Скачать Советский учебник

Назначение: ДЛЯ IX КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Рекомендовано Министерством просвещения РСФСР в качестве учебного пособия

© "Просвещение" Москва 1964 

Авторство: Болтянский В.Г., Яглом И.М. 

Формат:DjVuРазмер файла: 4.58 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Геометрические преобразования.

Осевая симметрия.

Центральная симметрия.

Поворот.

Параллельный перенос.

Гомотетия.

Понятие о геометрическом преобразовании.

Векторная алгебра.

Сложение и вычитание векторов.

Умножение вектора на число.

Проекции и координаты вектора.

Скалярное умножение векторов.

Метрические соотношения в треугольнике.

Задачи и упражнения

Геометрические преобразования.

Векторная алгебра

Скачать бесплатный учебник  СССР - Геометрия (Болтянский, Яглом) 1964 года

СКАЧАТЬ DjVu

{spoiler=ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...}

 ГЛАВА VI

ПОНЯТИЕ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ

§ 32 Что такое геометрическое преобразование?

Осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетия имеют то общее" что все они "преобразуют" каждую фигуру F в некоторую новую фигуру F'. Поэтому их называют геометрическими преобразованиями.

Вообще, геометрическим преобразованием называют всякое правило, позволяющее для каждой точки А на плоскости указать новую точку Д', в которую переводится точка А рассматриваемым преобразованием. Если на плоскости задана какая-либо фигура F, то множество всех точек, в которые переходят точки фигуры F при рассматриваемом преобразовании, представляет собой новую фигуру F'. В этом случае говорят, что Г получается из F при помощи рассматриваемого преобразования.

Пример. Симметрия относительно прямой I является геометрическим преобразованием. Правило, позволяющее по точке А найти соответствующую ей точку А', в этом случае заключается в следующем: из точки А опускается перпендикуляр АР на прямую I и на его продолжении за точку Р откладывается отрезок РА' = АР (см. рис. 5).

Преобразования, которым были посвящены главы I-V, являются важнейшими в геометрии. Кроме них, в геометрии рассматриваются и многие другие преобразования; однако их изучение выходит за рамки курса средней школы.

§ 33 Сложение геометрических преобразований

Предположим, что мы рассматриваем два геометрических преобразования, одно из которых называем "первым", а другое "вторым". Возьмем на плоскости произвольную точку А и обозначим через Л' ту точку, в которую переходит А при первом преобразовании (рис. 90). В свою очередь точка А' переводится вторым преобразованием в некоторую новую точку Л". Иначе говоря, точка Л" получается из точки Л при помощи последовательного применения двух преобразований - сначала первого, а затем второго.

Результат последовательного выполнения взятых двух преобразований также представляет собой геометрическое преобразование: оно переводит точку Л в точку Л\ Это "результирующее" преобразование называется суммой первого и второго рассмотренных преобразований.

Пусть на плоскости задана какая-либо фигура F. Первое преобразование переводит ее в некоторую фигуру F' (рис. 90).

Вторым преобразованием эта фигура F' переводится в некоторую новую фигуру F". Сумма же первого и второго преобразований сразу переводит фигуру F в фигуру F".

Пример. Пусть первое преобразование представляет собой симметрию относительно точки Oif а второе преобразование - симметрию относительно другой точки О2. Найдем сумму этих двух преобразований.

Пусть Л - произвольная точка плоскости. Предположим сначала, что точка Л не лежит на прямой OiO2. Обозначим через Л' точку, симметричную точке Л относительно Оь а через Л"- точку, сим-метричную точке А' относительно О2 (рис. 91). Так как OjO2 - средняя линия треугольника ЛЛ'Л", то отрезок Л Л* параллелен отрез

ку ОА и имеет вдвое большую длину. Направление от точки Л к точке А9 совпадает с направлением от точки к точке О2. Обозначим теперь через МН такой вектор, что отрезки МН и 0t02 параллельны, отрезок МН в два раза длиннее отрезка и лучи МН и OiO2 имеют одно и тоже направление. Тогда АА9 = МН, т. е. точка Л* получается из точки Л параллельным пере носом на вектор МН. 

То же справедливо и для точки, лежащей на прямой Это легко получается из рассмотрения того же рисунка 91 (на котором ВВ" = АА" = MN).

Окончательно мы получаем: сумма симметрии относительно точки и симметрии относительно точки 02 представляет собой параллельный перенос (на вектор MN, определение которого по точкам Oj и 0.2 было описано выше; см. рис. 91).

§ 34 Движения

Осевая симметрия, поворот (в частности, центральная симметрия) и параллельный перенос имеют то общее, что каждое из этих преобразований переводит любую фигуру F на плоскости в равную ей фигуру F'. Преобразования, обладающие этим свойством, называются движениями. Гомотетия представляет собой (при Ifel^l) пример преобразования, не являющегося движением. Действительно, каждое движение переводит любую фигуру в равную ей фигуру, т. е. изменяет лишь положение фигур на плоскости; гомотетия же изменяет и размеры /*) /О фигур.

При выполнении самостоятельных работ, связанных с движениями мы пользовались листом кальки. Перемещая лист кальки, мы каждый раз убеждались, что фигура F, полученная из фигуры F рассматриваемым преобразованием, равна фигуре F. В случае pQ гомотетии такое использование кальки возможно: фигуры F и F' в этом случае не равны между собой.

Рис. 92. Роль движений в геометрии. Движения играют в геометрии чрезвычайно важную роль. Они не изменяют ни формы, ни размеров фигур, меняя лишь расположение фигуры. Но фигуры, отличающиеся лишь своим расположением на плоскости (рис. 92), с точки зрения геометрии совершенно одинаковы. Именно поэтому их и называют в геометрии "равными фигурами". Ни одно свойство геометрической фигуры не отличается от соответствующего свойства равной ей фигуры. Так, например, равные треугольники имеют не только одинаковые стороны, но и одинаковые углы, медианы, биссектрисы, площади, радиусы вписанной и описанной окружностей и т. д.

На уроках геометрии мы всегда считали равные фигуры (т. е. такие, которые можно совместить при помощи движения) одинаковыми или неразличимыми. Такие фигуры часто принимают за одну и ту же фигуру. Именно поэтому мы можем сказать, что, 48 

например, задача построения треугольника по двум сторонам а, b и заключенному между ними углу С имеет только одно решение. На самом деле, конечно, треугольников, имеющих данные стороны а и b и заключенный между ними угол С данной величины, можно найти бесконечно много (см. рис. 93). Однако все эти треугольники одинаковы, равны, поэтому их можно принять за "один" треугольник.

Таким образом, геометрия изучает те свойства фигур, которые одинаковы у равных фигур. Такие свойства можно назвать "геометрическими свойствами". Другими словами: геометрия изучает свойства фигур, не зависящие от их расположения. Но фигуры, отличающиеся только расположением (равные фигуры), - это те, которые можно совместить с помощью движения. Поэтому мы приходим к следующему определению предмета геометрии: геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях.

Движения и расстояния.

Итак, понятие движения играет в геометрии первостепенную роль. Движения ("наложения") использовались в VI фигур, для доказательства признаков равенства треугольников; понятие движения, как мы видели выше, позволяет также дать описание предмета геометрии.

Между тем в определениях понятия равенства фигур и понятия движения имеется пробел. В самом деле, равные фигуры определялись (в VI классе) как такие фигуры, которые могут быть совмещены наложением (т. е. движением). Движения же были определены выше как такие преобразования, которые переводят каждую фигуру в равную ей. Таким образом, равенство фигур определялось с помощью понятия движения, а движение в свою очередь определялось через понятие равенства фигур. С точки зрения логики здесь получается так называемый "порочный круг": первое понятие определяется через второе, а второе - через первое.

Для того чтобы устранить этот логический пробел, нужно дать определение движений, не опирающееся на понятие равенства фигур. Такое определение можно дать, используя понятие расстояния между точками.

Движениями называются такие преобразования плоскости, которые сохраняют расстояния между точками. Иными словами, геометрическое преобразование в том, и только в том случае является движением, если любые две точки Л, В оно переводит в такие точки Л', В', что АВ = А'В\

При таком определении понятия движения становится неочевидным, что осевая симметрия, центральная симметрия, поворот и параллельный перенос являются движениями, и это уже нужно доказывать.

Доказательства эти сравнительно несложны. Например, если точки А' и В' получаются из точек А и В симметрией относительно прямой, то АВ - А'В'. Действительно (рис. 94), /\APQ~&A'PQ (по двум катетам), следовательно, AQP = / A QP \\

AQ - A'Q. Далее, /. AQB = 90° - ? AQP = = 90° - Z, A'QP = / AQB\ Наконец, Л AQB~ = &A'QB' (по двум сторонам и заключенному между ними углу); следовательно, АВ = А'В'. (Другие случай расположения точек, Л, В и прямой / предоставляем рассмотреть учащемуся.)

Мы знаем, что две фигуры Fv и F* называются равными, если существует движение, переводящее фигуру Fx в Л'<2. Поэтому приведенное выше определение движения позволяет следующим образом определить равные фигуры, основываясь на понятии расстояния:

Дее фигуры Fx и F2 называются равными, если для каждой точки /It фигуры Fx можно указать соответствующую ей точку А2 фигуры Fif причем так, что расстояние между любыми точками А\, Bi фигуры Fi равно расстоянию между соответствующими им точками А2, В2 фигуры F2 (ср. со сказанным о подобных фигурах на стр. 45).

При таких определениях движений и равенства фигур теоремы 1 в § 5, 13, 18 и 23, ранее не доказывавшиеся, а лишь пояснявшиеся с помощью листа бумаги или кальки, могут быть строго доказаны. Эти доказательства совпадают с доказательством того, что рассмотренные в главах I-IV преобразования сохраняют расстояния между точками.

Движения в геометрии и физике. Отмеченный выше логический пробел в изложении геометрии не мешает, однако, правильному ее пониманию. Дело в том, что когда в VI классе говорят о "перемещении" и "наложении" фигур, то имеют в виду вовсе не геометрическое преобразование (движение), а физическое движение, т. е. механическое перемещение тела, как твердого целого. С понятием же механического перемещения тела каждый из нас хорошо знаком из повседневного опыта; поэтому использование "перемещения фигур" в геометрии не вызывает никаких неясностей.

Таким образом, понятие движения и понятие равенства фигур имеют опытное происхождение, связанное с наблюдением окружающего нас материального мира. Никакого другого, чисто геометрического определения этих понятий в школьном курсе геометрии нет.

Однако использование физических представлений характерно лишь для самых первых шагов геометрии; большинство же теорем доказывается "чисто геометрически": они выводятся из установленных ранее геометрических фактов.

Намеченное выше определение движений и равенства фигур с помощью понятия расстояния свободно от указанного на странице 49 логического пробела. Однако оно также не исключает использования физических представлений - только теперь эти физические представления будут относиться к процессу измерения расстояний.

Возможно и строго логическое построение геометрии, заключающееся в выводе всех предложений из небольшого числа аксиом, описывающих свойства основных геометрических понятий (точек, прямых, движений или расстояний и т. д.).

Каждую точку А плоскости можно совместить движением с любой другой точкой А'. При этом движений, переводящих точку А в точку А', существует бесконечно много. Среди них можно выбрать такое, которое совмещает произвольный луч а, исходящий из точки А, с заданным лучом d, исходящим из точки А'. Этим, однако, движение все еще не определяется однозначно; можно еще потребовать, чтобы определенная полуплоскость а., ограниченная прямой, по которой идет луч а, совместилась с выбранной полуплоскостью а', ограниченной прямой, по которой идет луч d (рис. 95). Все эти требования, вместе взятые, уже однозначно определяют движение плоскости, т. е. движение, переводящее точку А в точку А', луч а - в луч d и полуплоскость а - в полуплоскость d, существует только одно. Эти предложения в геометрии обычно не доказываются, т. е. их принимают за аксиому, описывающую свойства движений.

Полный список аксиом, из которых можно выводить все теоремы геометрии, не обращаясь к физическим представлениям, довольно велик и поэтому не может быть приведен в школьном учебнике.

{/spoilers}