• 22. Проценты 85
• 23. Задачи на нахождение процентов от числа 88
• 24. Задачи на нахождение числа по его процентам 91
• 25. Отношение. 94
• 26. Диаграммы. 99
• 27. Пропорции. 102
• 28. Представление обыкновенной дроби в виде конечной десятичной дроби. 106
• 29. Выполнение совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями. 110
• 30. Точки, симметричные относительно данной точки 119
• 31. Вертикальные углы 119

Глава 5. Рациональные числа.

• 32. Положительные и отрицательные числа 122
• 33. Координатная прямая 127
• 34. Противоположные числа. Рациональные числа. 130
• 35. Модуль рационального числа 133
• 36. Сравнение рациональных чисел. 137
• 37. Точки, симметричные относительно данной прямой 141
• 38. Фигуры, симметричные относительно данной прямой 145

Глава 6. Сложение и вычитание рациональных чисел.

• 39. Сложение рациональных чисел с одинаковыми знаками . 149
• 40. Сложение рациональных чисел с разными знаками 153
• 41. Переместительный и сочетательный законы сложения 159
• 42. Вычитание. 163
• 43. Координатная плоскость. 167
• 44. Алгебраическая сумма. 173
• 45. Уравнения. 176
• 46. Площадь прямоугольного треугольника 180
• 47. Площадь треугольника 183

Глава 7. Умножение и деление рациональных чисел.

• 48. Умножение 188
• 49. Переместительный и сочетательный законы умножения 193
• 50. Коэффициент 195
• 51. Распределительный закон умножения. 197
• 52. Подобные слагаемые. Приведение подобных слагаемых . 200
• 53. Деление. 203
• 54. Выполнение совместных действий над рациональными числами 207

Задачи повышенной трудности. 211

Вопросы для повторения

Упражнения для повторения материала по курсу математики 4-го и 5-го классов 219

Ответы 232

Учебное издание

Глава 1

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

В 4-м классе вы изучали натуральные числа, число нуль и дроби. В 5-м классе вы продолжите изучение дробей, научитесь записывать по-новому дроби, знаменатель которых единица с одним или несколькими нулями,— в виде десятичных дробей; узнаете, как выполняются действия с десятичными дробями.

• 1. Десятичные доли как разрядные единицы

Вы знаете, что наша система счисления десятичная: каждые десять единиц счета образуют новую, более крупную счетную единицу. Десять единиц образуют один десяток, десять десятков — одну сотню, десять сотен — одну тысячу и т. д. Счетные единицы 1, 10, 100, 1000 и т. д. называются разрядными единицами.

Доли и т. д. имеют знаменателем единицу

с одним или несколькими нулями. Такие доли называют десятичными долями. Десятичные доли тоже можно принять за разрядные единицы десятичной системы счисления, так как каждые десять одинаковых долей образуют новую, более крупную долю — новую разрядную единицу: ю 1 _10_ ₌ _± Ю 1

10 ’ 100 10 ’ 1000 100 * ^А*

Запишем разрядные единицы в порядке убывания, начиная с сотен: 100, 10, 1, — , —,

’ ’ ’ 10 ’ 100 ’ 1000 ’ 10 000 ’ 100 000 ’ 1 000 000

И т. д.

Чтобы записать эти разряды в таблицу, надо продолжить таблицу разрядов натуральных чисел вправо за разряд единиц (таблица 1). Первое место справа от единиц должен занимать

• 2. Запись дробей с помощью десятичных знаков. Чтение десятичных дробей

1. Дробь, знаменатель которой единица с одним или несколькими нулями, можно записать без черты дроби и не вычерчивая таблицу разрядов. Для этого после разряда целых единиц ставят запятую, на первом месте справа от запятой записывают десятые доли, на втором — сотые доли, на третьем — тысячные доли и т. д.

Например, число, содержащее 3 единицы и 5 десятых долей, записывают: 3,5. Число, содержащее 8 единиц, 9 десятых и 5 сотых долей, записывают: 8,95.

Если целая часть числа равна нулю, то в разряде целых единиц пишут цифру 0; если в дробной части числа отсутствуют единицы какого-либо разряда, то в этом разряде тоже пишут цифру 0.

Например, числа, данные в таблице 1, можно записать так: 0,3; 0,0009; 206; 5,08; 0,17; 2,503.

Цифры, стоящие в числе справа от запятой, называются десятичными знаками.

Например, в числе 0,3 — один десятичный знак, в числе 0,17 — два десятичных знака, в числе 2,503 — три десятичных знака.

Дробь, знаменатель которой единица с одним или несколькими нулями, записанную с помощью десятичных знаков, называют десятичной дробью.

Дробь с любым знаменателем, записанную с помощью черты дроби, называют обыкновенной дробью.

Примеры. 1) — число «три десятых» записано в виде

обыкновенной дроби (обыкновенная дробь

2) 0,3 — число «три десятых» записано в виде десятичной дроби (десятичная дробь 0,3 — нуль целых три десятых).

2. Читают десятичную дробь так: сначала называют целую часть (натуральное число или нуль), затем называют число, стоящее в дробной части (числитель дроби), и добавляют название низшего разряда в нем (знаменатель дроби).

Например, запись 12,4 читают: «двенадцать целых четыре десятых»; запись 0,09 читают: «нуль целых девять сотых»;

запись 1,3087 читают: «одна целая три тысячи восемьдесят семь десятитысячных».

Число, стоящее в дробной части, можно прочитать поразрядно. Например, запись 1,3087 можно прочитать и так: «одна целая три десятых восемь тысячных семь десятитысячных».

3. Десятичные дроби изображаются на числовом луче так же, как и обыкновенные дроби (рис. 1).

14. 1) Между какими двумя разрядами в десятичной дроби ставится запятая?

• —I—I—НН—I—НН—I—I—I—I—НН—I—НН—I—НН—I—I—I—I—|---

о 0,6 1 7,7 2 2,J л

Рис. 1

2) Сколько цифр содержит дробная часть чисел: 451,3; 0,24; 45,007; 0,1092? Как называются цифры, стоящие в записи числа справа от запятой?

3) Какие разряды имеются в данных числах: 0,32; 0,791; 0,3567; 0,58946?

4) Какие значения имеет цифра 5 в числе 555,555? цифра 2 в числе 0,2222? Сколько в каждом из этих чисел десятичных знаков?

15. 1) Назовите низший разряд числа, если оно имеет 2 десятичных знака; 4 десятичных знака; 6 десятичных знаков.

2) Назовите знаменатели дробей: 0,3; 0,56; 0,306; 0,0508.

16. Запишите с помощью десятичных знаков десятичные доли в порядке убывания, начиная с десятой доли и кончая миллионной долей.

17. Запишите число, состоящее из: 1) трех сотен; 2) трех единиц; 3) трех тысячных долей; 4) трех миллионных долей.

Прочитайте записанные числа.

18. Запишите в виде десятичных дробей числа, данные в таблице 2. Прочитайте записанные числа.

19. Запишите в виде десятичной дроби и прочитайте число, содержащее:

1) 2 единицы и 8 десятых долей;

2) 3 десятых доли и 7 сотых долей;

3) 5 десятков, 1 единицу и 9 сотых долей;

4) 7 сотен, 6 тысячных долей и 4 десятитысячных доли;

5) 4 десятка, 4 десятых доли, 4 сотых доли и 4 миллионных доли.

8

Сколько десятичных знаков содержит каждое из записанных чисел?

20. 1) Назовите число единиц каждого разряда в числах: 2,34; 21,564; 103,06708; 4506; 304056.

2) Назовите для каждого из данных чисел разряд, в котором записана цифра 7: 0,7; 7,072; 70,10747; 707,7707; 70002,2772.

21. Назовите, сколько всего содержится:

1) сотых долей в числе 0,08; 0,52; 0,90;

2) тысячных долей в числе 0,002; 0,071; 0,548; 0,030;

3) стотысячных долей в числе 0,00006; 0,00365; 0,08140.

22. Назовите низший разряд следующих чисел и прочитайте их:

1) 0,07; 0,0002; 0,00004; 0,000007;

2) 0,13; 0,067; 0,00605; 0,090301;

3) 0,567; 0,1011; 0,40221; 0,870004.

23. Прочитайте десятичные дроби:

1) 0,5; 0,07; 0,009; 0,00008; 0,000003;

2) 234,5; 23,45; 2,345; 0,2345; 0,02345;

3) 2,4; 23,24; 324,864; 1,5678; 0,15678;

4) 12,034; 0,020; 2,0900; 128,304; 600,00761.

24. Запишите в виде десятичных дробей числа:

1) 65 сотых; 1 целая 38 сотых; 50 целых 23 сотых;

2) 8 тысячных; 4 целых 2 тысячных; 73 тысячных; 801 тысячная; 500 целых 407 тысячных;

3) 9 десятитысячных; 56 десятитысячных; 104 десятитысячных; 4298 десятитысячных; 7009 десятитысячных; 50 целых 604 десятитысячных.

Сколько десятичных знаков содержит каждое из записанных чисел?

25. 1) В числе 658 отделите запятой справа налево одну цифру; прочитайте полученную десятичную дробь и запишите ее в виде суммы разрядных слагаемых.

2) В десятичной дроби 0,3956 перенесите запятую вправо на одну цифру; прочитайте данную и полученную десятичные дроби и представьте их в виде суммы разрядных слагаемых.

26. В каждой десятичной дроби перенесите запятую на одну цифру вправо и прочитайте полученные числа: