Скачать Советский учебник

Назначение: Пособие для учителей

© "Просвещение" Москва 1964 

Авторство: Болтянский В.Г., Яглом И.М.

Формат:DjVuРазмер файла: 7.34 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 3

Часть I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Глава I. Осевая симметрия

§ 1. Примеры и иллюстрации 7

§ 2. Определение осевой симметрии 12

§ 3. Самостоятельная работа   13

§ 4. Фигуры, обладающие осью симметрии   —

§ 5. Перегибание листа бумаги 15

§ 6. Самостоятельная работа 16

§ 7. Свойства осевой симметрии . 17

§ 8. Построение симметричных фигур . 19

§ 9. Примеры симметричных фигур 20

§ 10. Применение осевой симметрии к доказательству теорем 22

{spoiler=ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...}

 

§11. Задачи .     24

Задачи и упражнения к главе I

Определение осевой симметрии. Симметричные фигуры (27). Перегибание листа бумаги (29). Свойства осевой симметрии (29). Примеры симметричных фигур (30). Построение симметричных фигур (30). Применение осевой симметрии к доказательству теорем (31). Разные задачи (33).

Дополнения и методические указания к главе I

Наглядное представление о симметрии (35). Осевая симметрия как геоме-трическое преобразование (35). Геометрическая фигура как точечное множество (37). Построение симметричных фигур (38). Фигуры, обладающие осью симметрии (38). Осевая симметрия как результат движения (39). Фигура, симметричная отрезку (40). Основные свойства осевой симметрии (42). Фигура, симметричная объединению фигур (42). Пересечение фигур (43). Роль примеров м задач (45). О принципе Ферма (46). О задачах и упражнениях (47). Примеры решения задач (48).

Глава 11. Центральная симметрия

§ 12. Примеры и иллюстрации 49

§ 13. Определение центральной симметрии . 52

§ 14. Самостоятельная работа 53

§ 15. Фигуры, обладающие центром симметрии     54

§ 16. Центральная симметрия как поворот на 180° . . —

§ 17. Самостоятельная работа 55

§ 18. Свойства центральной симметрии   —

§ 19. Центр симметрии параллелограмма . . . . 57

§ 20. Задачи 58 

Определение центральной симметрии. Центрально-симметричные фигуры (59). Свойства центральной симметрии (61). Центр симметрии параллелограмма (62). Разные задачи (63).

Дополнения и методические указания к главе II

Общие указания к главе II (65). Объединение и пересечение фигур (66). Роль примеров и задач (67). О задачах и упражнениях (68). Примеры решения задач (68).

Глава III. Поворот

Задачи и упражнения к главе III

Обобщение понятия об угле (90). Обобщение понятия об отрезке. Вектор (91). Сегмент, вмещающий данный угол (92). Определение поворота (92). Свойства поворота (93). Разные задачи (94). Симметрия порядка п (95). Правильные многоугольники (96).

Дополнения и методические указания к главе III

Направленные углы и отрезки (97). Понятие поворота (99). Свойства поворота (100). Симметрия порядка п и правильные многоугольники (101). О задачах и упражнениях (102). Примеры решения задач (102).

Глава IV. Параллельный перенос

§ 32. Примеры и иллюстрации • 104

§ 33. Равенство векторов 166

§ 34. Определение параллельного переноса ... Ю9

§ 35. Самостоятельная работа ПО

^ 36. Свойства параллельного переноса . —

§ 37. Задачи 112

Задачи и упражнения к главе IV

Равенство векторов (115). Определение параллельного переноса (115). Свойства параллельного переноса (116). Разные задачи (117).

Дополнения и методические указания к главе IV

Фигуры, переходящие в себя при параллельном переносе (119). О понятии вектора (120). О задачах и упражнениях (123). Примеры решения задач (124).

Глава V. Гомотетия

§ 38. Гомотетия с положительным коэффициентом 124

§ 39. Гомотетия с отрицательным коэффициентом 126

§ 40. Самостоятельная работа 128

§ 41. Пантограф 129

§ 42. Свойства гомотетии 130 

§ 43. Гомотетия окружностей 133

§ 44. Точки пересечения медиан и высот треугольника . 139

45. Задачи 1 И

§ 46. Общее понятие о подобии 143

Задачи и упражнения к главе V

Определение гомотетии (145). Свойства гомотетии (145). Построение гомотетичных фигур (147). Гомотетия окружностей (П7). Разные задачи (149). Гомо-тетия и подобие (151).

Дополнения и методические указания к главе V

Гомотетия как точечное преобразование (152). Фигуры, переходящие в себя при гомотетии (153). Фигура, гипотетичная отрезку (154). Гомотетия окружностей (156). Замечательные точки треугольника (157). О подобных фигурах (157). О задачах и упражнениях (158). Примеры решения задач (159).

Глава VI. Понятие о геометрическом преобразовании

§ 47. Что такое геометрическое преобразование? 162

§ 48. Сложение геометрических преобразований 163

§ 49. Движения 165

Задачи и упражнения к главе VI

Примеры геометрических преобразований (168). Сложение геометрических преобразований (169). Движения (170).

Дополнения и методические указания к главе VI

Взаимно однозначные соответствия (170). Преобразование фигур (170). Дви-жения и расстояния (наглядные пояснения) (171). Движения и расстояния (очерк метрического построения геометрии) (172). Преобразования подобия (173). О задачах и упражнениях (175). Примеры решения задач (176).

Приложение к первой части. О решении задач на построение

§ 50. Расчленение условий задачи 170

§ 51. Задача 188

Задачи и упражнения к Приложению 181

Методические указания к Приложению

О так называемом «методе геометрических мест» (181). Схема решения задачи на построение (182). Примеры решения задач (182).

Часть II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Глава VII. Сложение и вычитание векторов

§ 52. Сумма двух векторов 184

§ 53. Сумма двух параллельных переносов   185

§ 54. Нулевой вектор   186

§ 55. Коммутативность сложения векторов . . .    187

§ 56. Ассоциативность сложения векторов. Сумма нескольких векторов . 188

§ 57. Вычитание векторов 191 

Определение суммы векторов; правило трех точек (193). Сумма двух парал-лельных переносов (194). Коммутативность сложения векторов. Правило парал-лелограмма (191). Ассонова живность сложения векторов; сумма нескольких векто-ров; условие замкнутости (195). Вычитание векторов (195). Противоположные векторы (19G). Поведение векторов при движениях (196).

Дополнения и методические указания к главе VII

Сложение векторов (197). Векторы на прямой (197). Поведение векторов при движениях (198). О понятии равенства векторов (199). Вычитание векторов (290). О задачах и упражнениях (200). Примеры решения задач (201).

Глава VIII. Умножение вектора на число

§ 58. Определение умножения вектора на число .    203

§ 59. Свойства операции умножения вектора на число 204

§ 60. Деление отрезка в данном отношении   206

§61. Следствия 208

§ 62. Задачи   209

Задачи и упражнения к главе VIII

Определение произведения вектора на число (211). Свойства умножения вектора на число (213). Деление отрезка в данном отношении (215). Середина отрезка (215). Центр тяжести треугольника (217).

Дополнения и методические указания к главе VIII

Определение умножения вектора на число (219). Поведение векторов при го-мотетии (219). Свойства операции умножения вектора на число (219). О решении задач с помощью векторов (221). О задачах и упражнениях (221). Примеры решения задач (222).

Глава IX. Проекции и координаты векторов

§ 63). Проекция вектора на ось 225

§61. Свойства проекции . . 227

§ 65. Координаты вектора   228

§ 66. Разложение вектора по осям координат   229

§ 67. Координаты суммы двух векторов и произведения вектора на число . —

§ 68. Связь между координатами вектора и координатами точки .... 230

§ 69. Связь координат вектора с тригонометрическими функциями .... 231

§ 70. Формулы приведения 234

Задачи и упражнения к главе IX

Проекция вектора на ось (236). Свойства проекций (237). Координаты вектора (237). Координаты суммы двух векторов и произведения вектора на число (238). Связь между координатами вектора и координатами точки (238). Связь координат вектора с тригонометрическими функциями. Формулы приведения (239).

Дополнения и методические указания к главе IX

Определение проекции вектора на ось (240). Вектор как пара чисел (241). Связь координат вектора и координат точки (241). Об определении тригонометрических функций (241). О задачах и упражнениях (242). Примеры решения задач (242). 

§ 71. Определение скалярного произведения 244

§ 72. Свойства скалярного произведения . 24")

§ 73. Вычисление скалярного произведения в координатах ........ 247

§ 74. Определение длины отрезка и величины угла . . 248

§ 75. Тригонометрические теоремы сложения . . 251

§ 76. Задачи 253

Задачи и упражнения к главе X

Определение скалярного произведения (255). Свойства скалярного произведения (255). Вычисление скалярного произведения в координатах. Нахождение длин отрезков и величин углов (256). Разные задачи (257).

Дополнения и методические указания к главе X

Определение скалярного произведения (259). Единственность скалярного произведения (260). Роль скалярного произведения (261). О задачах и упражнениях (261). Примеры решения задач (261).

Глава XI. Метрические соотношения в треугольнике

§ 77. Теорема косинусов 264

§ 78. Формула проекций —

§ 79. Вычисление площади треугольника по его элементам 265

§ 80. Теорема синусов 267

§ 81. Решение треугольников —

Задачи и упражнения к главе XI

Теорема косинусов (268). Площадь треугольника (269). Теорема синусов (269). Решение треугольников (270).

Дополнения и методические указания к главе XI

О решении треугольников (272). Численные примеры на решение треугольников (273). О задачах и упражнениях (274). Примеры решения задач (274).

Ответы и указания

Часть I 275

Часть II 285

Дополнительная литература ...... • «... 296

 

 {/spoilers}

Скачать бесплатный учебник  СССР - Преобразования. Векторы (Болтянский, Яглом) 1964 года

СКАЧАТЬ DjVu

{spoiler=ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...}

ПРЕДИСЛОВИЕ

В текущем учебном году в старших классах средней школы вводится новая программа по математике. В частности, курс геометрии IX класса посвящен изучению геометрических преобразований (осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетия) и элементов векторной алгебры. Обе эти темы ранее никогда не проходились в нашей школе, и введение их, на первых порах, вероятно, вызовет известные трудности. Можно надеяться, что трудности эти будут мало заметны учащимся, поскольку школьник всегда в новом учебном году изучает новый для себя материал. Но учителю, разумеется, всегда легче преподавать те разделы курса, где он может применить знания и навыки, полученные в процессе предшествующей работы, опереться на опыт старших товарищей, использовать методическую литературу. В текущем учебном году учитель геометрии в IX классе будет почти полностью лишен всего этого. Вот почему мы сочли своим долгом наряду с учебным пособием для учащихся IX класса написать и более обстоятельную книгу по тем же вопросам, предназначенную для учителя.

Положение учителя осложняется еще и тем, что разделы геометрии, подлежащие изучению в IX классе, существенно отличаются по своему характеру от других разделов. Традиционный курс геометрии, преподававшийся в школе до сих пор, по общему строению, по порядку прохождения материала, по идеям и методам восходит еще к знаменитым книгам «Начал» древнегреческого математика Евклида, написанным свыше двух тысячелетий тому назад. Новая программа по геометрии решительно порывает с евклидовскими традициями. Она проникнута совершенно иными идеями. Среди них в первую очередь надо указать на представление о фигуре как о множестве точек и о преобразовании как о своеобразной «геометрической» функции. Эти идеи, глубоко чуждые метафизическому мышлению Евклида, явились мощными движущими силами всего современного развития математики; они, бесспорно, должны быть отражены в школьных программах и учебниках. Другой характерной чертой современной математики  

является глубокая связь между всеми ее разделами, выражающаяся, в частности, в своеобразной «геометризации» алгебры и «алгебраи- зации» геометрии. Отражением этой черты современной математики является в новой программе тема о векторах: глубоко геометрическая по своему содержанию, тема эта не случайно носит название «векторной алгебры», поскольку предметом ее является создание своеобразного «геометрического исчисления», приспособленного для решения геометрических задач, но по форме очень близкого к аппарату обычной алгебры.

Важно подчеркнуть, что изучение геометрических преобразований и векторной алгебры не только способствует созданию более правильных и более современных взглядов на само содержание математики, но указывает также новые методы решения содержательных геометрических задач, чрезвычайно важные не только для самой математики, но и для ее приложений — в первую очередь для механики и физики. Огромная роль векторов для механики и для физики общеизвестна. Менее известно большое место, уделяемое современной физикой понятию геометрического преобразования. Место это таково, что рассмотрение симметричных фигур (бабочек, снежинок и пр.) и использование перегибания чертежа для доказательства геометрических теорем можно считать более характерным для современной науки, чем типичные для школы Евклида рассуждения, связанные с рассмотрением цепочек равных треугольников, имеющие несколько кустарный характер.

Выпущенное авторами пособие для учащихся демонстрирует один из вариантов реализации указанных выше общих идей в школьном преподавании. Мы понимаем, что при практической работе по новой книге у учителя возникнет много вопросов. Не следует думать, что настоящая книга сможет дать ему ответы на все эти вопросы, что она содержит поурочные разработки или детальные методические указания: ведь составление таких разработок и указаний было бы возможно лишь на основе опыта преподавания по новой программе, а темы «Геометрические преобразования» и «Векторная алгебра» вводятся в практику преподавания впервые. Тем не менее мы надеемся, что ознакомление с настоящей книгой окажет помощь учшелю в его работе.

Книга, предлагаемая вниманию читателя, имеет следующую структуру. Расположение и названия глав в ней полностью со-ответствуют учебному пособию для учащихся. В каждой главе имеются: 1) основной текст, напечатанный крупным шрифтом; 2) задачи и упражнения; 3) дополнения и методические указания. Текст, напечатанный крупным шрифтом (если его собрать воедино), представляет собой расширенный вариант пособия для учащихся (точнее, теоретической части пособия для учащихся). Более полное изложение будет, несомненно, полезно учителю, кое-что из содержащегося здесь дополнительного материала может быть использовано учителем во внеклассной работе или даже рассказано на уроке в классе. Дополнительный материал частично выделен в новые параграфы, отсутствующие в пособии для учащихся; изложение вопросов, разобранных в учебном пособии, также проводится здесь несколько подробнее. Весьма заметно увеличено, по сравнению с учебным пособием, количество рисунков. В частности, изложение почти каждого из рассматриваемых типов геометрических преобразований начинается с параграфа «Примеры и иллюстрации», содержащего наглядный материал, предваряющий систематическое изучение. Особое место среди дополнительного материала занимает приложение к первой части книги, посвященное задачам на построение, и параграфы 69, 70 и 75, содержащие новый (и, по нашему мнению, рациональный) вариант изложения начал тригонометрии.

Вслед за теоретическим материалом в каждой главе идут «Задачи и упражнения». Число задач увеличено по сравнению с пособием для учащихся более чем вдвое. Несмотря на то что пособие для учащихся выпущено большим тиражом, мы сочли нецелесообразным исключать из полного списка задач, помещенных в этой книге, задачи, вошедшие в пособие для учащихся. Объясняется это прежде всего тем, что авторы придают большое значение системе расположения задач, последовательности их решения и их связи с теорией. Кроме того, нам не хотелось ставить эту книгу в зависимость от пособия для учащихся, так как она представляет, по нашему мнению, и самостоятельный интерес (например, для студентов педагогических институтов). Наконец, составленный нами задачник является первым школьным задачником по темам «Геометрические преобразования» и «Векторы», и его полная публикация в одной книге, как нам кажется, создаст опре-деленные удобства для читателя (в первую очередь для учителя).

Некоторые задачи повторяются по два раза (см., например, задачи 81, 6666) и теорему на стр. 139, задачи 235 и 693 или задачу 482 и задачу 3 на стр. 210); здесь мы имеем в виду дать возможность сопоставить между собой разные решения одной задачи, что всегда поучительно. Более трудные задачи отмечены звездочками; эти задачи рассчитаны в основном для внеклассных занятий и для индивидуальных заданий более сильным учащимся. В конце книги приведены ответы ко всем задачам, для которых это возможно, а также указания к наиболее трудным задачам.

Большое место в книге занимают дополнения и методические указания, помещаемые в конце каждой главы (после задач и упражнений). Их основная цель—создать у учителя правильное представление о научном содержании изучаемой части курса. Здесь имеются также и некоторые прямые методические рекомендации. Дополнения и методические указания к каждой главе завершаются обсуждением предложенных задач; для ряда характерных задач приводятся подробные решения. 

В конце книги указан довольно большой список дополнительной литературы, который, бесспорно, окажется полезным читателю, пожелавшему глубже ознакомиться с новыми темами, вводимыми в школьный курс геометрии. Многие из указанных в списке литературы книг могут быть использованы во внеклассной работе с учащимися. •

Эта книга написана для учителя; однако нам кажется, что она может оказаться интересной и полезной и для наиболее сильных учащихся, пожелавших несколько выйти за пределы школьного курса. Разумеется, дополнения и методические указания к отдельным главам, как правило, не рассчитаны на школьников; эту часть книги учащийся может опустить. Мы надеемся, что книга будет полезна также студентам педагогических институтов. Этой категории читателей мы советуем, напротив, обратить особое внимание на дополнения и методические указания.

Пособие для учащихся, а также значительная часть настоящей книги неоднократно обсуждались педагогической общественностью. Мы считаем своим приятным долгом выразить искреннюю признательность всем лицам, принимавшим участие в обсуждении книги и оказавшим нам помощь советами и указаниями, в том числе В. Г. Ашкинузе, К. С. Богушевскому, В. А. Жарову, О. А. Котию, Е. Г. Крейдлину, С. В. Кудрявцеву, А. Д. Сему- шину, Р. С. Черкасову, С. И. Шварцбурду, А. А. Шершевскому

рову, А. И. Маркушевичу и 3. А. Скопецу.

В. Г. Болтянский, И. 1VI. Яглом 

{/spoilers}