этому курсу можно было изучить предмет без помощи преподавателя и притом не формально, а с достаточно ясным пониманием сущности алгебры, ее связи с другими науками и ее значения для практики. Иначе говоря, чтобы учебник был вполне пригодным для самообразования.
Такой характер учебника вызывается тем обстоятельством, что самостоятельная работа учащихся наших школ при ее современной перестройке должна приобрести гораздо больший размах и больший удельный вес, чем до сих пор.
2. Чтобы содержание курса и его изложение в возможно большей мере способствовали развитию математического мышления и помогали формированию у учащегося правильного материалистического взгляда на математику и другие науки.
3. Чтобы чтение курса пробуждало у учащегося интерес к алгебре и потребность к размышлениям над ее содержанием.
4. Чтобы учащиеся смогли ознакомиться с именами крупнейших русских и советских ученых и характером их работ, а также с именами крупнейших ученых других стран, имеющих выдающиеся заслуги в деле развития математических наук.
По мнению автора, содержание курса легко обозримо развивается в логической связи последующего с предыдущим и, насколько это возможно, удовлетворяет принципу переходить к абстрактному от конкретного.
Чтобы облегчить учащемуся переход от элементарной математики к началам высшей, чтобы в большей мере расширить его математический кругозор и тем самым помочь ему лучше подготовиться к учебной работе в вузе, в курс алгебры включены некоторые разделы, выходящие за пределы программы по алгебре для средней школы, утвержденной Министерством просвещения РСФСР на 1959/60 учебный год, а именно: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня n-й степени из комплексного числа в тригонометрической форме, основные свойства целой рациональной функции, нахождение рациональных корней целых уравнений с. целыми коэффициентами, формула Кардано, соединения с повторениями, логарифмы в области комплексных чисел.
Кроме того, в курс включены и некоторые вопросы, не являющиеся вопросами самой алгебры: некоторые понятия и предложения элементарной теории множеств, ряды сходящиеся и расходящиеся, число е и его простейшие применения, формула Эйлера ех‘ = cos х -f-1 sin х, производная, дифференциал, интеграл и их применения.
Все эти разделы (главы и параграфы) отмечены в учебнике тремя звездочками (%*).
Автор рассчитывает, что настоящий курс алгебры будет полезным учебником для довольно широкого контингента учащихся. Он предназначен:
1) для лиц, знающих основы арифметики и желающих самостоятельно изучить курс алгебры (полностью или частично);
2) для учащихся заочных средних школ как дополнительное пособие;
3) для лиц, имеющих полное среднее образование и готовящихся к поступлению в высшие учебные заведения с техническим или физико-математическим уклоном или в военные инженерные академии
Первой частью курса могут пользоваться учащиеся VII — VIII классов восьмилетней обязательной школы, а второй — учащиеся школ второго этапа как дополнительным пособием, по которому можно повторить и систематизировать пройденный материал по алгебре более углубленно.
Тем из учащихся, которые особенно интересуются и увлекаются математикой, настоящий курс алгебры поможет быстрее подготовиться к чтению более серьезной математической литературы.
Автор рассчитывает и на то, что преподаватели математики восьмилетней обязательной школы, школ рабочей и сельской молодежи и других типов школ, дающих полное среднее образование, найдут в этом курсе материал, полезный для работы с учащимися.
В учебнике имеется много примеров и задач для самостоятельных упражнений учащегося. Ответы и указания к ним даны частью в тексте, частью в конце книги. Некоторые примеры оставлены без ответов, имея в виду, что проверку полученных результатов в этих случаях учащийся сможет легко сделать и самостоятельно. Задачи, к которым в конце книги даны указания, отмечены в тексте звездочкой (*).
Автор полагает, что по этому учебнику можно приобрести не только теоретические знания, но и умение решать задачи и примеры по всему курсу алгебры.
Автор.
УЧАЩИМСЯ О МАТЕМАТИКЕ
1. Математика и ее значение
В общеобразовательных школах изучаются следующие математические предметы: арифметика, элементарная алгебра, элементарная геометрия и плоская тригонометрия.
Содержание этих четырех предметов в основном соответствует тому уровню математических познаний, который был достигнут человечеством до XVII века. Математические же познания, достигнутые в XVII и последующих веках, изучаются в соответствующих высших учебных заведениях и научных учреждениях.
Арифметика, элементарная алгебра, элементарная геометрия и тригонометрия относятся к разделу так называемой „элементарной математики". Математические же дисциплины, изучаемые в высших учебных заведениях, относятся к высшей математике.
Однако надо иметь в виду, что современная элементарная математика не изолирована полностью от идей высшей математики. Например, в книгах по элементарной математике можно встретить сведения о функциях, о координатах на плоскости, о графическом методе, о пределах, о суммировании рядов, о производной и интеграле, т. е. понятия, относящиеся к началам высшей математики.
Математика, так же как и другие науки, возникла, развивалась и развивается на основе производственно-практической деятельности людей. Так, например, начала арифметики и геометрии возникли в связи с самыми простейшими запросами хозяйственной жизни. Счет предметов, потребность измерять количества продуктов и производить расчеты при их обмене, потребность измерять протяженность дорог, площади земельных участков, размеры и вместимость сосудов, исчисление времени — все это и приводило к возникновению и развитию первоначальных понятий арифметики и геометрии. Вопросы астрономии привели к появлению зачатков тригонометрии еще в Вавилонии (Месопотамия) за много веков до нашей эры.
Слово „математика" происходит от греческого слова „цатгеца", что означает „познание", „наука".
Содержание и происхождение математики как науки точно и полно характеризуется следующими словами Энгельса: „Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и Ь, х и у, постоянные и переменные величины. Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики* (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 37).
Богатство содержания этого классического определения будет раскрываться полнее по мере расширения математических познаний читателя.
Остановим свое внимание сначала на том, что математика есть наука, изучающая связи между величинами и изучающая формы тел, поверхностей и линий. Поясним это на примерах.
Пример 1. Пусть требуется вычислить следующую сумму:
1.14- 2-24-3-34-4-44-. 4-997-9974-998-998 4-4-999.9994
(Эта сумма содержит тысячу слагаемых; каждое слагаемое есть произведение.)
Если эту сумму находить непосредственно, то нам придется выполнить тысячу раз умножение, а затем сложить тысячу полученных произведений. На все это понадобится не менее 20 часов. Между тем если воспользоваться соответствующим математическим законом*, то за одну минуту можно обнаружить, что искомая сумма равна
333 833 500.
Это число мы получили, вычислив значение выражения
1000.1001-2001
Здесь 1000 есть число слагаемых в данной сумме; число 1001 взято как число, большее числа слагаемых на единицу; число 2001
* Этот закон изложен во П части учебника в главе „Последовательности*. С помощью этого закона вычисляются в некоторых случаях площади и объемы и разрешаются многие другие вопросы.
Математика, Алгебра, Геометрия - Самообразование, самоучитель

МЕТКИ-СЕРИИ - Математика Алгебра Геометрия - Элементарное

Элементарная математика, Автор - Туманов С.И., Алгебра - Самообразование, самоучитель, Алгебра - Элементарное