• 13. Конъюнкция множеств 100
• 14. Условное суждение. Логическая постоянная «если., то.» 110
• 15. Условие достаточное и условие необходимое 114
• 16. Конверсия условного суждения. Логическая постоянная «если, и только если» 120
• 17. Об эквивалентности уравнений (неравенства) 124
• 18. Эквивалентности логики, употребительные в математике 127
• 19. Условие: достаточное и необходимое 135
• 20. «Сильные» и «слабые» суждения 139
• 21. Прямая и обратная теоремы 142
• 22. Применение постоянной «не» к условному суждению. Противоречащие условные суждения. 145
• 23. Инверсия и контрапозиция условного суждения. Четыре вида теорем 147
• 24. Условно-категорический силлогизм 149
• 25. Формы условно-категорического силлогизма, не дающие вывода 156
• 26. Взаимная истинность основных видов условного суждения 162

Глава вторая

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ МЫШЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

• 27. Закон достаточного основания. Составные части доказательства 171
• 28. Необходимые условия правильного доказательства, связанные с законом достаточного основания 179
• 29. Приемы изыскания достаточных оснований доказательств 180
• 30. Закон тождества. Ошибки в доказательствах, связанные с нарушением требования этого закона 187
• 31. Закон непротиворечивости 194
• 32. Доказательство ложности суждений 197
• 33. Закон исключенного третьего 204
• 34. Доказательство способом от противоречащего 206
• 35. Доказательство конверсных суждений 213
• 36. Неконструктивное разделительное доказательство 216
• 37. Прием доказательства, основанный на исчерпывании всех частных случаев доказываемого суждения. 226
• 38. Доказательство «методом математической индукции» 232

Краткие выводы 242

ПРИЛОЖЕН ИЕ

А.

Из материалов вступительных экзаменов в некоторые вузы г. Львова (1951—1955 гг.) 253

В.

Упражнения для учащихся • 263

Упражнения на установление «значений истинности» математических суждений 263

Упражнения на различение математических выражений 265

Упражнения на использование символов «( )» и «(E)», заменяющих кванторы общности и существования. 266

Упражнения на правильное формулирование суждений, содержащих кванторы общности или существования. 270

Упражнения на правильное применение кванторов общности и существования 271

Упражнения на перестановку кванторов общности и существования 272

Упражнения на суждения, содержащие численные кванторы 273

Упражнения на логические постоянные «и», «или», «либо» - 277

Упражнения на понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» в связи с условным суждением. 282

Упражнения на преобразование условного суждения 293

Упражнения на логическое отрицание суждений. 294

Упражнения на отрицание суждений, содержащих кванторы общности или существования 294

Упражнения на отрицание суждений содержащих логические - связи я<и», «или». 296

Упражнения на построение отрицания условного суждения 300

Упражнения на построение альтернативных формулировок 300

Упражнения на логический анализ суждений 301

Упражнения на логический анализ суждений, содержащих численные кванторы 303

Упражнения на логический анализ суждений, содержащих оператор «множество всех чисел х, таких, что» • • 305

Упражнения на понятие множества, основные отношения между множествами и логические операции над ними 306

Уроки 310

Урок по алгебре в 7-ом классе 310

Урок по алгебре в 8-ом классе 314

Из конспектов уроков по геометрии в 6-ом классе 318

Литература 324

ВВЕДЕНИЕ

В связи с решением XIX съезда КПСС о введении политехнического обучения в общеобразовательную школу меняется целевая установка советской средней школы: общеобразовательная школа должна подготовить молодежь, как к поступлению в высшие учебные заведения, так и к практической деятельности; особо важное значение стало придаваться развитию познавательных способностей учащихся, совершенствованию их творческих интеллектуальных сил, воспитанию у них самостоятельного мышления.

Соответственно этому изменяются характер воспитательных и образовательных Целей школьного курса математики; большое значение стало приобретать: 1) развитие умений и навыков самостоятельной работы учащихся как в классной, так и в домашней обстановке; 2) развитие у учащихся пространственных представлений и пространственного воображения; 3) воспитание логического мышления.

Подъем идейно-теоретического уровня преподавания математики в школе и более глубокое усвоение знаний неразрывно связаны с воспитанием и развитием правильного логического мышления учащихся.

Снятие в учебном плане школы логики как самостоятельного предмета преподавания существенно предполагает, что развитие логического мышления учащихся в большей мере, чем это имело место в прошлом, должно осуществляться в процессе преподавания общеобразовательных дисциплин.

При планомерном целесообразно-организованном преподавании воспитание мышления вполне возможно на любом предмете. Однако

общепризнана исключительная роль математики в развитии логического мышления: в процессе преподавания математики можно воспитывать разнообразные логические навыки в большей мере, чем в преподавании любого другого предмета.

Элементарная математика, вследствие простоты и общности ее основных понятий и единообразия методов заключения, служит особенно подходящим материалом для иллюстрации основных логических операций. И это бесспорно, ибо «Элементарная математика, математика постоянных величин, движется, по крайней мере в общем, и целом;, внутри границ формальной логики.» [1, 127]¹.

Изучение математики само по себе организует мышление учащихся, предъявляя к ним вполне определенные логические требования. Действительно, изучая пространственные формы и количественные отношения объективного мира, математика относится к числу особо точных и логически последовательных наук; ее аксиомы, определения, теоремы и их доказательства естественным путем вводят учащихся в область логических категорий и логических операций; каждый из предметов школьного курса математики строится таким образом, что последующие истины вытекают из предыдущих и ими обосновываются. Логические понятия пронизывают всю математику, логические законы — будто сознательно или бессознательно! — постоянно используются в математических рассуждениях.

И тем не менее воздействие математики на развитие логической культуры учащихся будет незначительным, мало эффективным, если преподавание математики происходит так, что учащиеся только лишь пассивно воспринимают (в основном памятью) ход рассуждений (доказательств), построенных учителем или изложенных в учебнике, не осознавая логической структуры умозаключений, составляющих это доказательство, и не усматривая характерного, типичного в доказательстве. При таком преподавании математика не оказывает на мышление учащихся того развивающего влияния, которое она может оказать и которое по праву ей приписывается.

В свое время Г. Гельмгольц» указывая на недостаточное развитие самостоятельного мышления у студентов немецкого университета, предлагал восполнить этот пробел путем улучшения преподавания математики в средней школе. Основоположник русской педагогической науки К. Д. Ушинский, считая предложение Гельмгольца частичным, в связи с этим писал: «Мы же полагаем, что гимназическое подготовление в этом отношении до тех пор не будет удовлетворять университетским требованиям, пока в нем не будет обращено должное внимание на развитие логического мышления в учащихся. Но не одно преподавание логики как отдельной науки может и должно пополнить этот пробел. Столь же важно, если еще не важнее, чтобы все предметы преподавались логически: чтобы занятие каждым предметом развивало логичность в мыслях учащегося.

■ 1) Здесь и в дальнейшем символ «[ ]» обозначает ссылку на литературу (в конце книги): первая (римская) цифра указывает номер работы, вторая — страницу.

Такая логичность может и должна быть проведена в низших и средних учебных заведениях.» [III, т. 3, стр. 353—354].

Преподавая математику, учитель должен систематически активизировать мышление учащихся, совершенствовать их логические навыки, знакомить учащихся с важными и необходимыми явлениями логического характера на изучаемом материале, наиболее подходящим для этой цели.

Только такое преподавание может дать учащимся такие строго систематизированные и глубокие знания основ математики, которые могут быть использованы как метод, как оружие дальнейшего усвоения новых знаний; только такое преподавание может обеспечить перенос привычки к точному и последовательному мышлению на другие области науки и жизни.

Данная работа относится к известной проблеме дидактики: «воспитание мышления в процессе обучения» и имеет целью содержательно обосновать необходимость и возможность введения элементов современной формальной логики в практику преподавания школьного курса математики.

Общими положениями, характеризующими актуальность работы, служат следующие:

1. Целью преподавания математики является не только сообщение учащимся суммы сведений, необходимых и полезных для жизни, но и выработать у них прочные навыки правильного логического мышления, столь необходимые в деле воспитания всесторонне развитого строителя коммунистического общества.

В настоящее время в отношении усвоения математического материала и его практических приложений средняя школа достигла в общей сложности заметных успехов, но в части развития логического мышления, в деле выработки у учащихся навыков практического овладения законами логики во многих случаях все еще не наблюдается ощутимых достижений.

2. В преподавании школьного курса математики неоднократно встречаются моменты, когда возможность сознательного и глубокого усвоения изучаемого материала необходимо предполагает наличие у учащихся знаний существенно логического характера.

3. Логические ошибки в математических рассуждениях учащихся (как при доказательстве теорем, так и при решении задач) встречаются гораздо чаще, чем думают те, кто наивно считает культуру логического мышления чем-то прирожденным каждому человеку. Часть этих ошибок, имея определенные логические формы, имеют устойчивый характер и, в силу этого, становятся типическими. Подобного рода ошибки встречаются как у учащихся VI—VII классов, так и у учащихся X класса; более того ( и это особенно важно), у учащихся X классов не обнаруживается ошибок других логических форм. [L, 139].

4. Развитие умений и навыков самостоятельной работы учащихся с математической книгой требует обучения учащихся именно

приемам логического анализа своих и чужих мыслей, создания навыков в этом анализе, в целях предупреждения логических ошибок рассуждения, подобного тому, как овладение приемами грамматического анализа родной речи предупреждает ошибки в письменной и устной речи.

Эти факты говорят о том, что в процессе преподавания математики учитель должен систематически и активно развивать логическое мышление учащихся, а не только опираться на него.

В деле внедрения элементов логики в содержание и структуру урока математики очень большое значение имеет подготовка по этому вопросу самого учителя математики.

Уделяя большое внимание логической стороне преподавания, Ушинский говорил: «Но для этого необходимо, чтобы сами преподаватели были знакомы с требованиями логики и привыкли удовлетворять им. Привычка же эта дается более всего дельным, специальным, педагогическим подготовлением». [III, т. 3, стр. 345].

В настоящее время, когда обращено особое внимание на изыскание путей повышения интеллектуальной культуры учащихся, следует считать ненормальным тот факт, что на математических факультетах педагогических институтов не читается современная, математическая логика, служащая исследованию логических приемов — определений, доказательств, методов вывода и т. д., которыми пользуются математические науки.

Знание современной логики окажет учителю математики значительные услуги в деле методической обработки материала математического обучения.

Умея логически анализировать теоремы, определения, доказательства, изучаемые в школе, учитель осознает те логические элементы, которые приходится прорабатывать с учениками на уроках математики и овладение которыми является необходимым условием понимания самой математической задачи. В процессе такого анализа учитель может также оценить существенные трудности, связанные с данным вопросом и наметить пути их преодоления. Логически сложные математические рассуждения бесспорно трудны ученику и требуют поэтому особенно детальной обработки в методическом отношении.

Личное наблюдение (в процессе работы с учителями математики) и анализ имеющейся литературы по вопросам логики в связи с изучением математики, показывает, что в данный момент имеются два существенных фактора, тормозящих внедрение элементов логики в процесс преподавания школьной математики:

1) Слабая подготовка поэтому вопросу самого преподавателя.

2) Отсутствие популярной литературы по вопросам современной логики, особенно в части применения последней к школьному курсу математики.

Касаясь второго пункта, следует сказать, что во всей, доступной массовому учителю, литературе по логике, начиная от школьного учебника и кончая пособиями, предназначенными для учителей,

излагается только старая традиционная логика (Аристотеля и послеаристотелевская).

Традиционная формальная логика, с точки зрения потребностей математики, имеет весьма малое значение. Например, Аристотелевский силлогизм не является преобладающей в математике формой вывода; традиционная теория умозаключения недостаточна: она неприменима к огромному множеству выводов, которые на каждом шагу встречаются в математике.

В связи с этим, имеющиеся учебные пособия по логике, как правило:

1. Оставляют нераскрытым логический смысл отрицания, между тем как без уяснения сущности операции отрицания совершенно невозможно правильное понимание:

1) законов непротиворечивости и исключенного третьего;

2) области применения этих законов;

3) приемов неконструктивных доказательств;

4) некоторых логических операций, относящихся к умозаключениям и преобразованиям суждений, постоянно используемых в математике.

II. Не рассматривают логических свойств отношений, тогда как суждения об отношениях и выводы, основанные на свойствах отношений имеют громадную роль в математике: постоянно встречаются в умозаключениях и доказательствах.

III. Вовсе не касаются логических операторов, в то время как без их явного или неявного использования было бы невозможно употребление переменных в формулировке математических суждений.

IV. Не дают современной логической трактовки смысла связей:

1) дизъюнктивной (или);

2) альтернативной (или—или);

3) конъюнктивной (и);

4) условной (если., то.);

5) эквивалентной (если, и только если);

— тогда как смысл этих связей больше всего удовлетворяет потребности именно математики, — в ней оперативное значение этих связей (называемых логическими постоянными) вряд ли можно переоценить.

В настоящей работе рассматриваются только те вопросы современной логики (относящиеся к суждениям, умозаключениям и доказательствам), которые с точки зрения потребностей школьного курса математики имеют особо важное значение.

В своем исследовании мы существенно опирались на живое созерцание и чувственное восприятие конкретной педагогической действительности, на собственные педагогические переживания и личную практическую педагогическую деятельность (10 лет непосредственной работы в средней школе).

Источниками, из которых накапливался материал к работе, служили:

1. Многолетняя практика преподавания математики в средней школе;

2. Работа с учителями математики при Львовском областном институте повышения квалификации учителей (неоднократное чтение лекций по курсу общей методики математики с элементами логики);

3. Чтение курса логики студентам математического отделения во Львовском педагогическом институте;

4. Материалы вступительных экзаменов в некоторые ВУЗ’ы г. Львова;

5. Критический анализ литературы, относящейся к исследуемому вопросу (как отечественной, так и иностранной).

От других работ, имеющих с нашей точки соприкосновения, настоящая работа (на наш взгляд) отличается в следующем:

1. Каждое, — рассматриваемое в работе, — положение логики исследуется в свете живого педагогического процесса.

2 Анализ оперативного значения положений логики производится с трех сторон, со стороны необходимости, с стороны возможности и со стороны фактической осуществимости.

3. Содержание большинства явлений логического характера раскрывается только на материале арифметики и алгебры.

4. В работе достаточно глубоко исследуется непосредственная практическая значимость рассматриваемых положений логики с точки зрения потребностей школьного курса математики.

5. «Приложение» имеет существенное значение для целей обоснования фактической осуществимости введения элементов логики в практику математического обучения.

• 1. СУЖДЕНИЕ КАК ВИД МЫСЛИ.

Суждение есть такая мысль, в которой или утверждается или отрицается что-либо о чем-либо.

Мыслить — это, прежде всего, высказывать суждения (устно, письменно, в уме).

В суждении утверждается либо отрицается действительное существование предмета, утверждается либо отрицается наличие у предмета определенных признаков (свойств), связей и отношений с другими предметами.

Признак суждения «быть утверждением либо отрицанием чего- либо и о чем-либо» является характеристическим признаком, отличающим суждение от других видов мысли.

Мыслимое в суждении конкретное содержание либо согласуется с действительностью, либо не согласуется с действительностью. В первом случае суждение считается истинным; во втором—ложным.

Суждение истинное, если оно правильно отражает действительность, соответствует этой действительности.

Например:

1. Формальная логика является необходимой основой правильного мышления каждого человека;

2. Элементарная математика движется внутри границ формальной логики (Энгельс);

3. При построении арифметики как специальной математической дисциплины логика предполагается как единственная предшествующая дисциплина (А. Тарский); — суждения истинные.

Суждение ложное, если оно неправильно (искаженно, фантастически) отражает действительность, не соответствует этой действительности.

Например, каждое из суждений:

1. Решительный отказ от формальной логики является революционным завоеванием человеческого мышления (Шиллер);

2. Математика — это наука, которая не знает ни того, о чем она говорит, ни того, верно ли то, что она говорит (Рассел);—есть ложное суждение, несоответствие мыслей действительности.