ПРЕДИСЛОВИЕ

К наиболее серьезным и распространенным из этих недостатков нужно отнести следующие: 1) слабое знание свойств четырех арифметических действий и практического применения этих свойств при вычислениях и при решении задач; 2) недостаточное уменье решать сложные арифметические задачи и 3) недостаточное уменье разбираться в «типах» задач, незнание характерных особенностей основных типов, с которыми приходится иметь дело в работе с учащимися начальной школы.

Исходя из этих соображений, в сборник внесено большое количество упражнений и задач, относящихся к усвоению и применению свойств арифметических действий (главным образом, зависимости между изменениями компонентов). В основном разделе задачи расположены по типам, а в пределах каждого типа — в порядке возрастающей трудности, начиная с самых легких, вполне доступных даже учащимся 3 и 4-х классов, и кончая значительно более сложными и трудными. Кроме того перед задачами большинства типов дан краткий разбор структуры задач данного типа и объяснение основных способов решения. Последнее, по убеждению автора, крайне необходимо, так как сборник предназначается для самообразовательной работы (без помощи специалиста-преподавателя) и притом для работы учителя, который должен не только «уметь решать», но и глубоко понимать применяемые им способы решения и вместе с тем разбираться в математической структуре задач каждого типа и знать его характерные

особенности. Хорошее знание особенностей в строении задач каждого типа окажет учителю большую помощь в подборе задач, в установлении рациональной последовательности их при решении с учащимися в школе: поможет также, в случае надобности, и самому составлять подходящие задачи для учащихся.

Сборник состоит из двух разделов. В первом разделе даны упражнения и задачи с целыми числами, во втором — примеры и задачи с дробными числами. Первый раздел состоит из трех частей: 1) свойства арифметических действий, 2) задачи, расположенные по типам и 3) повторительные (смешанные) задачи. Во втором разделе сначала даны примеры и небольшие группы однотипных задач, характерных именно для дробных чисел, а затем идут смешанные задачи тех же типов (в основном), какие даны в разделе целых чисел.

Среди повторительных задач, особенно во втором разделе, наряду с задачами, вполне доступными для тех, кто добросовестно и внимательно разберется во всех задачах, расположенных по типам, будут встречаться и такие задачи, которые потребуют большого напряжения мысли.

Л. Георгиев.

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В процессе работы по данному сборнику нужно стремиться не только к тому, чтобы решить в нем любую задачу, но и к тому, чтобы разобраться в структуре задач каждого типа, понять происхождение одного типа от другого и сознательно овладеть способами решения задач каждого типа. Чтобы достигнуть этих целей, нужно внимательно изучить данные в начале большинства типов задач, краткие указания о структуре типа, его связи с другими типами и объяснение способов решения задач, относящихся к данному типу. В этих указаниях обычно разобраны простейшие задачи данного типа, так сказать, «чистые» типовые задачи, структура которых является основой типа. Но надо иметь ввиду, что такая (простейшая) задача всегда может быть усложнена с помощью внесения в ее условие тех или других новых данных, благодаря которым и способ ее решения усложняется (приходится выполнять большее количество действий). Однако, как бы ни была усложнена задача, но, если основное структурное ядро ее благодаря этому не меняется, она все же относится к прежнему типу. Решение таких усложненных задач обычно состоит из двух частей: в первой части производятся вычисления, направленные к тому, чтобы упростить задачу, превратить ее в «чистую» типовую, а во второй части выполняется тот ряд действий, который и составляет основной способ решения задач данного типа. Во многих случаях сложная задача представляет собою соединение задач двух и даже более разных типов.

Искусство решать сложные типовые задачи и состоит, главным образом, в уменьи узнавать тип задачи, отличать в ней основное, характерное для данного типа, от того, что является привнесенным, добавочным. А для этого необходимо прежде всего хорошо знать структуру и способы решения основных («чистых») задач каждого типа.

Что касается названий типов, данных в сборнике, то в большинстве случаев им даны те же названия, какие употребляются в программах по арифметике для начальной школы. Недостаток этих названий в том, что в основе их происхождения нет единого принципа: названия одних типов характеризуют структуру задач (напр.: нахождение чисел по их сумме и разности или по сумме и кратному отношению и т. п.), названия других говорят о способе решения (напр.: пропорциональное деление, нахождение неизвестного с помощью исключения одной из данных величин, задачи «на предположение» и т. п.), названия третьих указывают на тот конкретный материал, на котором построены задачи (напр.: задачи на «движение»). Этот разнобой в происхождении названий типов всегда существовал; существует, к сожалению, и в настоящее время.

В заключение объясним некоторые математические термины и выражения, которые будут употребляться в дальнейшем, при разборе структуры задач и способов их решения. Это необходимо сделать потому, что неправильное или неясное понимание терминов может привести к такому же не

правильному или неясному пониманию текста, в котором эти термины встречаются.

Термином «величина» называют все то, что поддается счету и измерению и, следовательно, может увеличиваться и уменьшаться, напр.: количество каких-либо однородных предметов, стоимость предметов, время, вес, расстояние (длина) и т. п. Каждую величину в целом следует рассматривать как нечто бесконечное, так как каждую из них можно мыслить сколь угодно большою. Так, например, количество каких-либо предметов может быть каким угодно большим, вес или стоимость предметов, время и т. д. также могут мыслиться бесконечно большими. В практике же вообще и в арифметических задачах, в частности, мы обычно имеем дело не с цельными величинами, а с их определенными частями, выраженными с помощью определенных чисел. Так, имея дело с количеством предметов, мы выражаем это количество в виде определенного числа, напр.: 5 яблок, 20 человек, 15 мешков и т. п. Имея дело с временем, выражаем его числами, обозначающими количество тех единиц, с помощью которых мы измеряем время, напр.: 40 минут, 10 часов, 5 месяцев и т. п. Число, с помощью которого мы выражаем ту или иную величину (вернее: определенную часть величины), называют числовым значением этой величины или просто: значением величины (слово «числовым» опускаем).

Многие величины находятся в определенной зависимости друг от друга. Так, например, зависимость между количеством одинаковых предметов и их стоимостью или их весом заключается в том, что с увеличением числа предметов увеличивается и их стоимость, увеличивается и вес, причем увеличивается во столько раз, во сколько раз будет увеличено число предметов. Если возьмем такие величины, как скорость движения (т. е. расстояние, проходимое предметом в единицу времени) и время, в течение которого движущийся предмет проходит определенное расстояние, то с увеличением скорости количество времени, необходимого для прохождения того же расстояния, уменьшится — и уменьшится во столько раз, во сколько раз будет увеличена скорость. Например, если для того, чтобы доехать от одного города до другого со скоростью 20 км в час, потребуются 6 часов, то, чтобы проехать это же расстояние со скоростью втрое большей (60 км), времени потребуется втрое меньше (2 часа). Величины, между которыми существует такая зависимость, называются взаимно-пропорциональными, причем если с увеличением значения одной величины в несколько раз во столько же раз увеличивается и значение другой величины, то эти величины называются прямо-пропорциональными (напр., количество одинаковых предметов и их вес); если же с увеличением значения одной величины в несколько раз значение другой величины уменьшается во столько же раз, то величины называются обратно-пропорциональными (напр., скорость движения и время).

Возьмем числовое значение одной величины, напр., 5 м материи, и числовое значение другой (пропорционально первой) величины, напр. 60 руб. Если эти значения связаны между собою (зависят одно от другого) так, что 60 руб. есть стоимость 5 м материи, то говорят, что они соответствуют одно другому. Для пояснения возьмем задачу: «За 2 кг конфект заплатили 24 руб. Сколько надо заплатить за 5 кг таких же конфект?» В данной задаче значение второй величины, выраженное числом «24 руб.», соответствует значению первой величины, выраженному числом «2 кг», (или наоборот), а искомое значение второй величины (стоимость 5 кг конфект) соответствует тому значению первой величины, которое выражено числом «5 кг».

В данной задаче кроме двух величин, значения которых выражены определенными числами, имеется еще третья величина, однородная с второй, — это стоимость единицы товара (цена). Но в условии задачи не дано ни одного числового значения этой величины, а только указано (с помощью выражения «таких же» конфект), что эти значения не изменяются при изменении значений двух других величин, т. е. цена за 1 кг конфект в обоих случаях одна и та же. Такую величину, числовых значений которой в условии задачи не дано, хотя при решении задачи с ними приходится иметь дело, мы в этих случаях будем называть скрытой величиной.