ОТ АВТОРОВ

В настоящее время на основе первых лет работы по новой программе по математике проводится ее некоторое уточнение, при этом совершенствуются и учебники. Так, начиная с 1975/1976 учебного года последовательно введены стабильные учебники по математике в IV—V классах и по алгебре в VI классе, к 1978/1979 учебному году подготовлен стабильный учебник алгебры для VII класса, ведется работа над остальными учебниками.

Основное направление этой работы — некоторая разгрузка программы и связанное с этим перераспределение материала по годам обучения. Основное содержание программы, идеи, заложенные в ней и реализованные в учебниках, сохраняются.

В связи с последовательным введением стабильных учебников знания учащихся, изучающих новый курс математики, будут несколько отличаться в деталях. Так, например, учащиеся, занимающиеся по стабильным учебникам, изучают пропорцию уже в V классе. В учебном пособии «Алгебра, 6» одно из основных понятий школьного курса — функция — определяется через соответствие. В стабильном учебнике алгебры для этого же класса, введенном с 1977/1978 учебного года, вначале дается общее понятие отношения, и функция определяется как особый вид отношения между множествами. В- стабильном учебнике геометрии осевую и центральную симметрии, параллельный перенос и поворот предполагается определять как особые виды отображения. То, что каждое из этих отображений — перемещение, предполагается постулировать.

Эти особенности переходного периода работы по новой программе по математике обусловили характер изложения материала данной книги: обзор содержания школьного курса математики соответствует стабильным учебникам математики для IV—V классов, алгебры для VI — VII классов и учебным пособиям для VI—X классов. Вместе с тем в тексте учтены и некоторые предложения по усовершенствованию программы и учебников, методические рекомендации Министерства просвещения СССР по изучению курса математики в средней школе.

К сожалению, объем книги не позволяет привести официальный материал по экзаменационным требованиям к оканчивающим восьмилетнюю и среднюю школы и поступающим в техникумы и высшие учебные заведения. Читатель может найти эти материалы в работах [16, 17, 18], указанных в Приложении VI.

Принятое ЦК КПСС и Советом Министров СССР 22 декабря 1977 г. постановление «О дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания учащихся* общеобразовательных школ и подготовки их к труду» ставит перед работниками народного образования, в том числе учителями математики, новые задачи.

К 1978/79 учебному году проведена некоторая разгрузка учебных программ. Корректировке подвергнуты разделы и темы, содержащие чрезмерно усложненный или малоценный в общеобразовательном отношении материал. В большинстве случаев эти изменения указаны в тексте данной работы.

Не внесены изменения в программы и учебники математики для IV—V классов и алгебры для VI—VII классов, так как при переходе на стабильные учебники по этим предметам курсы были значительно облегчены и разгружены. Высвободившееся время рекомендуется использовать по усмотрению учителя для проведения вводных, обобщающе-повторительных и итоговых (зачетных) занятий по определенным крупным учебным темам, на решение задач, а также на более глубокое изучение отдельных тем.

По-прежнему важнейшим резервом устранения перегрузки учеников остается повышение эффективности урока как «испытанной формы организации обучения и воспитания школьников».

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА В IV— V КЛАССАХ

Особенностью структуры школьного курса математики является изучение в IV—V классах единого предмета «Математика», интегрирующего арифметический, алгебраический и геометрический материал (причем несколько сокращен традиционный для школы арифметический материал). Основная его задача — заложить прочный фундамент для изучения математики в VI—X классах.

В IV—V классах на доступном для 11—12-летних детей уровне формируется ряд важнейших понятий, на которые опирается все последующее изложение курса. Это прежде всего теоретико-множественные понятия (множество, элемент множества, способы задания множеств, пустое множество, пересечение и объединение множеств и т. д.) и простейшие понятия математической логики (высказывание, предложение с переменной), выражение с переменной, уравнения и неравенства и связанные с ними понятия (решение уравнения или неравенства, множество решений). Впервые в эти классы включен большой геометрический материал. Здесь предусматривается знакомство с отдельными геометрическими фигурами, взаимным расположением прямых на плоскости, вводится понятие отображения фигуры на фигуру (симметрия, параллельный перенос), уделяется внимание практическим работам — моделированию, вычислениям, построениям.

Заканчивая V класс, ученики знают фактически весь арифметический материал, изучение которого по ранее действовавшей программе завершалось в I полугодии VI класса. Более того, они умеют выполнять действия с отрицательными числами (материал, ранее вводившийся лишь во II полугодии VI класса). При этом изменены некоторые требования к выполнению тождественных преобразований. Так, при сокращении обыкновенных дробей не требуется отыскание наибольшего общего делителя, обычно проводится последовательное сокращение; при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями не обязательно приводить дроби к наименьшему общему знаменателю.

В IV—V классах дети приобретают довольно много сведений по алгебре (материал, впервые включенный в программу этих классов). Уже в IV классе вводятся понятия «выражение с переменной», «уравнение», «неравенство». Школьники выполняют простейшие

П

тождественные преобразования (термины «тождество» и «тождественные преобразования» вводятся лишь в VI классе) — раскрытие скобок, вынесение в числовых выражениях общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых. Заметим, что раньше весь этот материал изучался в VI классе.

Большое внимание программа уделяет решению уравнений. В IV классе рассматриваются уравнения, в которых переменная находится только в одной из частей уравнения. Решаются эти уравнения на основе зависимости между результатом и компонентами действия. В V классе это ограничение снимается — переменная может находиться в обеих частях уравнения. Раннее введение уравнений позволило значительно уменьшить внимание к арифметическому способу решения текстовых задач. Уже с IV класса ученики все чаще решают эти задачи с помощью уравнений.

Неравенства по прежней программе вводились только в IX классе. Сейчас школьники уже в IV классе могут указать натуральные решения простейших неравенств, в том числе и двойных неравенств вида 1 < у < 18.

В IV—V классах рассмотрение геометрического материала ведется на наглядном уровне. В IV классе внимание уделяется освоению важнейших геометрических понятий (геометрическая фигура, отрезок, прямая, луч, ломаная, угол — прямой, развернутый и т. д., биссектриса угла, смежные углы, параллельные прямые, перпендикуляр к прямой, площадь прямоугольного треугольника), в V классе — геометрическим построениям. С помощью циркуля, линейки, угольника и транспортира строятся параллельные и перпендикулярные прямые, фигуры, симметричные относительно прямой, треугольники по заданным их элементам. При обосновании построений нередко используются соображения симметрии. На оперативном уровне учащиеся знакомятся с параллельным переносом, центральной и осевой симметрией.

С IV класса вводится теоретико-множественная символика и терминология. Это облегчает, в частности, выяснение различия между такими понятиями, как «отрезок» и «длина отрезка», «угол» и «величина угла». Теоретико-множественные понятия, соответствующий язык и символику используют практически ежедневно, систематически обращаясь к ней при тождественных преобразованиях выражений, решении уравнений и неравенств и т. д.

МАТЕМАТИКА

В VI—X КЛАССАХ

В VI—X классах интеграцию курса математики, аналогичную проведенной в IV—V классах, осуществить еще не удалось. В VI— VIII и IX—X классах параллельно изучаются два курса: в VI—VIII классах — алгебра и геометрия, в IX—X классах — алгебра и начала анализа и геометрия. Однако и здесь их теоретико-множественная основа, усиление внимания к понятию функции в алгебре, 12

введение понятия отображения в геометрии и разъяснение связи между этими понятиями позволили с единой точки зрения подойти к ранее изолированному друг от друга алгебраическому и геометрическому материалу.

Алгебра, V I—V111 классы

В VI—VIII классах на основе проведенной в I—V классах подготовки ведется систематическое формирование понятий числа, выражения, тождественного преобразования выражений, понятия функции; большое внимание уделяется уравнениям и неравенствам, их системам.

Изучение тождественных преобразований сопровождается иллюстрацией их применений для широкого круга задач (решение уравнений, доказательство неравенств, задачи на делимость, вычислительные упражнения). Явно сформулирована одна из целей тождественных преобразований — приведение целых выражений к стандартному виду многочлена и представление дробных выражений в виде отношения многочленов.

Одним из опорных понятий школьного курса математики является понятие отношения (соответствия), которое вводится в курсе алгебры VI класса. (Определение этому понятию не дается, его содержание раскрывается на примерах.) Понятие отношения широко используется в дальнейшем. Так, функция рассматривается как специальный вид отношения.

На основе рассмотрения некоторых свойств отношений (рефлексивности, симметричности, транзитивности) вводится понятие отношения эквивалентности.

В курсе математики восьмилетней школы весьма широко используются координатная прямая и координатная плоскость. Эти понятия вводятся уже в V классе. В последующем координатная плоскость используется при изучении практически всех тем курса алгебры, что позволяет показать связи алгебраического и геометрического материала, способствует более глубокому пониманию школьниками теоретико-множественной основы курса, дает возможность ознакомить учащихся с рядом понятий аналитической геометрии (строить прямую на плоскости по ее уравнению, некоторые кривые: параболу — по уравнению у = ах² + Ьх + с; гиперболу — по урав- k г>

нению у = —; окружность заданного радиуса R с центром в начале координат — по уравнению х² + у² = У?²). При изучении неравенств с двумя переменными учащиеся знакомятся с построением графика неравенства (этот термин не вводится), что по сути дела является подготовкой к усвоению идеи линейного программирования в старших классах.

Алгебра, IX—X классы

BIX—X классах продолжается изучение фундаментальных вопросов школьного курса математики, начало рассмотрению которых положено в восьмилетней школе, а именно: функции, уравнений и неравенств, тождественных преобразований; дальнейшее развитие получает понятие о числе.

Изучение понятия числа завершается рассмотрением множества действительных чисел. При этом находят применение сведения о приближенных вычислениях, полученные школьниками в восьми - летней школе.

В IX—X классах углубляются сведения о всех функциях, изученных в восьмилетней школе. Вводятся понятия производной функции и первообразной функции. Интеграл трактуется как приращение первообразной.

Основная цель изучения производной, интеграла, простейших дифференциальных уравнений — дать первоначальные сведения о таком мощном аппарате, какой представляет этот раздел математики. Так, при рассмотрении определенного интеграла (в школьном курсе он называется интегралом) основное внимание уделяется его геометрическому смыслу, применению при вычислении площадей и объемов фигур. Навык дифференцирования и интегрирования формируется лишь на простых упражнениях.

Курс алгебры и начал анализа содержит достаточно большую традиционную часть: системы уравнений, тригонометрические уравнения и тождества, логарифмические и показательные уравнения. Однако роль их в общей системе школьного образования существенно изменилась. Программа не предусматривает решения сложных логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Из тригонометрических уравнений, кроме простейших, рассматриваются в основном приводимые к квадратным относительно синуса, косинуса, тангенса и простейшие однородные.

Тождественные преобразования, выполняемые при доказательстве тригонометрических тождеств, решении уравнений, неравенств и их систем, при упрощении выражений, также достаточно просты. При этом, как правило, не требуется указывать множество, на котором справедливо рассматриваемое тождество.

Тема «Метод математической индукции» носит вспомогательный характер: цель изучения этой темы — научить понимать доказательство математических фактов методом математической индукции. Цель сформировать навык проведения таких доказательств не ставится.

Геометрия, VI—X классы

Курс геометрии, изучаемый в школе в настоящее время [9—13], по сравнению с прежним характеризуется, прежде всего, более совершенной логической структурой. Курс строится на системе аксиом, 14

удовлетворяющей требованиям непротиворечивости и независимости. Четко выделены основные (неопределяемые) понятия: точка, прямая, плоскость, расстояние. Геометрическая фигура определяется как некоторое множество точек.

Существенной особенностью курса является включение в него ряда новых для школы понятий, и прежде всего понятия отображения. Геометрические преобразования являются как предметом изучения, так и аппаратом, с помощью которого доказываются теоремы, решаются задачи. С VII класса учащиеся начинают изучать векторный аппарат: разложение вектора по двум неколлинеарным векторам (в плоскости) или по трем некомпланарным векторам (в пространстве), нахождение суммы и разности векторов, произведения вектора на число, скалярное произведение векторов.Векторные методы доказательства в дальнейшем широко используются в теоретической части курса и при решении задач.

Специальное внимание уделено координатному методу. Уже в VII классе вводятся координатные записи некоторых видов перемещений плоскости, в IX классе рассматриваются координатные записи перемещений пространства, в X классе координатный метод используется при доказательстве теоремы о сечении сферы плоскостью.

Введение координатного аппарата, естественно, не означает обязательного его использования во всех возможных случаях. Вполне допустимы другие способы доказательства теорем (например, теоремы о сечении сферы плоскостью), особенно если они оказываются более «экономными».

В восьмилетней школе изучается и стереометрический материал. Рассматриваются: взаимное положение точек, прямых и плоскостей в пространстве, площади поверхностей и объемы некоторых тел (прямой призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара). Этот материал нужен для изучения ряда смежных предметов. Определенную роль он играет и в подготовке учащихся к изучению систематического курса стереометрии в IX—X классах, и в развитии пространственных представлений школьников.

Развитию пространственных представлений способствует также решение задач на нахождение пересечений и объединений плоских фигур и образов фигур в заданных преобразованиях.

Введение в школьный курс математики элементов анализа позволило в X классе вывод формул для вычисления площадей поверхностей и объемов некоторых тел проводить с использованием понятий производной и интеграла.

С целью развития логического мышления школьников в восьми- летней школе вводятся такие понятия, как «прямая и обратная теоремы»; учащиеся знакомятся с понятиями «необходимые условия», «достаточные условия», «необходимые и достаточные условия».

Новая логическая основа курса, его теоретико-множественная концепция, более широкое привлечение понятий математической логики, включение новых тем привели к значительному обогащению

курса и изменению «набора» теорем, изучаемых в школе. Пересмотрены и формулировки ряда теорем. В частности, даны новые формулировки теорем о пропорциональных отрезках ([10], с. 117—118), о свойстве прямой, пересекающей две стороны треугольника и параллельной его третьей стороне , о трех перпендикулярах ([12], с. 83). Включен ряд теорем, ранее не изучавшихся в школе (о свойствах перемещений, подобии и др.).

Следует обратить внимание на то, что не весь теоретический материал учебников предназначен для воспроизведения учащимися. Формулировки некоторых определений и доказательства некоторых теорем трудны школьникам, хотя существо дела для них и ясно (например, определение ломаной, доказательство теоремы Фалеса и др.).

В связи с этим в школьных учебниках геометрии некоторым понятиям (например, понятию величины угла) не дается определения. Не требуется от учащихся знания формулировок некоторых определений, приведенных в учебнике. Некоторые теоремы даются без доказательства (этот факт в учебниках специально оговаривается). Воспроизведение доказательства некоторых теорем, приведенных в учебнике, не обязательно.

Отдельные теоремы, традиционно входившие в курс геометрии, перенесены в задачи (например, признаки параллельности прямых, основанные на равенстве внутренних накрест лежащих углов и на равенстве 180° суммы внутренних односторонних углов ([15], с. 76—78); теоремы, обратные признакам параллельности прямых ([15], с. 81); теорема о катете прямоугольного треугольника, лежащего против угла 30° ([15], с. 83); теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами ([15], с. 86); теорема о сумме углов параллелограмма, прилежащих к его стороне ([15], с. 93); теорема о свойстве медиан треугольника ([15], с. 106); теорема об угле между касательной и хордой окружносги, имеющих общую точку ([15], с. 147) и др.).

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ понятия и понятия МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

1. Теоретико-множественные понятия. Как уже отмечалось ранее, курс математики средней школы строится с привлечением теоретико-множественных понятий и элементов математической логики. Теоретико-множественные понятия вводятся там, где их использование существенно облегчает усвоение материала, позволяет многие понятия курса трактовать с единой точки зрения, способствует формированию у школьников математического языка.

Учащиеся, оканчивающие восьмилетнюю школу, должны владеть такими понятиями, как «множество (конечное, бесконечное)», «пустое множество», «элемент множества», «принадлежность того или иного элемента данному множеству», «подмножество». Эти понятия используются в IX—X классах.

В школе рассматриваются числовые множества (натуральных чисел, положительных чисел, рациональных чисел, действительных чисел), множества, элементы которых — числовые выражения, многочлены, уравнения, неравенства, функции и др. В геометрии, кроме точечных множеств, рассматриваются множества фигур (отрезков, лучей, прямых, плоскостей, треугольников, пирамид и т. д.).

Понятие характеристического свойства элементов множества и соответствующий термин в школьном курсе явно не вводятся. Но фактически учащиеся знакомы с двумя способами задания множества — перечислением его элементов и указанием характеристического свойства элементов множества.

В восьмилетней школе вводятся операции над множествами — пересечение, объединение множеств, дополнение данного множества до другого множества; учащиеся владеют и соответствующей символикой (см. Приложение I). Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из их общих элементов. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из элементов, которые входят хотя бы в одно из этих множеств:

В V классе школьники умеют выполнять такие задания на нахождение пересечений и объединений множеств: