Скачать Советский учебник

Назначение: Эта книжка предназначена школьникам, интересующимся математикой. Она посвящена одному из самых увлекательных разделов арифметики — приближению действительных чисел рациональными.

Авторство: Бескин Н. М.

Формат: DjVu, Размер файла: 0.9 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книжка предназначена школьникам, интересующимся математикой. Она посвящена одному из самых увлекательных разделов арифметики — приближению действительных чисел рациональными.

В последние годы среди некоторой части молодых математиков (да и не только молодых) появилось пренебрежительное отношение к «классической» и «чистой» математике в противовес «современной» и «прикладной». Такое противопоставление неправильно.

Во-первых, вся математика стоит на обширном фундаменте, и каждый математик должен быть знаком с основными классическими результатами. В частности, теория цепных дробей, представляющая раздел классической чистой математики, в настоящее время широко применяется для вычисления значений функций при помощи ЭВМ.

{spoiler=ОТКРЫТЬ:  ПРЕДИСЛОВИЕ полностью...}

 

Во-вторых, в процессе развития науки многие старые разделы и теории теряют значение и засыхают, как ветви дерева. Многие, но не все! Есть теории, существующие много столетий (иногда даже тысячелетия) и тем не менее сохранившие свою актуальность.

Цепные (раньше был принят термин «непрерывные») дроби — одно из самых совершенных творений математиков XVII—XVIII веков (Гюйгенса, Эйлера, Лагранжа, Лежандра). Знакомство с их свойствами поражает воображение.

При чтении этой книжки надо иметь в виду два обстоятельства.

1. В ней два разных уровня трудности: крупным шрифтом изложен легкий материал, а мелким — более трудный. Мелким шрифтом даются доказательства трудных теорем, и его можно пропустить без ущерба для понимания. В этом случае соответствующие теоремы придется принять на веру.

Но лучше его не пропускать!

Математика — не только занимательное чтение. Будущий математик (а также физик или инженер) должен приобрести опыт в проведении сложных выкладок и доказательств. Возьмите карандаш и бумагу и тщательно проработайте мелкий шрифт. Может быть, Вам удастся упростить некоторые доказательства или заменить их лучшими.

2. Теория цепных дробей весьма обширна. В этой книжке изложены лишь основные факты. Однако здесь есть все, что полезно знать каждому, интересующемуся математикой. Специалисты должны знать больше.

Ник. Бескин

{/spoilers}

Скачать бесплатный учебник  СССР - Замечательные дроби (Бескин) 1980 года

СКАЧАТЬ DjVu

{spoiler=ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...}

 ГЛАВА I

ДВЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАГАДКИ

§ 1. Загадка Архимеда

1. Архимедово число. Многие полагают: чтобы найти что-нибудь необыкновенное, надо отправиться очень далеко, лучше всего — в космос или на дно океана; в обыденной жизни вокруг нас все хорошо известно и ничего интересного нет.

Какое заблуждение! Мы окружены загадочными явлениями, но не задумываемся над ними, потому что они привычны. В этой главе будет рассказано о двух загадочных (хотя и всем известных) фактах из истории математики.

Школьники всего мира знают из курса геометрии, что Архимед нашел для числа л1 приближенное значение 22/7. 1 К этому факту так привыкли, что не подозревают, какая в нем скрыта тайна. Многие ли задают себе вопрос: почему Архимед выбрал именно седьмые доли? А что будет, если приближенно выразить я в восьмых долях?

Этот вопрос оказывается очень интересным.

2. Аппроксимация. В различных разделах математики встречаются задачи такого типа: некоторый объект (число, функцию, фигуру и т. д.) заменить другим объектом той же природы, но более простым и достаточно близким к данному. Такая замена называется аппроксимацией или приближением. В каждом конкретном случае в множестве объектов, подлежащих аппроксимации, должно быть выделено подмножество ’ объектов, которые считаются более простыми, и должно быть определено, что значит «достаточно близкие». Нам не потребуется изучать задачу аппроксимации в столь общей форме. Мы будем говорить о частном случае — аппроксимации действительных чисел.

Рассмотрим множество всех действительных 2 чисел. Его принято обозначать буквой R (первая буква

1706 г. впервые обозначил буквой я отношение длины окружности к длине диаметра. С 1736 г. этим обозначением стал пользоваться Л. Эйлер (ранее употреблявший букву р). С тех пор оно стало общепринятым.

1 На самом деле Архимед в сочинении «Измерение круга» сформулировал этот результат несколько иначе. Он указал

10 о 1

границы для я: 3^у<Л<3-^-. Вот как это сказано у Архимеда: «Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых».

В употребление вошло значение 3-~ как более простое, хотя Я ближе к 3— t

2 Иногда их называют вещественными.

французского слова reel — действительный). Действительные числа могут иметь сложную природу (иррациональные числа) или быть громоздкими (дроби 1 с большими знаменателями).

Здесь надо пояснить, почему громоздкость дроби оценивается величиной знаменателя, а не числителя. Если мы интересуемся не столько величиной действительного числа а, сколько его арифметической природой, то нам важно положение этого числа между последовательными целыми числами п и п+1. Сдвиг числа а по числовой оси на целое число не меняет его арифметической природы.2 На рис. 1 отмечены числа а и 3 + а, не различающиеся своим положением

на отрезках3 [О, 1] и [3, 4]. Число = 97 — нет

4 4

о

оснований считать более сложным, чем —. Мы могли бы ограничиться изучением природы чисел на отрезке [О, 1]: на каждом отрезке [п, п+ 1] повторяется та же картина. Вот почему, оценивая сложность дроби, мы интересуемся ее знаменателем, а не числителем.

1 Напомним, что дробь — это число где р и q — целые

числа и <7^0. Таким образом, числа ^ 3 или Л_ не дроби

3 2

2 Сказанное не относится к разделу арифметики, изучающему целые числа.

3 Определение термина «отрезок» дано в п. 23.

Из множества действительных чисел R выделим подмножество дробей с данным знаменателем q. Расстояние между числом, а и дробью—есть |а— — |.

Я Я

Теперь задача об аппроксимации действительных чисел может быть сформулирована так: дать приближенное выражение действительного числа а в виде дроби со знаменателем q, значит из всех дробей со знаменателем q найти ближайшую к числу а.

Если на числовой оси нанесены все дроби со знаменателем q, то число а попадет между двумя такими дробями (случай, когда а совпадает с одной из них. неинтересен):

a < JL.

Я Я

Из этих дробей выбирается та, которая ближе к а (рис. 2).

Ы.

 

Рис. 2.

Может случиться, что а есть середина отрезка [fizi.fl. В этом (и только в этом) случае задача имеет два решения. Для определенности можно условиться отдавать предпочтение левому концу.

{/spoilers}