§ 6. Вычитание 33 

§ 7. Умножение 36 

§ 8. Деление 40 

§ 9. Особенности чисел 0 и 1 41 

§ 10. Понятие «больше» и «меньше» применительно к положительным и отрицательным числам 42 

Упражнения 44 

Глава II. Алгебраические выражения и формулы 

§ 1. Употребление букв для обозначения чисел 46 

§ 2. Степень 50 

§ 3. Коэффициент 51 

§ 4. Алгебраическое выражение и его числовое значение 53 

§ 5. Допустимые значения букв 54 

§ 6. Краткое название и полная словесная формулировка алгебраического выражения 55 

§ 7. Алгебраическая сумма 57 

§ 8. Одночлены и многочлены 59 

§ 9. Формулы 60 

§ 10. Предложения, связанные с понятием абсолютной величины 62 

Упражнения 66 

Глава III. Действия над алгебраическими выражениями и правила простейших преобразований 

§ 1. Понятие о действиях над алгебраическими (буквенными) выражениями 69 

§ 2. Понятие о преобразовании алгебраического выражения 70 

§ 3. Подобные одночлены и их приведение 72 

§ 4. Сложение, вычитание и умножение одночленов 74 

§ 5. Сложение, вычитание и умножение многочленов 75 

§ 6. Раскрытие скобок и заключение в скобки 79 

§ 7. Преобразование квадрата суммы и квадрата разности 81 

§ 8. Решение задач с помощью преобразований 82 

Упражнения 88 

§ 9. Простейший способ решения уравнений 90 

Упражнения 94 

 

Глава IV. Последующие правила преобразований и понятие о тождестве 

§ 1. Действия над степенями 96 

§ 2. Основные формулы умножения 98 

§ 3. Тождества и тождественные преобразования 101 

§ 4. Деление степеней и одночленов 104 

§ 5. Наибольший общий делитель 105 

§ 6. Деление многочлена на одночлен 106 

§ 7. Разложение многочлена на множители 107 

Упражнения 112 

 

Глава V. Алгебраические дроби 

§ 1. Первоначальные понятия и положения 114 

§ 2. Наименьшее общее кратное 117 

§ 3. Сложение и вычитание дробей 119 

§ 4. Умножение и деление дробей 123 

§ 5. Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей 124 

§ 6. Общее преобразование рациональных выражений 125 

§ 7. О символах ... 126 

Упражнения 128 

 

Глава VI. Пропорции. Ряд равных отношений. 

§ 1. Пропорции 131 

§ 2. Производные пропорции 132 

§ 3. Определение неизвестного члена пропорции 134 

§ 4. Ряд равных отношений 135 

Упражнения 136 

 

Глава VII. Прямая и обратная пропорциональность 

§ 1. Прямая пропорциональность 137 

§ 2. Обратная пропорциональность 140 

§ 3. Пропорциональное деление 142 

Упражнения 143 

§ 4. Пропорциональность квадрату или кубу 

У пражнения 144 

 

Глава VIII. Начала теории уравнений 

§ 1. Уравнение как математическое выражение условия задачи 146 

§ 2. Общие понятия 147 

§ 3. Классификация уравнений 150 

§ 4. Равносильные уравнения 152 

Упражнения 158 

 

Глава XVI. Квадратные уравнения 

§ 1. Возникновение квадратного уравнения из практической задачи 253 

§ 2. Полные и неполные квадратные уравнения 255 

§ 3. Приведенное квадратное уравнение 

§ 10. Теоремы ... 

Упражнения 401 

 

Глава XXIII. Последовательности 

§ 1. Примеры и определения 403 

§ 2. Арифметическая прогрессия 405 

§ 3. Геометрическая прогрессия 409 

§ 4. Понятие предела последовательности чисел 415 

Упражнения 416 

§ 5. Комплексные числа как аффиксы точек 558 

§ 6. Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел 557 

§ 7. Модуль и аргумент комплексного числа 558 

§ 8. Выражение модуля и аргумента комплексного числа в зависимости от составляющих и выражение составляющих в зависимости от 

модуля и аргумента 562 

Упражнения 669 

 

Глава XXXIX. Начальные сведения из теории вероятностей 

§ 1. Вероятность события 670 

Упражнения 672 

§ 2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий 673 

Упражнения 674 

Ответы и указания 819 

О решениях восьми задач, помещенных в разделе «Учащимся о математике» 855

  

 УЧАЩИМСЯ О МАТЕМАТИКЕ 

      

      1. МАТЕМАТИКА И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ 

      В обычный школьный курс математики входят следующие математические предметы: арифметика, элементарная алгебра, элементарная геометрия и тригонометрия. Содержание этих четырех предметов в основном соответствует тому уровню математических познаний, который был достигнут человечеством к началу XVII века. Математические же познания, достигнутые в последующее время, изучаются в соответствующих высших учебных; заведениях и научных институтах. 

      Арифметика, элементарная алгебра, элементарная геометрия и тригонометрия относятся к так называемой «элементарной математике». Математические же дисциплины, изучаемые в высших учебных заведениях, относятся к высшей математике. 

      Однако современный школьный курс математики не изолирован от идей высшей математики. Например, в нем имеются сведения о функциях, пределах, координатах, графическом методе и даже производной, т. е. сведения, относящиеся к началам высшей математики. 

      Математика, так же как и другие науки, возникла, становилась и развивается на основе производственно-практической деятельности людей. Так, начала арифметики и геометрии возникли в связи с самыми простейшими запросами хозяйственной жизни. Счет предметов, потребность измерять количество продуктов и производить расчеты при их обмене, знать протяженность дорог, площади земельных участков, размеры и вместимость сосудов, исчислять время — все это и приводило к возникновению и развитию первоначальных понятий арифметики и геометрии. Вопросы астрономии привели к появлению зачатков тригонометрии еще в Вавилонии (Месопотамия) за много веков до нашей эры. 

      Слово «математика» происходит от греческого слова ..., что означает «познание», «наука». 

      Содержание и происхождение математики как науки точно и полно характеризуется следующими словами Энгельса: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, х и у, постоянные и переменные величины... Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей: из измерения площадей "земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики». (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, М., Госполитиздат, 1S66, стр. 33.) 

      Глубина и богатство этого классического определения будут раскрываться перед учащимся все полнее по мере расширения его математических познаний. 

      Остановимся сначала на том, что математика есть наука о количественных отношениях. 

      Для определения объемов некоторых тел или площадей некоторых плоских фигур бывает необходимым вычислять суммы, подобные следующей: (...) 

      В качестве других количественных отношений, изучаемых с помощью математики, приведем, например, взаимосвязь между атмосферным давлением и высотой над уровнем моря или, скажем, количественные отношения между силой притяжения двух тел друг к другу, массами этих тел и расстоянием между их центрами тяжести. 

      Теперь приведем для иллюстрации примеры применения математики к изучению пространственных форм. 

      С помощью математики определяются орбиты планет, движущихся вокруг Солнца. 

      С помощью математики определяются площади поверхностей и объемы тел любой формы, длины кривых линий, изучается кривизна таких линий и кривизна кривых поверхностей и т. д. и т. п. 

      Без математики и ее методов нельзя изучить достаточно полно физику, механику, электротехнику, радиотехнику и прочие инженерные науки. Математика нужна при проектировании сколько-нибудь сложных сооружений. Начала арифметики нужны каждому человеку, а элементарные знания по геометрии и умение пользоваться буквенными формулами и графиками необходимы каждому квалифицированному рабочему и служащему. В целом же математика, как и всякая другая наука, является одним из средств познания закономерностей окружающего мира и раскрытия путей использования этих закономерностей в практической деятельности людей. 

      Но математика изучает не все содержание окружающих нас предметов и явлений. Например, с помощью только одной математики нельзя определить химический состав воды или изучить процессы, происходящие в живом организме. Математика изучает лишь количественные отношения и пространственные формы предметов и явлений. Другие же стороны явлений изучают иные науки (физика, химия, аэродинамика, радиотехника и т. д.). Сложные технические вопросы разрешаются совместными усилиями ученых и практиков различных специальностей, т. е. путем применения не одной науки, а одновременно нескольких соответствующих наук. Поэтому, зная только математику, нельзя построить, например, мост через Волгу. Вместе с тем такой мост нельзя построить и без математических расчетов. Следовательно, для сооружения крупного моста математические знания являются необходимыми, но не достаточными. Кроме математики, нужны еще строительная механика, материаловедение и многое другое. 

      Из сказанного выше ясно, что математика, выделяя количественные отношения и пространственные формы, оставляет в стороне все остальное, не являющееся предметом математического исследования. Например, изучая свойства шара, математика не интересуется ни его цветом, ни материалом, из которого он сделан. Изучая свойства чисел и правила действия над ними, математика оставляет в стороне конкретные величины и формулирует полученные результаты независимо от того, что этими числами выражено. Наряду с этим математика отличается еще и той особенностью, что все объекты, ею изучаемые, мыслятся абсолютно точными, идеальными. Поясним, что это значит. 

      Никакое физическое шарообразное тело (например, мяч, глобус или игрушечный воздушный шар) не может иметь абсолютно гладкую или, точнее говоря, идеально шаровую поверхность. Шарообразные же формы, изучаемые в математике, мыслятся абсолютно точными, имеющими абсолютно гладкую, идеальную шаровую поверхность. 

      Всякая линия, начерченная тушью или проведенная карандашом, имеет ширину и толщину. Линии же, изучаемые в математике, мыслятся имеющими только длину и не обладающими ни шириной, ни толщиной.