Математика

Предисловие

      В школьных программах пока нет элементов теории вероятностей. Не очень обширен и выбор доступных школьникам книг «для чтения» по этому предмету.

      Между тем многим из нас — будь то практическая или познавательная деятельность — приходится соприкасаться с многочисленными и многосторонними проявлениями стихии случайностей, постигать закономерности случайных явлений и событий.

      В наше время чрезвычайно расширился спектр наук — » от естественных до социальных, применяющих вероятностные и статистические рассуждения, выводы: физика, химия, биология, экономика, кибернетика, лингвистика и многие другие. Возникло много новых научных направлений, разрабатывающих приложения вероятностных методов к практике.

      Это — книга для познавательного чтения с карандашом в руке и рабочей тетрадью на столе.

      В начальной части книги преобладает свободная форма изложения, не стесненная рамками программы, с привлечением занимательного и игрового материала; постепенно книга «серьезнеет», но не теряет доступности для учащихся

      старших классов и читателей, уже окончивших среднюю школу.

      Для самопроверки действенности приобретенных знаний и «вероятностного мышления» в предпоследней главе предлагается около пятидесяти задач-этюдов. Некоторые доказательства, выводы и теоретические комментарии вынесены в заключительную главу «Дополнения».

      И если с нашей книгой вас свела случайность, то пусть она уступит место устойчивому интересу, увлечению и успеху.

      В Индии на главном подъезде одной из школ начертано: «Стремись, действуй, достигай».

      Этими словами напутствуем и вас, читатель.

      ИГРА СЛУЧАЯ (введение)

      Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе.

      Л. Дюма

      В самом деле, мир есть закономерное движение материи, определяющее всеобщую взаимосвязанность явлений, внутреннюю сцепляемость причин и следствий, проявляющуюся в том, что в данных условиях необходимо наступает такое-то событие, а не иное.

      И все же ничто не происходит без значительного или слабого вмешательства случайности, возникающей под воздействием непостоянных, побочных причинных связей, изменяющих ход явления при его повторении. Многочисленность и преобладание таких влияний создают «эффект случайности» — сложную, всеобъемлющую закономерность «скрытой предопределенности». Так возникают и, следовательно, объективно существуют случайные я в л е н и я — совокупности непредсказуемых случайных событий.

      Случайным событиям также присуща необходимость закономерного исхода, но на поверхности таких событий — случайность:

      I случайное событие может наступить, в тех же условиях — не наступить или происходить иначе.

      Математика отвлекается (абстрагирует) от конкретной физической природы реального случайного события и рассматривает его лишь в дилемме «быть или не быть» — наступит или не наступит событие в явлении, элементом которого оно является.

      Основной прием изучения случайного явления — разработка его «теоретической модели» — системы суждений и заключений, позволяющих определенным образом предсказывать поведение анализируемого явления.

      Появление события всегда связано с исходом явления, испытания, опыта, т. е. с фактом. В противоположность этому не появление события означает о т-сутствие ожидаемого факта. Но если факта нет, то не может состояться и суждение о нем. Чтобы в теоретической модели изучаемого случайного явления не было подобных «пустот», она обязательно формируется так, что при каждом осуществлении явления (хотя бы и воображаемом) наступает некоторое событие: если не наступило ожидаемое случайное событие, то это означает, что наступило его «отрицание», т. е. какое-то другое событие, предусмотренное теоретической моделью, относящееся к тому же самому явлению.

      Случай (le hasard) повсюду — в явлениях живой и неживой природы, в исследовательской, профессиональной, игровой и обыденной деятельности человека. Случай — властелин успехов, неудач, событий. Но если даже властвует случайность в явлении отдельном, то и тогда в большой их массе неизбежно пробивается необходимость.

      Пример 1. Один из видов спортивных состязаний — стрельба по мишени стрелами. Точка попадания стрелы при каждом прицельном выстреле случайна. Если же выпущено подряд несколько стрел в одну мишень, то в расположении точек попадания видна закономерность: они группируются в окрестности одной определенной точки (центра рассеяния); ближе к ней они располагаются гуще, дальше от нее — реже. Убывание густоты при этом также происходит закономерно.

      Пример 2. Молекулы газа перемещаются внутри закрытого сосуда по сложным, запутанным траекториям. Удары их о стенки сосуда беспорядочны и случайны. Но если число молекул газа огромно, то в распределении давления газа по стенкам сосуда, создаваемого ударами молекул, нет ни беспорядочности, ни случайности; оно вполне закономерно (помните закон Паскаля?).

      Именно массовость случайных явлений выявляет определенную, присущую им закономерность. При значительном уменьшении числа молекул газа в сосуде случайные отклонения от закономерности становятся уже ощутимыми.

      Пример 3. Еще хитрее замаскирована случайность в поведении электронов, протонов и других элементарных частиц (микрочастиц). Атомы кристалла расположены так, что образуется естественная система «щелей» постоянных размеров с постоянными промежутками между щелями. Предположим, что удалось закрыть все щели, кроме двух соседних. Заставим электроны поодиночке вылетать из электронной пушки по направлению к щелям с одной и той же скоростью. По другую сторону щелей поставим фотопластинку.

      Если бы каждый электрон двигался по законам классической механики, то, проскочив через одну из двух щелей, он и «приземлиться» должен на одну определенную площадку фотопластинки.

      В действительности же каждый электрон, вылетевший из электронной пушки, ведет себя настолько «беспутно», что предсказать его возможное положение на пластинке можно лишь с некоторой так называемой вероятностной оценкой шансов.

      Вместе с тем для большого количества электронов, поодиночке или залпом вылетающих из электронной пушки, видна определенная и удивительная закономерность: все частицы, проникшие через две щели, располагаются не только на двух площадках фотопластинки, находящихся непосредственно против щелей, но и на многих других соседних площадках и никогда не попадают в промежутки между избранными площадками.

      Как ни запутана, ни хитроумна игра событий, образующих случайные явления в жизни, их однородной массе свойственна тенденция к устойчивости, упорядоченности, стабильности.

      Эго значит, что существуют специфические закономерности, управляющие однородными массами случайных событий.

      «Но где на поверхности происходит игра случайности, там сама эта случайность всегда оказывается подчиненной

      внутренним, скрытым законам. Все дело лишь в том, чтобы открыть эти законы».

      Открыть закономерность в хаосе событий, найти гармонию в стихии неопределенности, многопричинности и тоже «алгеброй поверить» — вот увлекательный и дерзновенный замысел науки о случайном.

      Для решения задач, возникающих при изучении массы случайных явлений, потребовалось создание специальных методов, позволяющих глубже анализировать явления с учетом присущих им элементов случайности. Возникла и разветвилась «математика случайного» — наука, которую затем назвали теорией вероятностей.

      Теория вероятностей раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям.

      Ее методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений. Следовательно, зная законы, управляющие массами случайных явлений, можно добиваться в случае необходимости целенаправленного изменения хода случайных явлений, их контролирования, уменьшения, а если нужно, то увеличения их влияния на практику.

      Пример 4. В случайные моменты времени поступают по телефону заказы на железнодорожные билеты, вызовы на ATG и станцию скорой медицинской помощи. Число заказов, вызовов, требований случайно и имеет большую амплитуду колебаний. Надо организовать ритмичную работу — без частых простоев и перенапряжений, безотказное и быстрое обслуживание населения так, чтобы абонентам, заказчикам, больным не слишком часто приходилось подолгу ждать, но и без излишков в расходах, штатах, оборудовании, количестве автомашин.

      Ясно, что найти все требуемые оптимальные характеристики качества обслуживания населения невозможно без знания закономерностей систематически действующих случайных факторов, в числе которых также: терпеливость абонентов, длительность ожидания и разговоров, удаленность пострадавшего от пункта скорой помощи, длительность ожидания помощи и многие другие.

      Пример 5. Укрощение случая.

      Али-Баба хочет попасть в пещеру с сокровищами. Перед пещерой стоит бочка, которая может вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 1). В крышке бочки имеются четыре небольших отверстия с центрами в вершинах некоторого квадрата. Под отверстиями поставлено по кувшину, в каждом из которых находится селедка хвостом вверх или вниз. Увидеть через отверстия, как расположены селедки, невозможно.

      Али-Баба может просунуть руки в любые два отверстия, определить положение селедок в кувшинах, расположенных под отверстиями, и изменить их положение по своему желанию.

      После того как Али-Баба вытащит руки из отверстий, бочка начинает быстро вращаться, затем вновь останавливается и занимает случайное положение. Узнать те отверстия, в которые перед вращением бочки были опущены руки, невозможно.

      Если хвосты селедок окажутся направленными в одну сторону, то вход в пещеру открывается, если нет, то Али-Баба может предпринять следующую попытку.

      Как должен поступить Али-Баба: все предоставить воле случая или пытаться найти такую последовательность действий — алгоритм, который сумеет случай «укротить», т. е. наверняка приведет к успеху?

      Чтобы обоснованно ответить на поставленный вопрос, надо знать «повадки» случая, уметь оперировать случайными событиями и величинами, словом, знать, как математика изучает случайности, чему и посвящена эта книга.

      Поэтому анализ ситуации, в которой оказался Али-Баба, отодвинем на страницу 137. Что касается поисков алгоритма — системы действий, позволяющих открыть вход в пещеру при соблюдении условий игры-задачи, это — изобретательская задача, вполне посильная каждому из вас. Решите ее и сверьте результат с ответом, имеющимся на странице 142 этой книги.

      Школьники = члены секции кибернетики летнего лагеря «Искатель» — даже изготовили действующую модель алгоритма этой игры-задачи.

      Слава случаю. Разве не случай С непреложным всегда наравне...

      Случай часто событием правит,

      Порождает и радость, и боль.

      И задачу пред нами жизнь ставит!

      Как постигнуть случайности роль.

      Методы познания в науке о случайном, вход в которую приоткрывает наша книга, во многом необычны. Чтение книги поэтому должно быть вдумчивым, активным, с возвращением к прочитанному и с непременными попытками самостоятельного решения задач.

      «Случай всегда приходит на помощь тому, кто борется до победы» (восточная поговорка).

      ПРОИЗОЙДЕТ ЛИ СОБЫТИЕ?

      МЕРА НАШЕЙ УВЕРЕННОСТИ

      По моему мнению, различные понятия определяются не столько словами, каждое из которых может, в свою очередь, потребовать определения, как нашим отношением к ним, которое выясняется постепенно.

      А. А. Марков («Исчисление вероятностей»)

      СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ

      Турист в незнакомом городе. Вообразите город, улицы которого, как линии тетради в клетку, одни протянулись с севера на юг, другие — с востока на запад. Турист находится в пункте А и намеревается пешком добраться до турбазы, расположенной в пункте В города. У него нет карты города, а в городе нет указателей. Впрочем, для знакомства с городом маршрут прогулки безразличен, и турист придумал: пусть случай всякий раз определяет, какое выбрать направление и сколько следует пройти кварталов в избранном направлении, прежде чем снова изменить его. Но как заставить случай давать команды?

      Эврика! Туристу нужен набор так называемых случайных однозначных чисел, объединенных в пары. Тогда модуль каждого числа укажет, сколько кварталов нужно пройти туристу, а знаки определят направления. Положительное первое число направит туриста на восток, отрицательное на запад. Положительное второе число — на север, отрицательное — на юг.

      Где же взять «случайные числа»? Заранее подготовленного набора таких чисел у туриста, конечно, нет. Но у него есть газета с таблицей номеров выигравших-лотерейных билетов.

      Турист наудачу выбирает часть таблицы, затем в номере каждого лотерейного билета берет две последние цифры и рассматривает их как пару случайных чисел.